Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Résumé en cinq points

1Force centrale et conservation du moment cinétique

1.1Définition

• La force est attractive si $F < 0$ et répulsive si $F > 0$.
• Exemples classiques : la force gravitationnelle exercée par un astre à symétrie sphérique, la force électrostatique entre deux charges ponctuelles, la force de rappel d'un ressort dont une extrémité est fixée en $O$.

1.2Conservation du moment cinétique

Ce raisonnement est exigible et tient en trois lignes.

1.3Première conséquence, le mouvement est plan

Par construction $\vec L_O$ est orthogonal à $\vec{OM}$. Le plan est fixé par les conditions initiales, puisque $\vec L_O$ se calcule à l'instant initial.

1.4Deuxième conséquence, la loi des aires

On travaille dans le plan du mouvement, en coordonnées polaires $(r,\theta)$ de centre $O$. La vitesse s'écrit $\vec v = \dot r\,\vec e_r + r\dot\theta\,\vec e_\theta$, d'où $$\vec L_O = m r^2\dot\theta\,\vec e_z.$$

C'est la deuxième loi de Kepler, et elle vaut pour toute force centrale, pas seulement pour la gravitation.

2Force centrale conservative et énergie potentielle effective

2.1Force centrale conservative

2.2Construction de l'énergie potentielle effective

On part de l'énergie cinétique en polaires : $$E_c = \frac{1}{2}\,m\left(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2\right).$$ On remplace $\dot\theta$ grâce à la constante des aires, $\dot\theta = C/r^2$. Il vient $r^2\dot\theta^2 = C^2/r^2$. Donc $$E_m = \frac{1}{2}\,m\dot r^2 + \frac{mC^2}{2r^2} + E_p(r).$$

Le problème à deux degrés de liberté est devenu formellement identique à un problème à un degré de liberté, celui d'un point de masse $m$ se déplaçant sur un axe $r > 0$ dans le potentiel $E_{p,\text{eff}}$.

Le terme $\dfrac{mC^2}{2r^2}$ est toujours positif et diverge quand $r \to 0$. On l'appelle parfois barrière centrifuge. Il traduit le fait qu'un point de moment cinétique non nul ne peut pas atteindre le centre.

2.3Lecture graphique du mouvement radial

On trace $E_{p,\text{eff}}$ en fonction de $r$, et la droite horizontale d'ordonnée $E_m$. Comme $\frac{1}{2}\,m\dot r^2 \geqslant 0$, le mouvement n'est possible que là où $E_{p,\text{eff}}(r) \leqslant E_m$.

Les points où $E_{p,\text{eff}}(r) = E_m$ sont les points de rebroussement radial, où $\dot r$ s'annule et change de signe. Ce ne sont pas des points d'arrêt, car la vitesse orthoradiale $r\dot\theta$ n'y est pas nulle.

Le caractère borné ou non du mouvement radial se lit sur la valeur de $E_m$ par rapport aux valeurs remarquables de $E_{p,\text{eff}}$. C'est une capacité exigible : il faut savoir la commenter sur un graphe fourni.

2.4Capacité numérique

Le programme demande de savoir obtenir des trajectoires par un langage de programmation.

3Cas du champ newtonien

3.1Force et énergie potentielle

Un champ newtonien est un champ central en $1/r^2$. Pour la gravitation exercée par un astre de masse $M$ sur un point de masse $m$ : $$\vec F = -\frac{GMm}{r^2}\,\vec e_r, \qquad E_p(r) = -\frac{GMm}{r},$$ avec la convention $E_p$ nulle à l'infini et $G \approx 6{,}67 \times 10^{-11}$ SI. La force électrostatique a la même forme, avec un signe qui peut être répulsif.

L'énergie potentielle effective vaut $$E_{p,\text{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{mC^2}{2r^2}.$$ Pour $C$ non nul, elle part de $+\infty$ en $r \to 0$ à cause du terme centrifuge, décroît, passe par un minimum négatif, puis remonte et tend vers 0 par valeurs négatives quand $r \to +\infty$.

3.2Lois de Kepler

Elles sont énoncées pour les planètes du système solaire et se transposent aux satellites d'une planète.

La deuxième loi est une conséquence du caractère central de la force, démontrée plus haut. Les deux autres sont propres au champ en $1/r^2$.

3.3Mouvement circulaire

C'est le seul cas dont l'étude quantitative complète est exigible. On suppose $r = R$ constant.

On applique le principe fondamental de la dynamique en projection sur $\vec e_r$. L'accélération d'un mouvement circulaire uniforme est centripète et vaut $v^2/R$. Donc $$\frac{mv^2}{R} = \frac{GMm}{R^2}, \quad\text{soit}\quad v = \sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

La période vaut $$T = \frac{2\pi R}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}},$$ d'où $$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}.$$

C'est la troisième loi de Kepler dans le cas circulaire. Le programme demande de savoir l'établir ainsi, puis d'admettre sa généralisation au cas elliptique en remplaçant $R$ par le demi-grand axe $a$.

