Diffusion thermique

Exercice 1. Mur et convection ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Un mur de béton de $20~\mathrm{cm}$, de $\lambda = 1~\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ et de $10~\mathrm{m^2}$ sépare l'intérieur à $20~^\circ\mathrm{C}$ de l'extérieur à $0~^\circ\mathrm{C}$.

La loi de Newton est fournie, avec $h = 10~\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ dedans et $20$ dehors.

Calculer le flux et les températures de surface, puis refaire le calcul avec $10~\mathrm{cm}$ de laine de verre de $\lambda = 0{,}04$ côté intérieur.

Exercice 2. Simple et double vitrage ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Comparer, par mètre carré, un simple vitrage de $4~\mathrm{mm}$ et un double vitrage de deux verres de $4~\mathrm{mm}$ séparés par $12~\mathrm{mm}$ d'air immobile.

On prend $$\lambda_{\text{verre}} = 1, \qquad \lambda_{\text{air}} = 0{,}025,$$ $$h_{\text{int}} = 10 \quad \text{et} \quad h_{\text{ext}} = 20,$$ en unités SI.

Exercice 3. Tuyau calorifugé et rayon critique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Établir la résistance d'une gaine cylindrique de rayons $r_1$ et $r_2$, de longueur $H$, de conductivité $\lambda$.

Elle échange avec l'air selon la loi de Newton fournie, de coefficient $h$.

Étudier la résistance totale en fonction de $r_2$, puis conclure pour $\lambda = 0{,}04$ et $h = 10$.

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Exercice 4. Fil chauffé par effet Joule ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP PC

Un fil de cuivre de rayon $a = 1~\mathrm{mm}$, de conductivité électrique $\sigma = 6 \times 10^{7}~\mathrm{S\,m^{-1}}$ et thermique $\lambda = 400~\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$, porte un courant $I = 10~\mathrm{A}$ uniformément réparti.

Il échange avec l'air à $T_f$ selon la loi de Newton fournie, avec $h = 10~\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$.

Déterminer le profil stationnaire.

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Exercice 5. Ailette de refroidissement ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP PC

Une barre cylindrique très longue, de rayon $a$ et de conductivité $\lambda$, a sa base à $T_0$.

Sa surface latérale échange avec l'air à $T_a$ selon la loi de Newton fournie.

On suppose $T$ uniforme sur chaque section droite.

Trouver $T(x)$ en régime stationnaire et la puissance évacuée.

Comparer cuivre et acier inoxydable pour $a = 5~\mathrm{mm}$ et $h = 10$.

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Exercice 6. Refroidissement nocturne d'une maison ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP ou e3a

Une maison de capacité thermique $C = 2 \times 10^{7}~\mathrm{J\,K^{-1}}$ a une conductance d'enveloppe de $200~\mathrm{W\,K^{-1}}$.

Le chauffage s'arrête à $22~\mathrm{h}$, l'intérieur est à $20~^\circ\mathrm{C}$ et l'extérieur reste à $0~^\circ\mathrm{C}$.

Température à $8~\mathrm{h}$ ?

Discuter le modèle.

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Exercice 7. capacité numérique. Simulation d'une barre ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min

Une barre de cuivre de $1~\mathrm{m}$, avec $D_{\mathrm{th}} = 10^{-4}~\mathrm{m^2\,s^{-1}}$, est à $20~^\circ\mathrm{C}$.

On porte l'extrémité $x = 0$ à $100~^\circ\mathrm{C}$ et l'on calorifuge l'autre.

Construire la simulation par le schéma explicite avec $50$ intervalles.

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Exercice 8. Température d'une cave ★★★

Approfondissement · 40 min · Type écrit Mines

La surface du sol, en $x = 0$, est à $$T_m + \theta_0 \cos \omega t.$$

Le sol a une diffusivité $D_{\mathrm{th}} \approx 5 \times 10^{-7}~\mathrm{m^2\,s^{-1}}$.

L'énoncé suggère une solution $$T_m + \operatorname{Re}\left(\theta_0\, e^{i\omega t - kx}\right),$$ avec $k$ complexe.

Déterminer $k$, les profondeurs de pénétration journalière et annuelle, et commenter pour une cave à $5~\mathrm{m}$.

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Exercice 9. Cuire un œuf d'autruche ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral Centrale

Un œuf de poule de $60~\mathrm{g}$ durcit en $10$ minutes dans l'eau bouillante.

Estimer la durée pour un œuf d'autruche de $1{,}5~\mathrm{kg}$.

Confronter une estimation directe par $L^2/D_{\mathrm{th}}$ à la réalité.

Exercice classique. Puissance évacuée et intérêt d’un allongement ★★★

Classique du chapitre

Une ailette droite homogène possède une section carrée de côté $a=1{,}0\ \mathrm{cm}$, une conductivité constante $\lambda=100\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ et une longueur $L=\ln(2)/10\ \mathrm{m}$. Ses faces latérales échangent avec un environnement uniforme à $T_{\mathrm{ext}}=20\,^{\circ}\mathrm{C}$ suivant la loi $j_{\mathrm{lat}}=h(T-T_{\mathrm{ext}})$, avec $h=25\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$. La base est maintenue uniformément à $T_b=80\,^{\circ}\mathrm{C}$, sans résistance de contact, et la face terminale est isolée. Le régime est stationnaire, sans source volumique ni rayonnement. On adopte le modèle de sections isothermes.

1. Calculer $S$, $P$, le nombre de Biot transversal $hS/(\lambda P)$ et le paramètre $m=\sqrt{hP/(\lambda S)}$. Commenter la cohérence de l’approximation transversale.
2. Établir l’équation différentielle et les conditions aux limites, puis déterminer $T(x)$.
3. Calculer exactement la température de l’extrémité et la puissance thermique reçue à la base. Vérifier cette puissance par intégration de l’échange latéral.
4. On remplace l’ailette par une autre de longueur $2L$, en conservant tous les autres paramètres et l’isolation terminale. Calculer la nouvelle puissance et son rapport à la puissance initiale. La puissance est-elle doublée ?

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