Préambule

Notations et définitions.

Un espace probabilisé $(\Omega, \mathscr A, P)$ est fixé pour tout le sujet.

Toutes les variables aléatoires considérées prennent un nombre fini de valeurs.

Pour $x = (x_1, \dots, x_d)$ et $y = (y_1, \dots, y_d)$ dans $\mathbb{R}^d$ , on note $x \cdot y = \sum_{i=1}^d x_i y_i$ .
Une fonction $f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ est convexe si, pour tout $\alpha \in \left[0, 1\right]$ et tous $(x, y) \in (\mathbb{R}^d)^2$ , on a :

f(\alpha x + (1-\alpha) y) \le \alpha f(x) + (1-\alpha) f(y).

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on pose $\operatorname{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ , $\operatorname{sh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $\operatorname{th}(x) = \frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}$ .
La formule de Stirling est rappelée : quand $n \in \mathbb{N}^*$ tend vers $+\infty$ , on a $n! \sim \sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$ .

Première partie

Notations et définitions.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans une partie finie de $\mathbb{R}^d$ .

On note $X_1, \dots, X_d$ ses coordonnées.

On définit $\phi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ par :

\phi(\lambda) = \ln E\big[e^{\lambda \cdot X}\big].

Si $\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_d)$ , on a donc $\lambda \cdot X = \sum_{i=1}^d \lambda_i X_i$ .

Convexité, limite simple de fonctions convexes et dérivabilité de la limite

Voir le corrigé

Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ convexe et dérivable en $x \in \mathbb{R}$ .

Montrons que, pour tout $h > 0$ , on a :

\frac{g(x) - g(x-h)}{h} \le g'(x) \le \frac{g(x+h) - g(x)}{h}.