Partie A : construction d'une fonction test

Notations et définitions.

Pour $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bornée, $\left\lVert f \right\rVert_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left\lvert f(x) \right\rvert$ . $\mathcal C^\infty(\mathbb{R})$ est l'espace des fonctions de classe $\mathcal C^\infty$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ . $\mathcal D(\mathbb{R})$ est le sous-espace des $f \in \mathcal C^\infty(\mathbb{R})$ pour lesquelles il existe $A > 0$ tel que $f$ soit nulle hors de $\left[-A, A\right]$ .

L'énoncé admet que c'est un sous-espace vectoriel.

La fonction $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vaut $\mathrm{e}^{-1/x}$ pour $x > 0$ et $0$ pour $x \le 0$ .

Après Q4, pour $\varepsilon > 0$ et $x \in \mathbb{R}$ , on pose

\rho_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{-1,1}(u)\,\mathrm{d} u}\,\psi_{-1,1}\Big(\frac{x}{\varepsilon}\Big),

où $\psi_{-1,1}$ est la fonction construite en Q4.

Q1.

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Résultat

Ainsi $\varphi$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb{R}^* = \left]-\infty, 0\right[ \cup \left]0, +\infty\right[$ .

Justifions que $\varphi$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb{R}^*$ .

Sur l'ouvert $\left]0, +\infty\right[$ , $\varphi = \exp \circ\, u$ avec $u : x \mapsto -1/x$ .

Or $u$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\left]0, +\infty\right[$ et $\exp$ l'est sur $\mathbb{R}$ .

Donc $\varphi$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\left]0, +\infty\right[$ , comme composée de fonctions de classe $\mathcal C^\infty$ (propriété 4.2, opérations sur les fonctions de classe $C^k$ ).

Sur l'ouvert $\left]-\infty, 0\right[$ , $\varphi$ est nulle, donc de classe $\mathcal C^\infty$ .

Ainsi $\varphi$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb{R}^* = \left]-\infty, 0\right[ \cup \left]0, +\infty\right[$ .

Q2

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Mathématiques 2

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