Magnétostatique

Exercice 1. Tester un champ ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Avec $\alpha$ constante, on propose $$\vec B_1 = \alpha(x\,\vec e_x + y\,\vec e_y),$$ $$\vec B_2 = \alpha(-y\,\vec e_x + x\,\vec e_y)$$ et $$\vec B_3 = \alpha x\,\vec e_y.$$ Lesquels peuvent être magnétostatiques ?

Donner alors les courants sources.

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Technique Tester $\operatorname{div} \vec B = 0$, puis lire $\vec j$ dans $\operatorname{rot} \vec B$.

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1. $\operatorname{div} B_1 = 2\alpha \neq 0$, donc $B_1$ est exclu. Ses lignes divergent depuis $Oz$, ce que la topographie interdisait déjà.
2. $\operatorname{div} B_2 = 0$ et $\operatorname{rot} B_2 = (\partial B_y/\partial x - \partial B_x/\partial y)e_z = 2\alpha e_z$, donc $j = (2\alpha/\mu_0)e_z$. C'est l'intérieur d'un cylindre plein, où $B = \alpha r e_\theta$.
3. $\operatorname{div} B_3 = 0$ et $\operatorname{rot} B_3 = \alpha e_z$, donc $j = (\alpha/\mu_0)e_z$ : intérieur d'une couche plane à courant uniforme.
4. Contrôle. Le plan $x = 0$ est plan de symétrie. $B$ doit y être selon $e_x$, donc $B_3$, selon $e_y$, doit s'y annuler. C'est le cas.

piège : Oublier le terme $-\partial B_x/\partial y$ et trouver $\alpha$ au lieu de $2\alpha$.

Exercice 2. Câble plein ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Un cylindre infini de rayon $a$ est parcouru par l'intensité $I$, répartie uniformément.

Déterminer $\vec B$ partout.

Application numérique pour $I = 10~\mathrm{A}$ et $a = 1~\mathrm{mm}$.

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1. Invariances et symétries du fil, donc $B = B(r)e_\theta$.

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Exercice 3. Nappes planes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Le plan $z = 0$ porte un courant surfacique uniforme $j_s\,\vec e_x$, intensité par unité de largeur.

Déterminer le champ.

On ajoute en $z = d$ une nappe portant $-j_s\,\vec e_x$.

Déterminer le nouveau champ.

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1. Invariance selon $x$ et $y$, donc $B = B(z)$. …

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Exercice 7. Cavité dans un cylindre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Un cylindre infini de rayon $R$, d'axe passant par $O$, est parcouru par la densité uniforme $j\,\vec e_z$.

Il est creusé d'une cavité cylindrique parallèle de rayon $a$, d'axe passant par $O'$, avec $OO' = d$ et $a + d < R$.

Déterminer le champ dans la cavité.

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1. Dans un cylindre plein, le théorème d'Ampère donne B = (μ₀ j/2) e_z × OM, OM étant pris dans le plan de section.

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Exercice 5. Bobine de travaux pratiques ★

Application du cours · 25 min · Type écrit CCINP

Une bobine sans noyau a une longueur $l = 20~\mathrm{cm}$, un rayon $R = 2~\mathrm{cm}$ et $N = 1\,000$ spires parcourues par $I = 2~\mathrm{A}$.

Calculer le champ intérieur, l'inductance et l'énergie par deux méthodes.

Quel courant faudrait-il pour atteindre $1~\mathrm{T}$ ?

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1. $l/R = 10$, le modèle est acceptable loin des extrémités. …

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Exercice 4. Tore à section rectangulaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Un tore d'axe $Oz$ a une section rectangulaire entre les rayons $a$ et $b$, de hauteur $h$.

Il porte $N$ spires jointives parcourues par $I$.

Déterminer $\vec B$ et l'inductance.

Application numérique pour $N = 500$, $a = 5~\mathrm{cm}$, $b = 7~\mathrm{cm}$ et $h = 2~\mathrm{cm}$.

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1. Tout plan contenant Oz est plan de symétrie, donc B est orthoradial. …

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Exercice 6. Câble coaxial ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Deux surfaces cylindriques coaxiales de rayons $a < b$ portent $I$ et $-I$, réparties uniformément.

Déterminer $B$, l'énergie par unité de longueur et l'inductance linéique $\Lambda$ définie par $W = \frac{1}{2} \Lambda I^2$ par mètre.

Application numérique pour $b/a = 3{,}5$.

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1. Les symétries donnent $B = B(r)e_\theta$.

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Exercice 8. Moment magnétique de l'hydrogène ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Dans le modèle planétaire, l'électron décrit un cercle de rayon $$r = 53~\mathrm{pm}.$$ On admet que $$m_e v r = \hbar.$$ Calculer $v$, l'intensité équivalente et le moment magnétique, et comparer à $\mu_B$.

Que produit un champ extérieur $B$ ?

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1. $v = \hbar/(m_e r) = 2{,}2 \times 10^6\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$, petite devant $c$.

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Exercice 9. Boussole ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Centrale

Une aiguille d'acier de longueur $\ell = 3~\mathrm{cm}$, de section $2~\mathrm{mm} \times 0{,}5~\mathrm{mm}$, de masse volumique $7{,}8 \times 10^3~\mathrm{kg/m^3}$ et d'aimantation $10^6~\mathrm{A/m}$ pivote autour d'un axe vertical dans le champ horizontal $B_h = 2 \times 10^{-5}~\mathrm{T}$.

Son moment d'inertie $J = \frac{(\text{masse})\,\ell^2}{12}$ est fourni.

Déterminer les équilibres, leur stabilité et la période des petites oscillations.

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1. $V = 3 \times 10^{-8}\ \mathrm{m}^3$, donc $m = 3 \times 10^{-2}\ \mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2$. …

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Exercice 10. Stern et Gerlach en ordres de grandeur ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral Centrale

Des atomes d'argent de masse $1{,}8 \times 10^{-25}~\mathrm{kg}$ arrivent à $500~\mathrm{m/s}$ et traversent sur $5~\mathrm{cm}$ un entrefer où $\partial B_z/\partial z = 10^3~\mathrm{T/m}$ et où $B$ est de l'ordre du tesla.

La force $F_z = m_z\,\partial B_z/\partial z$ est fournie, avec $m_z = \pm\mu_B$.

Calculer l'écart des taches à la sortie.

Justifier le choix d'atomes neutres et d'un champ inhomogène.

Donner la prédiction classique.

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1. $F = 9{,}3 \times 10^{-21}\ \mathrm{N}$, environ $5\,000$ fois le poids, d'où une accélération de $5{,}2 \times 10^4\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$.

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