3.4Énergie mécanique

Pour le mouvement circulaire de rayon $R$ : $$\begin{aligned} E_c &= \frac{1}{2}\,mv^2 = \frac{GMm}{2R}, \\ E_p &= -\frac{GMm}{R}, \\ E_m &= -\frac{GMm}{2R}. \end{aligned}$$

On retient les relations $E_m = E_p/2 = -E_c$. L'énergie mécanique est négative, ce qui est cohérent avec un état lié.

L'énergie ne dépend que du demi-grand axe, pas de l'excentricité. Deux orbites de même demi-grand axe coûtent la même énergie. Faire passer un satellite d'une orbite basse à une orbite haute exige de fournir de l'énergie, puisque $E_m$ augmente (devient moins négative) quand $a$ augmente.

4Satellites terrestres

4.1Ordres de grandeur de référence

• Masse de la Terre : $M_T \approx 5{,}97 \times 10^{24} \unite{kg}$.
• Rayon terrestre : $R_T \approx 6\,370 \unite{km}$.
• Produit $GM_T \approx 3{,}99 \times 10^{14}$ SI, ce qui équivaut à $gR_T^2$ avec $g \approx 9{,}8 \unite{m.s^{-2}}$.

4.2Satellite géostationnaire

Le centre de la Terre est un foyer de l'orbite, donc le plan de l'orbite contient le centre de la Terre. Si ce plan n'était pas l'équateur, le satellite traverserait alternativement les deux hémisphères et ne pourrait pas rester au-dessus d'un point fixe.

Le calcul donne $$R = \left(\frac{GM_T T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 4{,}2 \times 10^{4} \unite{km},$$ soit une altitude d'environ $3{,}6 \times 10^{4} \unite{km}$. La vitesse vaut environ $3{,}1 \unite{km.s^{-1}}$.

4.3Différentes orbites selon la mission

• Orbite basse : altitude de quelques centaines de kilomètres, période d'environ 90 minutes. Utilisée pour les stations habitées et l'observation fine de la Terre. Une orbite quasi polaire permet de survoler toute la surface au fil des rotations terrestres.
• Orbite moyenne : de l'ordre de $20\,000 \unite{km}$ d'altitude, période de l'ordre de la demi-journée. C'est le domaine des constellations de navigation et de localisation, où il faut voir plusieurs satellites simultanément depuis un point au sol.
• Orbite géostationnaire : télécommunications et météorologie à grande échelle, car l'antenne au sol peut rester fixe et le satellite voit toujours la même portion du globe.

4.4Vitesses cosmiques

La condition de libération est $E_m \geqslant 0$, soit $$\frac{1}{2}\,mv^2 - \frac{GM_Tm}{R_T} \geqslant 0,$$ d'où $$v_2 = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}} = \sqrt{2}\,v_1 \approx 11{,}2 \unite{km.s^{-1}}.$$

Ces deux valeurs sont à citer de mémoire.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Démontrer la conservation du moment cinétique pour une force centrale, puis en déduire que le mouvement est plan.
2. Établir la loi des aires à partir de $\vec L_O = mr^2\dot\theta\,\vec e_z$ et du calcul de l'aire élémentaire balayée.
3. Construire l'énergie potentielle effective à partir de la conservation de l'énergie mécanique et de la constante des aires.
4. Discuter, sur un graphe de $E_{p,\text{eff}}$ fourni, l'existence d'un état lié ou d'un état de diffusion selon la valeur de $E_m$.
5. Établir que le mouvement circulaire est uniforme, puis calculer $v$, $T$ et retrouver la troisième loi de Kepler.
6. Exprimer l'énergie mécanique d'une orbite circulaire et citer la relation $E_m = -\dfrac{GMm}{2a}$ pour l'ellipse.
7. Déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire et justifier qu'il est dans le plan équatorial.
8. Retrouver la vitesse de libération par un bilan énergétique et donner sa valeur pour la Terre.

