Partie A : étude du mouvement d'une planète seulement soumise à l'attraction du soleil

Notations et définitions.

Dans tout le problème, $\mathcal M_3(\mathbb{R})$ est l'ensemble des matrices carrées réelles de taille 3.

Dans cette partie, $P$ est un plan muni d'un repère orthonormé $(O ; \vec i, \vec j)$ .

Pour deux points $M$ et $N$ de $P$ , $MN$ est la distance de $M$ à $N$ .

Soient $(a, c) \in (\mathbb{R}_+^*)^2$ tels que $c < a$ . On pose $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ , donc $b > 0$ .
$F$ est le point de coordonnées $(c, 0)$ et $F'$ celui de coordonnées $(-c, 0)$ .
$\mathcal E$ est l'ensemble des points $M$ de $P$ tels que $MF + MF' = 2a$ : c'est l'ellipse de foyers $F$ et $F'$ .
Soient $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ . $M$ désigne le point de coordonnées $(x, y)$ .

I : équation réduite de l'ellipse

Q1.

Inégalité triangulaire et distances entre points

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Résultat

FF' \ge \left\lvert MF - MF' \right\rvert.

Rappelons l'inégalité triangulaire liant $MF$ , $MF'$ et $FF'$ , puis montrons que $FF' \ge \left\lvert MF - MF' \right\rvert$ .

Inégalité triangulaire.

Pour trois points $M$ , $F$ , $F'$ du plan, chaque distance est au plus la somme des deux autres :

\begin{aligned} FF' &\le FM + MF',\\ MF &\le MF' + F'F,\\ MF' &\le MF + FF'. \end{aligned}

Elles viennent de l'inégalité triangulaire pour la norme euclidienne (théorème 2.7) : par exemple $\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{MF'} + \overrightarrow{F'F}$ , donc $\left\lVert \overrightarrow{MF} \right\rVert \le \left\lVert \overrightarrow{MF'} \right\rVert + \left\lVert \overrightarrow{F'F} \right\rVert$ .

Montrons que $FF' \ge \left\lvert MF - MF' \right\rvert$ .

La deuxième inégalité donne $MF - MF' \le FF'$ .

La troisième donne $MF' - MF \le FF'$ , c'est-à-dire $-(MF - MF') \le FF'$ .

Mathématiques 1

Le sujet complet

Aperçu : Q1

Partie A : étude du mouvement d'une planète seulement soumise à l'attraction du soleil

I : équation réduite de l'ellipse

Q1.

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