Mathématiques 2

Partie A : préliminaires

• Pour deux entiers $a\le b$, $[\![a, b]\!]$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $a\le k\le b$.
• Pour $n\in\mathbb{N}$, $\mathcal T_n$ est le $\mathbb{C}$-espace vectoriel des polynômes trigonométriques de degré au plus $n$. Ce sont les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ de la forme $x\mapsto\sum_{k=-n}^{n}c_k\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}$, avec $c_k\in\mathbb{C}$ pour tout $k\in[\![-n, n]\!]$.
• $\mathcal C^0_{2\pi}$ est le $\mathbb{C}$-espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ continues et $2\pi$-périodiques. $\mathcal C^1_{2\pi}$ est son sous-espace formé des fonctions de classe $\mathcal C^1$.
• Pour $g\in\mathcal C^0_{2\pi}$ et $h>0$, on pose :

• Pour toute fonction bornée $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, on note $\left\lVert f \right\rVert_\infty=\sup_{t\in\mathbb{R}}\left\lvert f(t) \right\rvert$.

Q1.