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Mines-Ponts · PC · session 2026

Physique II

corrigé question par question

  • Physique
  • 35 questions
  • Sujet entier, Q1 à Q35

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Aperçu : Q1

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I L’hypothèse atomique

Notations et définitions.

La charge de l’électron est −e-e, avec e>0e>0, et sa masse est mem_e.

Les constantes ϵ0\epsilon_0 et μ0\mu_0 sont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide.

La célérité de la lumière vérifie ϵ0μ0c2=1\epsilon_0\mu_0c^2=1.

Un point sur une grandeur désigne sa dérivée temporelle.

Les crochets ⟨⋅⟩\langle\cdot\rangle désignent une moyenne, quantique ou temporelle suivant le contexte.

Les données numériques communes sont :

e=1,6×10−19 C,me=9,1×10−31 kg,c=3,0×108 m.s−1,ϵ0=8,9×10−12 F.m−1,ℏ=h2π≃1,0×10−34 J.s.\begin{aligned} e&=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{C},\\ m_e&=9{,}1\times10^{-31}\,\mathrm{kg},\\ c&=3{,}0\times10^8\,\mathrm{m.s^{-1}},\\ \epsilon_0&=8{,}9\times10^{-12}\,\mathrm{F.m^{-1}},\\ \hbar&=\frac{h}{2\pi} \simeq1{,}0\times10^{-34}\,\mathrm{J.s}. \end{aligned}

On dispose également des valeurs suivantes :

Em,e=mec2=0,5 MeV,χ=e4πϵ0≃1,5×10−9 V.m,1 eV=1,6×10−19 J.\begin{aligned} \mathcal E_{m,e}&=m_ec^2 =0{,}5\,\mathrm{MeV},\\ \chi&=\frac{e}{4\pi\epsilon_0} \simeq1{,}5\times10^{-9}\,\mathrm{V.m},\\ 1\,\mathrm{eV}&=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{J}. \end{aligned}

I.A Taille de l’électron

Notations et définitions.

Dans le premier modèle, l’électron est ponctuel et placé à l’origine OO d’un repère cartésien orthonormé.

Sa masse, notée mm dans ce modèle, est celle de l’électron.

Le point d’observation MM est repéré par ses coordonnées sphériques (r,θ,φ)(r,\theta,\varphi).

Dans le second modèle, la charge totale −e-e est uniformément répartie dans une boule de centre OO et de rayon re>0r_e>0.

Sa densité volumique de charge est notée ρ\rho.

L’énergie électrostatique totale est notée WeW_e.

Q1.

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Résultat

Ainsi, la figure et les définitions précisent entièrement le repérage demandé.

Représentons l’électron, le point MM et les bases cartésienne et sphérique, en définissant les trois coordonnées de MM.

La coordonnée r=OM>0r=OM>0 mesure la distance à l’origine.

L’angle θ∈[0,π/2]\theta\in[0,\pi/2] est la colatitude, mesurée depuis l’axe OzOz vers OM→\overrightarrow{OM}.

L’angle φ∈[0,π/2[\varphi\in[0,\pi/2[ est l’azimut, mesuré depuis OxOx vers la projection de OM→\overrightarrow{OM} dans le plan OxyOxy.

Les relations entre coordonnées sont celles du repérage sphérique (définition 2.8, coordonnées sphériques) :

x=rsin⁡θcos⁡φ,y=rsin⁡θsin⁡φ,z=rcos⁡θ.\begin{aligned} x&=r\sin\theta\cos\varphi,\\ y&=r\sin\theta\sin\varphi,\\ z&=r\cos\theta. \end{aligned}

Le vecteur e^r\hat e_r est dirigé de OO vers MM.

Le vecteur e^θ\hat e_\theta est tangent au méridien dans le sens des θ\theta croissants.

Le vecteur e^φ\hat e_\varphi est tangent au parallèle dans le sens des φ\varphi croissants.

La base est orthonormée directe :

e^r∧e^θ=e^φ.\hat e_r\wedge\hat e_\theta=\hat e_\varphi.
Repère cartésien en perspective avec axe z vertical, axe y vers la droite et axe x vers le bas à gauche. Électron de charge négative à l’origine O. Point M dans le premier octant et projection H dans le plan horizontal. Segment OM de longueur r, angle theta entre Oz et OM, angle phi entre Ox et OH. En M, vecteur radial vers l’extérieur, vecteur polaire tangent au méridien vers les theta croissants et vecteur azimutal tangent au parallèle vers les phi croissants.
Figure : r=OMr=OM, θ\theta est mesuré depuis OzOz et φ\varphi dans le plan OxyOxy. Les trois vecteurs locaux sont représentés en MM.

Pour θ=0\theta=0, l’azimut ne repère plus une position distincte : le choix de φ\varphi fixe alors l’orientation des deux vecteurs transverses.

Ainsi, la figure et les définitions précisent entièrement le repérage demandé.

Q2

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Q3

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