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PC · Physique · semaine 19

Diffusion de particules

Vecteur densité de flux de particules et bilans de particules, globaux puis locaux, en géométries cartésienne, cylindrique et sphérique, avec ou sans sources internes. La loi de Fick conduit à l'équation de diffusion, étudiée en régime stationnaire puis analysée en ordres de grandeur pour relier échelles spatiale et temporelle. Une approche microscopique par marche au hasard permet d'évaluer le coefficient de diffusion à partir du libre parcours moyen et de la vitesse quadratique moyenne.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Le bilan local de particules s'écrit ∂tn+div⁡j⃗N=σ\partial_t n+\operatorname{div}\vec j_N=\sigma. En géométrie cylindrique, il fait intervenir 1r∂r(rj)\frac1r\partial_r(rj) ; en sphérique, 1r2∂r(r2j)\frac1{r^2}\partial_r(r^2j).
  2. La loi de Fick, j⃗N=−Dgrad⁡n\vec j_N=-D\operatorname{grad}n, est phénoménologique et valable pour un milieu isotrope et homogène au repos, près de l'équilibre. Dans un gaz usuel, DD est de l'ordre de 10−5 m2.s−110^{-5}\unite{m^2.s^{-1}}.
  3. En régime stationnaire sans source, le flux se conserve. Pour DD uniforme, le profil est affine en cartésien, logarithmique en cylindrique et en A+B/rA+B/r en sphérique.
  4. L'équation de diffusion ∂tn=DΔn\partial_t n=D\Delta n est du premier ordre en temps, irréversible, et donne l'échelle τ≈L2/D\tau\approx L^2/D, donc un étalement en Dt\sqrt{Dt}.
  5. La marche au hasard donne ⟨x⟩=0\langle x\rangle=0 et ⟨x2⟩=(ℓ2/τ)t\langle x^2\rangle=(\ell^2/\tau)t, d'où DD de l'ordre de ℓv\ell v, ce qui reproduit la valeur mesurée dans l'air.
Pourquoi ce chapitre

DéfinitionDiffusion

La diffusion est le transport de matière provoqué par la seule agitation thermique, sans mouvement d'ensemble du fluide.

C'est le premier phénomène de transport du programme. On retrouve en diffusion thermique et en conduction électrique :

  • la méthode du bilan local ;
  • la loi phénoménologique reliant le flux au gradient ;
  • l'équation aux dérivées partielles qui en résulte ;
  • son analyse en ordres de grandeur.

Le chapitre se termine par un modèle microscopique qui donne un sens physique au coefficient de diffusion et explique pourquoi la diffusion est un phénomène lent à notre échelle.

AttentionCadre du chapitre

La convection est négligée dans tout le chapitre.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour PC.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Physique.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Régime stationnaire 2

Exercice 1. Membrane plane ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Une membrane d'épaisseur e=0,10 mme = 0{,}10~\mathrm{mm} et de section S=1,0 cm2S = 1{,}0~\mathrm{cm^2} sépare une solution de concentration c1=100 mol m−3c_1 = 100~\mathrm{mol\,m^{-3}} d'eau pure.

On prend D=1,0×10−9 m2 s−1D = 1{,}0 \times 10^{-9}~\mathrm{m^2\,s^{-1}} dans la membrane.

Déterminer le profil, le flux molaire en régime stationnaire et la durée d'établissement de ce régime.

Voir l'indice

Technique Conservation du flux en cartésien.

Voir le corrigé offert
  1. La loi de Fick s'applique à c=n/NAc = n/N_A, puisque la relation est linéaire.
  2. En régime stationnaire sans source, jj est uniforme. Donc dc/dxdc/dx est constant et cc est affine, de c1c_1 en x=0x = 0 à 00 en x=ex = e.
  3. Le flux molaire vaut DSc1/e=10−9×10−4×100/10−4=1,0×10−7 mol s−1.D S c_1/e = 10^{-9} \times 10^{-4} \times 100/10^{-4} = 1{,}0 \times 10^{-7}\ \mathrm{mol}\ \mathrm{s}^{-1}.
  4. Le régime s'établit en τ≈e2/D=10−8/10−9=10 s.\tau \approx e^2/D = 10^{-8}/10^{-9} = 10\ \mathrm{s}.
  5. Les réservoirs se vident en un temps bien plus long, on peut les supposer à concentration fixe.

piège : Prendre e/De/D pour la durée, qui n'est pas homogène à un temps.

Exercice 2. Paroi cylindrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Un tube de hauteur HH a pour rayons intérieur r1r_1 et extérieur r2r_2.

La densité vaut n1n_1 en r1r_1 et n2n_2 en r2r_2.

Déterminer n(r)n(r) en régime stationnaire et le flux sortant.

Examiner le cas d'une paroi mince.

Voir le début du corrigé
  1. Le flux à travers le cylindre de rayon rr vaut Φ=2πrHj(r)\Phi = 2\pi rH j(r). …

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Ordres de grandeur 2

Exercice 3. Pourquoi une circulation sanguine ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Le dioxygène diffuse dans les tissus aqueux avec D≈2×10−9 m2 s−1D \approx 2 \times 10^{-9}~\mathrm{m^2\,s^{-1}}.

Estimer la durée de diffusion sur 1 μm1~\mu\mathrm{m}, sur 10 μm10~\mu\mathrm{m}, sur 1 mm1~\mathrm{mm} et sur 1 m1~\mathrm{m}.

Conclure.

Voir le début du corrigé
  1. Sur 1 μm1\ \mu\mathrm{m}, épaisseur de la paroi alvéolaire, τ≈5×10−4 s\tau \approx 5 \times 10^{-4}\ \mathrm{s}.

