Machines thermiques

Résumé en cinq points

1Cadre d'étude

1.1Machine cyclique

Sur un cycle, toute fonction d'état revient à sa valeur initiale, donc $$\Delta U = 0 \quad \text{et} \quad \Delta S = 0.$$

Toutes les relations du chapitre en découlent. En pratique, les machines réelles fonctionnent en régime permanent avec un écoulement continu, mais on raisonne sur une masse de fluide qui effectue un tour complet.

1.2Conventions

• $W$ est le travail total reçu par le fluide au cours d'un cycle.
• $Q_i$ est le transfert thermique reçu de la source $i$.
• Tout est compté positivement quand c'est reçu par le fluide : une machine qui fournit du travail à l'extérieur a donc $W < 0$.

2Machine monotherme

Une machine monotherme n'échange qu'avec une seule source, à la température $T_0$.

Il est impossible de produire du travail en prélevant simplement de l'énergie thermique à une seule source. C'est pourquoi on ne peut pas faire avancer un bateau en refroidissant l'océan, bien que le premier principe ne l'interdise pas.

3Machine ditherme

3.1Les deux relations de base

Ces deux relations suffisent à traiter tout le chapitre. Il faut savoir les réécrire immédiatement.

3.2Sens des échanges

Le fluide prélève de l'énergie thermique à la source chaude, en convertit une partie en travail, et rejette le reste à la source froide. Ce rejet n'est pas un défaut technique, il est imposé par le deuxième principe. Aucun moteur ne peut convertir intégralement de la chaleur en travail.

On fournit du travail pour faire remonter de l'énergie thermique de la source froide vers la source chaude, dans le sens contraire de son évolution spontanée.

3.3Rendement d'un moteur et théorème de Carnot

Un rendement, ou une efficacité, est le rapport de ce que l'on veut obtenir à ce que l'on doit payer, tous deux comptés en valeur absolue.

Le rendement maximal, dit rendement de Carnot, ne dépend que des températures des deux sources et d'aucune caractéristique de la machine. Il est toujours strictement inférieur à 1 tant que $T_f$ n'est pas nulle. Pour l'améliorer, il faut augmenter $T_c$ ou abaisser $T_f$.

3.4Efficacité d'un réfrigérateur et d'une pompe à chaleur

Ces deux bornes s'obtiennent exactement comme le théorème de Carnot, en combinant les deux relations de base. On préfère le mot efficacité au mot rendement, car ces grandeurs sont supérieures à 1. Une pompe à chaleur qui livre trois fois plus d'énergie thermique qu'elle ne consomme d'énergie électrique ne viole rien : elle ne crée pas d'énergie, elle en déplace.

4Machines réelles, ordres de grandeur et cogénération

4.1Ordres de grandeur à citer

Les machines réelles sont irréversibles, leur performance est donc nettement inférieure à la limite de Carnot. Valeurs à connaître en ordre de grandeur :

• moteur thermique d'automobile : rendement de l'ordre de 30 à 40 %, l'allumage par compression faisant un peu mieux que l'allumage commandé ;
• centrale thermique à flamme : de l'ordre de 40 %. Centrale nucléaire : plus proche de 33 %, car la température de la vapeur y est plus basse ;
• cycle combiné gaz et vapeur, où les gaz chauds d'une turbine à gaz servent à produire de la vapeur : jusqu'à environ 60 %, la machine thermique la plus performante en service ;
• pompe à chaleur domestique : efficacité réelle de l'ordre de 3 à 4 en fonctionnement moyen sur une saison ;
• réfrigérateur domestique : efficacité de l'ordre de 2 à 3.

La limite théorique correspondante est d'environ 0,6 à 0,65 pour une centrale. Le rapport entre le rendement réel et le rendement de Carnot, de l'ordre de 0,6, mesure la qualité de la machine.

4.2Cogénération

Dans un moteur ou une centrale, la majeure partie de l'énergie prélevée à la source chaude est rejetée à la source froide. Ce rejet est inévitable, mais il n'est pas forcément perdu.

