Mathématiques 1

Déterminons les valeurs propres possibles de $u$, puis montrons que $\operatorname{tr}(u) = 0$.

Valeurs propres.

Le polynôme $X^2$ annule $u$.

D'après le théorème liant valeurs propres et polynôme annulateur (théorème 1.8), toute valeur propre de $u$ est racine de $X^2$, donc vaut $0$.

Réciproquement, $0$ est valeur propre : si $u$ était injectif, $u^2 = u \circ u$ le serait aussi, ce qui est faux puisque $u^2 = 0$ et $E \ne \{0\}$.

Donc $\mathrm{Sp}(u) = \{0\}$.

Trace.

Le polynôme $\chi_u$ est unitaire de degré $n \ge 1$, donc scindé sur $\mathbb{C}$ (propriété 5.2, polynômes scindés sur $\mathbb{C}$).

Ses racines sont les valeurs propres de $u$ (propriété 2.3, racines de $\chi_u$), donc toutes nulles.

Ainsi $\chi_u = X^n$.

Or le coefficient de $X^{n-1}$ dans $\chi_u$ vaut $-\operatorname{tr}(u)$ (propriété 2.2, coefficients à connaître), et il est nul dans $X^n$.

Donc la seule valeur propre de $u$ est $0$, et $\operatorname{tr}(u) = 0$.