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Exercice 4. Marche au hasard dans l'air ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Dans l'air usuel, on prend ℓ=0,1 μm,v=500 m s−1.\ell = 0{,}1~\mu\mathrm{m}, \qquad v = 500~\mathrm{m\,s^{-1}}.

Calculer la durée entre deux chocs et DD.

Comparer le chemin parcouru en une seconde au déplacement quadratique moyen.

Comment varie DD si l'on double la pression à température fixée ?

Voir le début du corrigé
  1. τ=ℓ/v=2×10−10 s\tau = \ell/v = 2 \times 10^{-10}\ \mathrm{s}, soit 5×1095 \times 10^9 chocs par seconde.

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Marche au hasard 2

Exercice 5. Marche biaisée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral Centrale

Une particule saute de +ℓ+\ell avec la probabilité pp et de −ℓ-\ell avec la probabilité 1−p1 - p, toutes les τ\tau secondes, les sauts étant indépendants.

Calculer la moyenne et la variance de xx après NN sauts.

Interpréter.

Voir le début du corrigé
  1. Pour un saut, ⟨ε⟩=p−(1−p)=2p−1\langle\varepsilon\rangle = p - (1 - p) = 2p - 1 et ⟨ε2⟩=1\langle\varepsilon^2\rangle = 1. …

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Exercice 10. Simuler la marche au hasard ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Décrire un programme Python qui simule Np=104\mathrm{Np} = 10^4 marcheurs issus de l'origine pendant Nt=1 000\mathrm{Nt} = 1\,000 pas.

Préciser comment extraire DD et la précision attendue.

Voir le début du corrigé
  1. On tire un tableau de ±1\pm 1 équiprobables de taille Np×NtNp \times Nt, par exemple avec np.random.choice. …

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Équation de diffusion 2

Exercice 6. Solution gaussienne ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit CCINP

Dans un tube de section SS, N0N_0 particules sont lâchées en x=0x = 0 à t=0t = 0.

On donne n(x,t)=N0S(4πDt)−1/2exp⁡(−x24Dt)n(x, t) = \frac{N_0}{S}(4\pi Dt)^{-1/2} \exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right) pour t>0t > 0.

Vérifier que nn satisfait l'équation de diffusion.

Calculer le nombre total de particules et ⟨x2⟩\langle x^2 \rangle, en utilisant les intégrales gaussiennes fournies.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 7. Diffusion d'une espèce instable ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Une espèce de durée de vie moyenne TT diffuse dans un milieu semi-infini x>0x > 0.

Elle disparaît à raison de n/Tn/T par unité de volume et de temps.

La densité est maintenue à n0n_0 en x=0x = 0.

Établir l'équation locale, puis le profil stationnaire et le flux injecté.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Évaporation d'une goutte 1

Exercice 8. Évaporation d'une gouttelette ★★★

Approfondissement · 40 min · Type écrit Centrale

Une goutte d'eau de rayon initial a0=10 μma_0 = 10~\mu\mathrm{m} est placée dans de l'air sec immobile.

À sa surface, la vapeur est à la masse volumique saturante ρs≈0,017 kg m−3.\rho_s \approx 0{,}017~\mathrm{kg\,m^{-3}}.

On donne D=2,5×10−5 m2 s−1,ρl=1,0×103 kg m−3.D = 2{,}5 \times 10^{-5}~\mathrm{m^2\,s^{-1}}, \qquad \rho_l = 1{,}0 \times 10^{3}~\mathrm{kg\,m^{-3}}.

En régime quasi stationnaire, déterminer la durée de vie de la goutte.

Voir le début du corrigé
  1. On raisonne sur la masse volumique de vapeur ρ(r)\rho(r), proportionnelle à nn. …

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Deux réservoirs 1

Exercice 9. Deux réservoirs reliés par un tube ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Mines-Ponts

Deux réservoirs de volume VV sont reliés par un tube de longueur LL et de section ss.

Leurs densités n1n_1 et n2n_2 sont uniformes par brassage, et la diffusion n'a lieu que dans le tube.

Montrer que n1−n2n_1 - n_2 relaxe exponentiellement.

Donner la constante de temps et la condition de validité.

Application : V=1 L,L=10 cm,s=1 cm2,V = 1~\mathrm{L}, \qquad L = 10~\mathrm{cm}, \qquad s = 1~\mathrm{cm^2}, D=2×10−5 m2 s−1.D = 2 \times 10^{-5}~\mathrm{m^2\,s^{-1}}.

Voir le début du corrigé
  1. Dans le tube, en quasi stationnaire, le profil est affine et Φ=Ds(n1−n2)/L\Phi = D s (n_1 - n_2)/L, compté de 11 vers 22.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie PC (arrêté du 5 janvier 2021, applicable à la rentrée 2022), partie « Thermodynamique », paragraphe « Diffusion de particules ». Elle traite :

  • le vecteur densité de flux ;
  • les bilans globaux et locaux dans les trois systèmes de coordonnées ;
  • la loi de Fick ;
  • l'équation de diffusion ;
  • le modèle microscopique de la marche au hasard.

Au concours

Les questions des sujets corrigés qui travaillent ce chapitre. La première question de chaque sujet est en accès libre.

CCINP 2025, PC, Modélisation de systèmes physiques ou chimiques

  • Q19 Loi de Fick du flux de CO2
  • Q20 Quantité de carbone par unité de volume de béton poreux
  • Q25 Équation de diffusion avec réaction par bilan de carbone
  • Q26 à Q28 Initialisation du tableau, conditions aux limites et maillage pour la résolution numérique
  • Q29 à Q31 Différences finies par formules de Taylor pour l'équation de diffusion
  • Q32 et Q33 Schéma explicite de diffusion et sa programmation

CCINP 2025, PC, Physique

  • Q5 et Q6 Effet Seebeck : diffusion des électrons et champ électrique