Le deuxième principe n'est pas contourné, on ne produit pas plus de travail. On cesse simplement de jeter la chaleur rejetée. Le taux d'utilisation global de l'énergie du combustible peut alors atteindre 80 à 90 %, contre 40 % pour la seule production électrique. La contrainte est géographique : il faut un consommateur de chaleur à proximité, car la chaleur se transporte mal.

4.3Modéliser un dispositif concret

C'est une capacité exigible et une question fréquente.

Sources selon le dispositif :

• réfrigérateur : source froide, l'intérieur de l'appareil ; source chaude, la cuisine ;
• climatiseur : source froide, la pièce ; source chaude, l'air extérieur ;
• pompe à chaleur : source froide, l'air extérieur ou le sol ; source chaude, le circuit de chauffage.

4.4Mise en œuvre expérimentale

Le programme demande de mettre en œuvre une machine thermique cyclique ditherme. Deux supports courants au laboratoire :

• un moteur de Stirling de démonstration, dont on peut mesurer la puissance mécanique produite et estimer la puissance thermique fournie, afin de comparer le rendement mesuré au rendement de Carnot calculé à partir des températures des deux sources ;
• un module à effet thermoélectrique, qui fonctionne en récepteur quand on l'alimente et en générateur quand on lui impose un écart de température, et sur lequel on mesure l'efficacité.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Montrer qu'une machine cyclique monotherme ne peut pas fournir de travail.
2. Écrire les deux relations de base pour une machine ditherme et établir l'inégalité de Clausius.
3. Déterminer les signes de $W$, $Q_c$ et $Q_f$ pour un moteur puis pour un récepteur, et les justifier.
4. Établir le théorème de Carnot pour le rendement d'un moteur et préciser le cas d'égalité.
5. Établir les efficacités maximales du réfrigérateur et de la pompe à chaleur, et montrer que $e_{\text{chaud}} = e_{\text{froid}} + 1$.
6. Modéliser un réfrigérateur ou une pompe à chaleur réels, en identifiant les sources et le sens des échanges.
7. Citer des ordres de grandeur de rendements réels : moteur, centrale, pompe à chaleur.
8. Expliquer le principe de la cogénération et dire en quoi elle ne contredit pas le deuxième principe.

Les résultats à connaître

• Premier principe sur un cycle. Pour le fluide, système fermé, ΔU = 0 donc W + Σ Q_i = 0. Exigible.
• Deuxième principe sur un cycle. ΔS = 0 donc Σ Q_i/T_i + S_créée = 0 avec S_créée ≥ 0. T_i est la température de la source i, pas celle du fluide. Exigible.
• Impossibilité du moteur monotherme. Une machine cyclique en contact avec une seule source vérifie W ≥ 0 et Q ≤ 0. Exigible avec démonstration.
• Inégalité de Clausius ditherme. Q_c/T_c + Q_f/T_f ≤ 0, avec égalité si et seulement si le cycle est réversible. Exigible avec démonstration.
• Sens des échanges d'un moteur. Si W < 0, alors Q_c > 0 et Q_f < 0. Exigible avec démonstration.
• Sens des échanges d'un réfrigérateur. Si Q_f > 0, alors Q_c < 0 et W > 0. Exigible avec démonstration. La réciproque est fausse : W > 0 n'impose pas Q_f > 0.
• Théorème de Carnot. η ≤ 1 − T_f/T_c, avec égalité si et seulement si le cycle est réversible. Exigible avec démonstration.
• Bornes des récepteurs. e_froid ≤ T_f/(T_c − T_f) et e_chaud ≤ T_c/(T_c − T_f). Exigibles avec démonstration.
• Relation e_chaud = e_froid + 1, valable pour un même cycle, réel ou réversible. Exigible.
• Corollaire de Carnot. Toutes les machines dithermes réversibles entre les mêmes sources ont la même performance, quel que soit le fluide. Exigible.
• Cycle de Carnot. C'est le seul cycle ditherme réversible : deux isothermes aux températures des sources et deux adiabatiques réversibles. À connaître et à justifier.
• Loi de Laplace, vue au chapitre précédent. PV^γ = constante pour un gaz parfait de γ constant, en évolution adiabatique réversible. Exigible, elle sert à calculer les cycles.
• Ordres de grandeur des rendements réels et principe de la cogénération. Exigibles sans démonstration.
• Hors programme de PCSI, à signaler si un énoncé les utilise :
  • le premier principe pour un fluide en écoulement, vu en PC.
  • l'exploitation quantitative des diagrammes (P, h) et (T, s).
  • le rendement de Curzon-Ahlborn.
  • la notion d'exergie.

