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X-ENS · PC · session 2026

Physique B

corrigé question par question

  • Physique
  • 45 questions
  • Sujet entier, Q1 à Q36 ; incompatibilité des données de Q33 signalée

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Aperçu : Q1

Les théorèmes cités renvoient à nos cours, au théorème même. Dans l'app Sup et Spé, ces liens ouvrent le cours dans l'app, sans quitter le corrigé.

Partie I : Chaînes masse-ressort

Notations et définitions.

Les mouvements sont longitudinaux, suivant un axe orienté vers la droite.

Les masses, identiques et de valeur m>0m>0, sont séparées à l’équilibre par une distance a>0a>0.

Pour tout n∈Zn\in\mathbb{Z}, un(t)u_n(t) désigne le déplacement de la masse d’indice nn par rapport à sa position d’équilibre.

Les ressorts sont linéaires.

On néglige les frottements et on travaille dans le référentiel galiléen du support.

Les déplacements physiques sont les parties réelles des expressions complexes.

La convention temporelle est e−iωt\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}.

Dans cette partie, ω⩾0\omega\geqslant0.

1. Chaîne monoatomique

Notations et définitions.

La chaîne est infinie et tous ses ressorts ont la même raideur β>0\beta>0.

Une solution harmonique est recherchée avec une amplitude complexe U0U_0 et un nombre d’onde kk :

un(t)=U0ei(kna−ωt).u_n(t)=U_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kna-\omega t)}.

La première zone de Brillouin est une période de la relation de dispersion centrée en k=0k=0.

Ses deux extrémités représentent le même état de phase sur le réseau.

Pour Q7.1 à Q7.5, la masse d’indice 00 est excitée à la pulsation ω=αβ/m\omega=\alpha\sqrt{\beta/m}, avec α>2\alpha>2, et son déplacement complexe est imposé :

u0(t)=U0e−iωt.u_0(t)=U_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}.

Q1.

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Résultat
mu¨n=β(un+1+un−1−2un).\boxed{m\ddot u_n =\beta(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n).}

Établissons l’équation du mouvement de la masse d’indice nn.

Soit n∈Zn\in\mathbb{Z}.

Les variations de longueur des ressorts situés à droite et à gauche de cette masse, par rapport à l’équilibre, sont respectivement un+1−unu_{n+1}-u_n et un−un−1u_n-u_{n-1}.

Notons Teq∈RT_{\mathrm{eq}}\in\mathbb{R} la tension algébrique des ressorts à l’équilibre, comptée positivement en traction.

L’équilibre de chaque masse impose l’égalité des tensions des deux ressorts voisins ; cette tension est donc uniforme le long de la chaîne.

Elle n’est pas nécessairement nulle.

D’après la loi de Hooke (loi 3.10, force de rappel d'un ressort), les forces totales suivant l’axe valent :

Fdroite=Teq+β(un+1−un),Fgauche=−Teq−β(un−un−1).\begin{aligned} F_{\mathrm{droite}} &=T_{\mathrm{eq}}+\beta(u_{n+1}-u_n),\\ F_{\mathrm{gauche}} &=-T_{\mathrm{eq}}-\beta(u_n-u_{n-1}). \end{aligned}

Les contributions d’équilibre se compensent.

En additionnant les variations des forces, on obtient :

Fdroite+Fgauche=β(un+1−un)−β(un−un−1),=β(un+1+un−1−2un).\begin{aligned} F_{\mathrm{droite}}+F_{\mathrm{gauche}} &=\beta(u_{n+1}-u_n)\\ &\quad-\beta(u_n-u_{n-1}),\\ &=\beta(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n). \end{aligned}

Le système constitué de cette masse est fermé et le référentiel est galiléen.

Le théorème de la quantité de mouvement (loi 2.4) donne donc :

mu¨n=β(un+1+un−1−2un).\boxed{m\ddot u_n =\beta(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n).}

Q2

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Q3

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Q4

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Q5

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Q6

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Q7.1

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Q7.2

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Q7.3

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Q7.4

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Q7.5

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Q8

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Q9

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Q10

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Q11

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Q12

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Q13.1

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Q13.2

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Q13.3

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Q13.4

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Q14

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Q15.1

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Q15.2

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Q15.3

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Q16

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Q17

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Q34

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Q35

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Q36

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