Dynamique dans un référentiel non galiléen

Exercice 1. Pendule dans un véhicule accéléré ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Un pendule simple de longueur $l$ est suspendu au plafond d'un wagon d'accélération horizontale constante $a$.

Position d'équilibre relatif, pesanteur apparente, période des petites oscillations.

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Résultat

fil incliné vers l'arrière avec $\tan\alpha = \dfrac{a}{g}$, $g_{\text{app}} = \sqrt{g^2 + a^2}$, $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g_{\text{app}}}}$, plus courte qu'à l'arrêt.

1. Dans le wagon, forces : $m\vec g$, $\vec T$, $\vec f_{ie} = -m\vec a$, horizontale, opposée à l'accélération (translation, $\vec f_{ic} = \vec 0$, propriété 3.3, référentiel entraîné en translation).
2. Équilibre relatif : $\underline{\vec T = -m(\vec g - \vec a)}$, donc le fil s'aligne sur $\vec g_{\text{app}} = \vec g - \vec a$, incliné vers l'arrière, $\tan\alpha = \dfrac{a}{g}$ (somme des forces nulle dans le wagon).

3. Donc $g_{\text{app}} = \sqrt{g^2 + a^2}$ ($\vec g \perp \vec a$).
4. Donc $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g_{\text{app}}}}$, plus courte qu'à l'arrêt (pendule dans un champ de pesanteur uniforme $\vec g_{\text{app}}$, exemple 4.1, translation accélérée).

piège : Incliner le pendule vers l'avant en phase d'accélération. Il penche vers l'avant seulement au freinage.

Exercice 3. Anneau sur un cerceau vertical tournant ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle

Un cerceau de rayon $R$ tourne à $\omega$ constant autour de son diamètre vertical.

Un anneau glisse sans frottement dessus, repéré par l'angle $\theta$ compté depuis le point bas.

Positions d'équilibre relatif, stabilité, pulsation des petites oscillations.

Exercice 10. Stabilité d'une bille dans une cuvette elliptique tournante ★★★

Approfondissement · 40 min · Khôlle

Une bille ponctuelle de masse $m$ glisse sans frottement à l'intérieur d'une cuvette d'équation $$z = \frac{x^2}{2a} + \frac{y^2}{2b}, \qquad a > b > 0.$$ L'axe $(Oz)$ est vertical ascendant, le champ de pesanteur vaut $-g\,\vec u_z$.

La cuvette tourne autour de $(Oz)$ à la vitesse angulaire constante $\omega$.

On étudie la bille dans le référentiel $\mathcal{R}'$ lié à la cuvette, le référentiel du laboratoire $\mathcal{R}$ étant galiléen.

1. Exprimer l'énergie potentielle de la bille dans $\mathcal{R}'$. En déduire pour quelles valeurs de $\omega$ le point $O$ est un minimum de cette énergie.
2. Projeter la loi de la quantité de mouvement dans $\mathcal{R}'$, puis linéariser pour de petits mouvements autour de $O$.
3. On cherche $x = A\e^{\ii\nu t}$ et $y = B\e^{\ii\nu t}$. Déterminer les valeurs de $\omega$ pour lesquelles ces petits mouvements restent bornés.

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Exercice 2. Perle sur une tige horizontale en rotation ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Une tige horizontale tourne à $\omega$ constant autour d'un axe vertical passant par son extrémité $O$.

Une perle de masse $m$ glisse sans frottement, lâchée en $r_0$ sans vitesse relative.

Mouvement, réaction de la tige.

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Exercice 7. Point libre sur un plateau tournant ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Type oral Centrale

Un plateau horizontal tourne à $\omega$ constant.

Un palet glisse sans frottement.

Trajectoire dans le référentiel du plateau, en notation complexe, pour un lancement depuis le centre à la vitesse relative $v_0$, puis pour un lâcher sans vitesse relative en $r_0$.

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Exercice 13. Perle sur un ressort dans un tube incliné tournant ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle

Un tube est fixé en un point $A$ d'une tige verticale $(Oz)$. Son axe fait un angle constant $\alpha$ avec $(Oz)$, vers le haut.

La tige tourne autour de $(Oz)$ à la vitesse angulaire constante $\omega$.

Dans le tube, une perle $M$ de masse $m$ glisse sans frottement. Un ressort, de raideur $k$ et de longueur à vide $\ell_0$, relie $A$ à $M$.

On note $r = AM$ et on étudie le mouvement dans le référentiel $\mathcal{R}'$ du tube.