Les résultats à connaître

• Conservation du moment cinétique. Hypothèses : référentiel galiléen, point O fixe, force centrale de centre O seule, ou autres forces de moment nul en O. Alors L_O est constant. Exigible avec démonstration.
• Planéité. Si L_O ≠ 0, le mouvement a lieu dans le plan passant par O et orthogonal à L_O. Si L_O = 0, il est rectiligne sur une droite passant par O. Exigible avec démonstration.
• Loi des aires. C = r² θ̇ est constante et la vitesse aréolaire vaut dA/dt = C/2. Valable pour toute force centrale, conservative ou non. Exigible avec démonstration.
• Conservation de l'énergie mécanique. Hypothèses : force F(r) e_r dérivant de E_p(r) avec F = − dE_p/dr, et autres forces qui ne travaillent pas. Exigible.
• Énergie potentielle effective. E_m = ½ m ṙ² + E_p,eff(r) avec E_p,eff = E_p + m C²/(2r²). Exigible avec démonstration.
• État lié et état de diffusion. Le mouvement radial est borné quand l'intervalle accessible contenant r₀, où E_p,eff(r) ≤ E_m, est borné. Lecture graphique exigible.
• Nature des trajectoires newtoniennes selon E_m : cercle, ellipse, parabole, hyperbole. Affirmée, admise, sans aucune étude géométrique.
• Lois de Kepler. Énoncé exigible, avec transposition aux satellites. La deuxième loi est démontrée, la première est admise.
• Mouvement circulaire newtonien. Il est uniforme, avec v = √(GM/R) et T²/R³ = 4π²/(GM). Exigible avec démonstration.
• Troisième loi pour une ellipse. T²/a³ = 4π²/(GM). Admise, à exploiter.
• Énergie en orbite circulaire. E_m = − GMm/(2R) = − E_c = E_p/2. Exigible avec démonstration.
• Énergie en orbite elliptique. E_m = − GMm/(2a). À exprimer à partir des constantes du mouvement, en utilisant seulement r_p + r_a = 2a.
• Satellite géostationnaire. Altitude d'environ 36 000 km et orbite dans le plan équatorial. Exigible avec justification.
• Vitesses cosmiques. v₁ = √(GM_T/R_T) ≈ 7,9 km/s et v₂ = √2 v₁ ≈ 11,2 km/s. Expressions et valeurs exigibles.
• Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : équation polaire r = p/(1 + e cos θ), formules de Binet, vecteur de Runge-Lenz, réduction du problème à deux corps et masse réduite, relation entre excentricité et constantes du mouvement.

Clés de démonstration

Moment cinétique constant. On écrit le théorème du moment cinétique en O, fixe dans un référentiel galiléen. Le moment OM ∧ F est nul car les deux vecteurs sont colinéaires, donc dL_O/dt = 0. L'astuce est de prendre comme point de calcul le centre de force lui-même, et pas un autre point.

Mouvement plan. L_O = OM ∧ m v est orthogonal à OM à chaque instant. L_O est fixe et non nul, donc la relation OM · L_O = 0 impose à M de rester dans un plan fixe contenant O. L'astuce est de traduire la constance d'un vecteur en constance d'un plan orthogonal.

Loi des aires. On calcule r e_r ∧ (ṙ e_r + r θ̇ e_θ) = r² θ̇ e_z. La composante radiale de la vitesse disparaît dans le produit vectoriel. On identifie ensuite r² θ̇ au double de l'aire du triangle élémentaire ½ r × r dθ, divisée par dt.

Énergie potentielle effective. On écrit E_c = ½ m (ṙ² + r² θ̇²) puis on élimine θ̇ par θ̇ = C/r². Il ne reste que r et ṙ. L'astuce est d'utiliser une constante du mouvement pour supprimer une variable.

Mouvement circulaire uniforme. Si r = R est constant, alors θ̇ = C/R² est constant, donc v = R |θ̇| aussi. Le principe fondamental projeté sur e_r donne m v²/R = GMm/R². L'astuce est de tirer l'uniformité de la loi des aires, sans calcul d'accélération orthoradiale.

Énergie d'une ellipse. Aux distances extrêmes r_p et r_a, ṙ = 0, donc E_m = − GMm/r + m C²/(2r²). En multipliant par r², on obtient E_m r² + GMm r − m C²/2 = 0, dont r_p et r_a sont les deux racines. Leur somme vaut − GMm/E_m, et comme r_p + r_a = 2a, on trouve E_m = − GMm/(2a). L'astuce est la relation entre coefficients et racines, qui évite toute géométrie.

Plan équatorial du géostationnaire. Le plan de l'orbite contient le centre O de la Terre. Un point fixe au sol décrit un cercle dans un plan parallèle à l'équateur. Pour que le satellite reste sur la même verticale, son plan doit être parallèle à l'équateur et passer par O. C'est donc l'équateur lui-même. L'astuce est de comparer les deux plans.