Clés de démonstration

Moteur monotherme. Le bilan d'entropie donne Q = − T₀ S_créée. On ne connaît de S_créée que son signe, et on le transporte sur Q grâce à T₀ > 0. Le premier principe transfère ensuite ce signe à W.

Inégalité de Clausius. Sur un cycle, ΔS = 0, donc l'entropie échangée vaut − S_créée. Comme les sources sont des thermostats, l'entropie échangée s'écrit simplement Q_c/T_c + Q_f/T_f. L'astuce est que les températures au dénominateur sont constantes, ce qui évite toute intégrale.

Signes pour un moteur. On a W < 0, donc Q_c + Q_f > 0. On raisonne par l'absurde en supposant Q_c ≤ 0.

• Alors Q_f > − Q_c ≥ 0.
• Clausius donne Q_f ≤ − Q_c T_f/T_c.
• Or − Q_c T_f/T_c ≤ − Q_c puisque T_f/T_c < 1 et − Q_c ≥ 0. On obtient Q_f ≤ − Q_c, ce qui contredit Q_f > − Q_c.

Donc Q_c > 0, et Clausius impose alors Q_f ≤ − Q_c T_f/T_c < 0.

Signes pour un réfrigérateur. On part de Q_f > 0, qui est la définition du fonctionnement utile.

• Clausius donne Q_c/T_c ≤ − Q_f/T_f < 0, donc Q_c < 0.
• Puis W = − Q_c − Q_f ≥ Q_f (T_c/T_f − 1) > 0.

L'astuce est de partir de la grandeur utile et non du signe de W.

Théorème de Carnot. On écrit η = 1 + Q_f/Q_c. On divise l'inégalité de Clausius par Q_c, qui est positif, donc le sens est conservé : Q_f/Q_c ≤ − T_f/T_c. Tout repose sur le fait d'avoir établi le signe de Q_c avant de diviser.

Bornes des récepteurs. On ne manipule pas le quotient directement, on minore W.

• Réfrigérateur : − Q_c ≥ Q_f T_c/T_f donne W ≥ Q_f (T_c − T_f)/T_f, d'où e_froid ≤ T_f/(T_c − T_f).
• Pompe à chaleur : Q_f ≤ − Q_c T_f/T_c donne W ≥ − Q_c (T_c − T_f)/T_c, d'où e_chaud ≤ T_c/(T_c − T_f).

Cycle de Carnot. Un transfert thermique avec un thermostat n'est réversible que si le fluide est à la température de la source pendant l'échange. Un écart fini de température crée de l'entropie. Le fluide suit donc une isotherme à T_c, une isotherme à T_f, et entre les deux il n'échange rien de façon réversible : ce sont deux adiabatiques réversibles.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Centrale nucléaire. La vapeur est vers 290 °C (563 K) et la rivière vers 20 °C (293 K). Le rendement de Carnot vaut 0,48 et le rendement réel 0,33. Cet exemple montre l'écart entre la limite et la réalité.

2. Congélateur à − 18 °C (255 K) dans une cuisine à 20 °C (293 K). L'efficacité maximale est 255/38 ≈ 6,7, pour une efficacité réelle de 2 à 3.