1. Établir l'équation différentielle en $r$. À quelle condition sur $k$, $m$, $\omega$, $\alpha$ le mouvement est-il oscillant ?
2. Donner la période et la position d'équilibre. Application numérique : $$m = 0{,}10~\mathrm{kg}, \quad k = 40~\mathrm{N/m}, \quad \ell_0 = 0{,}20~\mathrm{m}$$ $$\alpha = 30^\circ, \quad \omega = 20~\mathrm{rad/s}, \quad g = 9{,}81~\mathrm{m/s^2}$$
3. Déterminer la réaction du tube.

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Exercice 4. Surface libre d'un liquide en rotation ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Un seau cylindrique contenant de l'eau tourne à $\omega$ constant autour de son axe vertical.

En régime établi, forme de la surface libre.

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Exercice 5. Le poids et la rotation terrestre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP

Exprimer le champ de pesanteur à la latitude $\lambda$ en fonction du champ gravitationnel et de la rotation terrestre.

Majorer le rapport $\eta$ du terme d'inertie au terme gravitationnel.

Estimer l'angle entre la verticale du lieu et la direction du centre de la Terre.

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Exercice 6. Coriolis pour un TGV et pour une chute ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit CCINP MP

Un train roule à $100~\mathrm{m/s}$ à la latitude $48^\circ$.

Comparer la force de Coriolis au poids.

Estimer ensuite la déviation vers l'est d'un corps lâché sans vitesse d'une hauteur $h = 100~\mathrm{m}$.

Exercice 11. Chute libre : déviation vers l'est et correction d'ordre 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle

À la latitude nord $\lambda$, on lâche sans vitesse initiale une bille d'une hauteur $h$ au-dessus du sol.

On travaille dans le référentiel terrestre, de base $(\vec u_x, \vec u_y, \vec u_z)$ : est, nord, verticale ascendante.

Le champ de pesanteur $-g\,\vec u_z$ est uniforme, la force centrifuge y étant incluse. La rotation terrestre est de vitesse angulaire $\omega$.

1. Au premier ordre en $\omega$, déterminer la déviation vers l'est $x(t)$ et sa valeur à l'arrivée.
2. Au second ordre en $\omega$, déterminer la déviation $y(t)$ selon le nord et sa valeur à l'arrivée.
3. Application numérique avec $h = 100~\mathrm{m}$, $\lambda = 48^\circ$. Comparer les deux effets.

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Exercice 9. Rotation du plan du pendule de Foucault ★★★

Approfondissement · 45 min · Type oral Mines

Un pendule simple de longueur $l$, petites oscillations, à la latitude $\lambda$.

Montrer que le plan d'oscillation tourne et donner sa période.

Le programme demande seulement de citer le phénomène, l'exercice va au-delà mais tombe à l'oral.

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Exercice 8. Ordre de grandeur des marées ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Justifier que le terme de marée dû à un astre de masse $M$ à la distance $D$ vaut environ $\frac{2GMR}{D^3}$ au point le plus proche, et comparer Lune et Soleil.

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Exercice 12. Pendule dans une boîte oscillante : sismographe ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Une boîte se déplace en translation horizontale par rapport au sol, supposé galiléen.

L'abscisse de la boîte est $$x_B(t) = X\cos\Omega t.$$ Un pendule simple, de longueur $l$ et de masse $m$, est suspendu au plafond de la boîte.

On note $\theta$ l'angle avec la verticale, compté vers les $x$ croissants, et $\omega_0^2 = g/l$.

Les frottements sont négligés dans le modèle.

1. Établir l'équation du mouvement du pendule dans la boîte, pour de petits angles.
2. Déterminer la solution particulière sinusoïdale à la pulsation $\Omega$ (régime forcé).
3. Pour $\Omega = 10\,\omega_0$, comparer le mouvement relatif de la masse à celui de la boîte. Pourquoi ce dispositif détecte-t-il les vibrations du sol ?

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Exercice 14. Théorème de Larmor et diamagnétisme ★★★

Approfondissement · 35 min · Écrit

Un atome d'hydrogène est dans son état fondamental.

Dans le modèle de Bohr, l'électron, de masse $m$ et de charge $-e$, décrit autour du proton un cercle de rayon $$a_0 = 53~\mathrm{pm}$$ avec un moment cinétique $\hbar$.

On applique un champ magnétique uniforme orthogonal au plan de l'orbite $$\vec B = B_0\,\vec u_z, \qquad B_0 = 2~\mathrm{T}.$$

Le référentiel $K$, lié au proton, est galiléen.

1. Montrer qu'on peut choisir un référentiel $K'$ en rotation autour de $(Oz)$, à la vitesse angulaire $\Omega_L$, dans lequel le champ magnétique n'apparaît plus. Calculer $\Omega_L$. On néglige les termes en $\Omega_L^2$.
2. Préciser la condition de validité sur la vitesse angulaire $\dot\theta$ de l'électron et la vérifier numériquement.
3. Calculer la variation du moment magnétique orbital due au champ. Quel est le type de magnétisme ?

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