Vitesse de libération. Comme E_p,eff tend vers 0 à l'infini, la zone accessible est non bornée si et seulement si E_m ≥ 0. On écrit cette condition à la surface avec la vitesse de lancement.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Chute radiale. Si la vitesse initiale est colinéaire à OM, C = 0 et il n'y a pas de barrière centrifuge. Pour une force attractive, le point atteint O s'il est lancé vers O, ou s'il est lancé vers l'extérieur avec E_m < 0 en champ newtonien. En champ newtonien ou pour le ressort, c'est le seul cas où le point peut atteindre O, car m C²/(2r²) l'emporte alors sur E_p près de 0. Ce n'est plus vrai pour une attraction en 1/rⁿ avec n > 3.
2. Mouvement rectiligne uniforme. En l'absence de force, la loi des aires est vérifiée par rapport à n'importe quel point : les triangles balayés ont même base et même hauteur. Ce cas montre que la loi des aires ne dit rien de la gravitation.
3. Ressort de longueur à vide nulle, E_p = ½ k r². E_p,eff tend vers +∞ en 0 et à l'infini. Tous les états sont liés, il n'existe jamais d'état de diffusion.
4. Répulsion coulombienne, E_p = + K/r avec K > 0. E_p,eff est strictement décroissante, sans minimum. Il n'y a aucun état lié, seulement de la diffusion. C'est le cadre de l'expérience de Rutherford.
5. Pendule conique. La tension du fil est dirigée vers le point d'attache O, mais le poids ne l'est pas. L_O n'est donc pas constant, seule sa composante verticale l'est. C'est le contre-exemple à « une force vers O suffit ».
6. Force centrale non conservative, par exemple F = f(θ) e_r. Le moment cinétique se conserve, l'énergie mécanique non. « Centrale » et « conservative » sont deux hypothèses distinctes.
7. Satellite freiné par l'atmosphère. Le frottement n'est pas central, donc C diminue. Paradoxe classique : le satellite descend et accélère (exercice 8).
8. Satellite géosynchrone incliné. Il a la bonne période mais une orbite hors de l'équateur. Vu du sol, il oscille du nord au sud et n'est pas géostationnaire.
9. Orbite rasante. Un projectile lancé horizontalement à v₁ au ras du sol, sans atmosphère, décrit un cercle de rayon R_T. C'est la définition concrète de la première vitesse cosmique.

Techniques du chapitre

Calculer C avec l'angle de lancement. Seule la composante orthoradiale de la vitesse compte, C = r₀ v₀ sin α, où α est l'angle entre v₀ et e_r. Mini-exercice : r₀ = 7 000 km, v₀ = 8,0 km/s, α = 60°. On trouve C = 7,0 × 10⁶ × 8,0 × 10³ × 0,866 = 4,8 × 10¹⁰ m²/s.

Égaler C aux apsides. Au périastre et à l'apoastre, la vitesse est orthoradiale, donc r_p v_p = r_a v_a. Mini-exercice : la Terre est à 147,1 millions de km du Soleil au périhélie et à 152,1 millions de km à l'aphélie. On en déduit v_p/v_a = 152,1/147,1 = 1,034. La Terre va 3,4 % plus vite début janvier que début juillet.

Lire la nature du mouvement sur E_p,eff. On repère les limites de E_p,eff en 0 et à l'infini, puis ses extremums. Mini-exercice : pour E_p = ½ k r², E_p,eff = ½ k r² + m C²/(2r²) diverge aux deux bords. Toute valeur de E_m au-dessus du minimum donne un état lié.

Trouver l'orbite circulaire comme minimum de E_p,eff. Mini-exercice : en champ newtonien, dE_p,eff/dr = GMm/r² − m C²/r³ s'annule pour r_c = C²/(GM). Avec C = R v, on retrouve v² = GM/R. Le principe fondamental et la méthode énergétique concordent.

Utiliser la troisième loi en rapport. Écrire T²/a³ pour deux corps en orbite autour du même astre élimine G et M. Mini-exercice : la Lune a une période de 27,3 jours pour un rayon de 3,84 × 10⁵ km. Un satellite de période un jour est donc à 3,84 × 10⁵ / 27,3^2/3 ≈ 3,84 × 10⁵ / 9,07 ≈ 4,2 × 10⁴ km du centre.

Peser un astre. La relation M = 4π² a³/(G T²) donne la masse de l'astre central, jamais celle du satellite. Mini-exercice : pour la Terre, a = 1,50 × 10¹¹ m et T = 3,16 × 10⁷ s. On trouve M_Soleil = 39,5 × 3,38 × 10³³ / (6,67 × 10⁻¹¹ × 9,99 × 10¹⁴) ≈ 2,0 × 10³⁰ kg.

Contrôler une simulation par les invariants. On trace E_m et C en fonction du temps. Mini-exercice : avec la méthode d'Euler explicite sur une orbite circulaire, E_m augmente à chaque pas et l'orbite spirale vers l'extérieur. Diviser le pas par dix divise la dérive par environ dix, car la méthode est d'ordre un.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

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