Mathématiques 2

Partie 1 : résultats généraux

• Une solution de $(E)$ ou de $(EH)$ est une fonction de classe $\mathcal C^2$ définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.
• $\mathcal S(E)$ est l'ensemble des solutions de $(E)$ et $\mathcal S(H)$ l'espace vectoriel des solutions de $(EH)$.
• $\mathbf B(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est l'espace vectoriel des fonctions réelles bornées sur $\mathbb{R}$, muni de la norme $\left\lVert f \right\rVert = \sup_{t \in \mathbb{R}} \left\lvert f(t) \right\rvert$.
• $\mathcal B(E)$ est l'ensemble des solutions bornées de $(E)$ et $\mathcal B(H)$ celui des solutions bornées de $(EH)$.
• Résultat admis : toute fonction continue et périodique sur $\mathbb{R}$ est bornée.
• Pour $f \in \mathcal C^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, la fonction $T(f)$ est définie par : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $T(f)(x) = f(x + 2\pi)$.