Physique

Notations et définitions.

Les valeurs numériques suivantes servent dans tout le problème :

Notations et définitions.

Un matériau conducteur de l'électricité, homogène et isotrope, remplit un cylindre droit d'axe $(O, \vec{u}_x)$, de longueur $L$ et de section $S$.

On note $\sigma$ sa conductivité électrique.

Ses deux bases sont maintenues aux potentiels $V(0) = V_1$ et $V(L) = V_2$, avec $V_1 > V_2$.

En régime stationnaire, le cylindre est traversé par un courant de densité volumique uniforme $\vec{j}_{\mathrm{el}} = j_{\mathrm{el}}\,\vec{u}_x$.

Rappelons la loi d'Ohm locale liant $\vec{j}_{\mathrm{el}}$ à $\vec{E}$, justifions le sens de $\vec{E}$ dans le conducteur, puis établissons que $R_{\mathrm{el}} = L/(\sigma S)$.

Dans un conducteur ohmique de conductivité $\sigma$, la loi d'Ohm locale s'écrit :

Sens du champ.

Le matériau est homogène, donc $\sigma$ est uniforme.

Comme $\vec{j}_{\mathrm{el}} = j_{\mathrm{el}}\vec{u}_x$ est uniforme, $\vec{E} = \vec{j}_{\mathrm{el}}/\sigma = E\,\vec{u}_x$ est uniforme et parallèle à $\vec{u}_x$.

En régime stationnaire, le champ dérive du potentiel : $\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V$, donc $E = -\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} x}$.

Cette dérivée est constante, donc $V$ est affine en $x$.

Avec $V(0) = V_1$ et $V(L) = V_2$ :

Le champ électrique est donc dirigé selon $+\vec{u}_x$, dans le sens des potentiels décroissants : de la section portée à $V_1$ vers la section portée à $V_2$.

Résistance.

L'intensité qui traverse une section droite dans le sens de $\vec{u}_x$ est le flux de $\vec{j}_{\mathrm{el}}$ :

En convention récepteur, la tension $V_1 - V_2$ et le courant $I$ circulent de la section 1 vers la section 2, et $R_{\mathrm{el}} = (V_1 - V_2)/I$.

Donc :