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Mines-Ponts · PC · session 2026

Physique I

corrigé question par question

  • Physique
  • 25 questions
  • Sujet entier, Q1 à Q25

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Aperçu : Q1

Les théorèmes cités renvoient à nos cours, au théorème même. Dans l'app Sup et Spé, ces liens ouvrent le cours dans l'app, sans quitter le corrigé.

I Les raies d’émission de l’hydrogène atomique

Notations et définitions.

L’impulsion d’une particule de masse mm et de vitesse v⃗\vec v est p⃗=mv⃗\vec p=m\vec v.

Sa norme est notée pp.

La longueur d’onde de matière λ\lambda vérifie la relation de de Broglie :

λ=hp.\lambda=\frac{h}{p}.

La notation λ0\lambda_0 désigne une longueur d’onde électromagnétique dans le vide.

Les grandeurs complexes sont soulignées et i2=−1\mathrm{i}^2=-1.

On pose ℏ=h/(2π)\hbar=h/(2\pi).

Les constantes utiles sont :

c=3,0×108 m.s−1,e=1,6×10−19 C,h=6,6×10−34 J.s,me=9,1×10−31 kg,mn=1,7×10−27 kg,ε0=8,9×10−12 F.m−1.\begin{aligned} c&=3{,}0\times10^8\,\mathrm{m.s^{-1}},\\ e&=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{C},\\ h&=6{,}6\times10^{-34}\,\mathrm{J.s},\\ m_e&=9{,}1\times10^{-31}\,\mathrm{kg},\\ m_n&=1{,}7\times10^{-27}\,\mathrm{kg},\\ \varepsilon_0&=8{,}9\times10^{-12}\,\mathrm{F.m^{-1}}. \end{aligned}

On utilisera également les données approchées :

1 eV=1,6×10−19 J,hc≃1,2 eV.μm.\begin{aligned} 1\,\mathrm{eV}&=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{J},\\ hc&\simeq1{,}2\,\mathrm{eV.\mu m}. \end{aligned}

Sauf indication contraire, les résultats numériques comportent deux chiffres significatifs.

Le noyau de l’atome d’hydrogène est supposé fixe.

Les énergies accessibles à l’électron forment un ensemble discret.

Une transition électronique d’une énergie EiE_i vers une énergie Ef<EiE_f<E_i produit un photon d’énergie ϵ=Ei−Ef\epsilon=E_i-E_f.

Les cinq raies considérées sont repérées par k∈[ ⁣[1,5] ⁣]k\in[\![1, 5]\!] :

  • k=1k=1 : raie Hα\mathrm H_\alpha, de longueur d’onde 660 nm660\,\mathrm{nm} ;
  • k=2k=2 : raie Hβ\mathrm H_\beta, de longueur d’onde 490 nm490\,\mathrm{nm} ;
  • k=3k=3 : raie Hγ\mathrm H_\gamma, de longueur d’onde 440 nm440\,\mathrm{nm} ;
  • k=4k=4 : raie Hδ\mathrm H_\delta, de longueur d’onde 410 nm410\,\mathrm{nm} ;
  • k=5k=5 : raie Hϵ\mathrm H_\epsilon, de longueur d’onde 400 nm400\,\mathrm{nm}.

Le graphique du sujet représente 1/λ01/\lambda_0, exprimé en  μm−1\,\mathrm{\mu m^{-1}}, en fonction de 1/(k+2)21/(k+2)^2.

Une droite décroissante ajuste les points expérimentaux.

Q1.

Transitions entre niveaux d’énergie et spectre de l’hydrogène

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Résultat
λ0=hcEi−Ef.\boxed{\lambda_0=\frac{hc}{E_i-E_f}.}

Exprimons λ0\lambda_0 en fonction de EiE_i, EfE_f, hh et cc.

Le photon émis se propage dans le vide.

La relation de Planck-Einstein donne son énergie (propriété 1.2, énergie et impulsion du photon) :

ϵ=hcλ0.\epsilon=\frac{hc}{\lambda_0}.

La conservation de l’énergie pendant la transition impose ϵ=Ei−Ef\epsilon=E_i-E_f.

Comme Ei>EfE_i>E_f, la longueur d’onde est donc positive et vaut

λ0=hcEi−Ef.\boxed{\lambda_0=\frac{hc}{E_i-E_f}.}

Q2 à Q5

Transitions entre niveaux d’énergie et spectre de l’hydrogène

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Q6

Énergie potentielle d’une interaction coulombienne

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Q7 à Q9

Moment cinétique, potentiel effectif et orbites coulombiennes

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Q10 à Q12

Quantification de Bohr et échelle atomique

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Q13 et Q14

Fonction d’onde et états stationnaires dans un potentiel uniforme

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Q15

Conditions géométriques de formation des ondes stationnaires

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Q16 et Q17

Quantification de l’énergie dans un puits infini et confinement nucléaire

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Q18

Potentiel du cristal et suppression du champ électrique parasite

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Q19

Énergie et impulsion d’un électron accéléré par une tension

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Q20

Courant de probabilité et amplitude d’une onde de matière

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Q21 et Q22

Interférences des ondes de matière et diffraction par un cristal

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Q23 à Q25

État fondamental de l’hydrogène, densité radiale et énergies moyennes

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La suite, de Q2 à Q25 : accès Sup et Spé+

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