3. Pompe à chaleur avec une source froide à 0 °C (273 K).

   • Plancher chauffant à 35 °C : e_max = 308/35 ≈ 8,8.
   • Radiateurs à 60 °C : e_max = 333/60 ≈ 5,6.

   La température de distribution compte autant que la machine.

4. Réfrigérateur porte ouverte. La cuisine se réchauffe. Le système {réfrigérateur + cuisine} reçoit W > 0 et rien d'autre. C'est un contre-exemple à l'idée intuitive de « climatiser une pièce ».

5. Radiateur électrique. Il a une efficacité égale à 1, alors qu'une pompe à chaleur dépasse 3. Aucune n'enfreint le premier principe, la pompe déplace de l'énergie au lieu de la produire.

6. Cas limite T_f → T_c. Le rendement de Carnot tend vers 0 et l'efficacité maximale tend vers l'infini. Ces tendances servent de test de cohérence d'un résultat.

7. Récepteur dissipatif. Un cycle peut avoir W > 0, Q_c > 0 et Q_f < 0 en respectant les deux principes. Il laisse passer de l'énergie du chaud vers le froid et dissipe du travail. Contre-exemple à « W > 0 donc réfrigérateur ».

8. Moteur à essence. Son cycle n'échange pas avec deux thermostats, car la température des gaz varie. Son rendement théorique, 1 − a^1−γ, est inférieur au rendement de Carnot entre ses températures extrêmes. Le modèle ditherme n'est qu'une borne.

9. Climatiseur réversible. C'est la même machine qu'une pompe à chaleur, avec une vanne qui inverse le sens de circulation. Les rôles des échangeurs intérieur et extérieur s'échangent.

Techniques du chapitre

Passer en puissances pour une machine en régime permanent. On divise les bilans par la durée d'un cycle : P_m + P_c + P_f = 0 et P_c/T_c + P_f/T_f ≤ 0. Mini-exercice : une centrale produit 900 MW électriques avec η = 0,33. La puissance thermique reçue vaut 900/0,33 ≈ 2 700 MW. Elle rejette donc environ 1 800 MW à la rivière.

Écrire « voulu sur payé » en toutes lettres. Mini-exercice : un climatiseur d'efficacité 3 extrait 3 kW d'une pièce.

• Travail consommé : W = 3/3 = 1 kW.
• Puissance rejetée dehors : 3 + 1 = 4 kW.

Calculer l'entropie créée à partir des échanges. Mini-exercice : un moteur reçoit Q_c = 1 000 J à 600 K, fournit 300 J et rejette à 300 K.

• Premier principe : Q_f = − 700 J.
• Entropie créée : S_créée = − (1 000/600 − 700/300) ≈ 0,67 J/K. Elle est positive, le moteur est donc possible.

Relier le travail perdu à l'entropie créée. À Q_c fixé, le travail fourni vaut le travail réversible diminué de T_f S_créée. Mini-exercice, suite du précédent :

• Travail réversible : 1 000 × 0,5 = 500 J.
• Travail perdu : 300 × 0,67 = 200 J.
• On retrouve bien 500 − 200 = 300 J fournis.

Convertir en kelvins avant tout calcul. Mini-exercice : sources à 100 °C et 20 °C.

• Calcul faux en degrés Celsius : 1 − 20/100 = 0,8.
• Calcul juste : 1 − 293/373 = 0,21.

Traiter une source de capacité finie comme une suite de thermostats. Sur un cycle élémentaire, la source est à T et reçoit δQ = C dT. On écrit les deux principes sous forme différentielle, puis on intègre. Mini-exercice : l'entropie échangée par le fluide avec cette source vaut − C dT/T, car le fluide reçoit − δQ à la température T.

Calculer les transferts d'un gaz parfait sur un cycle. Mini-exercice : sur une isotherme de V₁ à V₂, ΔU = 0 donc Q = − W = nRT ln(V₂/V₁). Sur une isochore, W = 0 donc Q = C_v ΔT.

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