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PC · Physique · semaine 22

Électrostatique

Loi de Coulomb et principe de superposition comme point de départ des propriétés du champ électrostatique, de ses symétries, de sa circulation, du potentiel et du théorème de Gauss, avec la lecture des cartes de lignes de champ et d'équipotentielles. Exemples de champs, en particulier le dipôle électrostatique avec les actions subies et l'énergie potentielle, la polarisabilité, le plan infini chargé et le condensateur plan avec la densité volumique d'énergie. Analogies entre champ électrostatique et champ gravitationnel.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Le champ électrostatique est à circulation conservative, rot⁡E⃗=0⃗\operatorname{rot}\vec E=\vec0, donc E⃗=−grad⁡V\vec E=-\operatorname{grad}V. Cela cesse d'être vrai en régime variable.
  2. Maxwell-Gauss, div⁡E⃗=ρ/ε0\operatorname{div}\vec E=\rho/\varepsilon_0, devient le théorème de Gauss sous forme intégrale. Il n'est exploitable qu'après une analyse de symétrie.
  3. Trois résultats de référence :
    • boule uniformément chargée ;
    • fil infini en 1/r1/r ;
    • plan infini avec un champ uniforme σ/(2ε0)\sigma/(2\varepsilon_0).
  4. Le condensateur plan donne C=ε0S/eC=\varepsilon_0S/e et la densité volumique d'énergie u=12ε0E2u=\frac12\varepsilon_0E^2.
  5. Le dipôle a un potentiel en 1/r21/r^2 et un champ en 1/r31/r^3. Il s'oriente selon le champ et est attiré vers les zones de champ intense. Toute l'électrostatique se transpose à la gravitation en échangeant qq contre mm et 1/(4πε0)1/(4\pi\varepsilon_0) contre −G-G.
Pourquoi ce chapitre

L'électrostatique est le régime de l'électromagnétisme où rien ne dépend du temps. On y installe des outils qui servent ensuite :

  • l'analyse des symétries et des invariances ;
  • le théorème de Gauss ;
  • le potentiel scalaire ;
  • la lecture des cartes de champ.

On y rencontre aussi le dipôle, modèle central en chimie, et le condensateur plan, qui introduit la densité volumique d'énergie.

L'exercice type est une analyse de symétrie suivie d'un théorème de Gauss, puis une exploitation physique du résultat.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour PC.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Champ de distributions continues 2

Exercice 1. Boule uniformément chargée, champ et potentiel ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Une boule de centre O et de rayon R porte la charge Q répartie uniformément en volume. Déterminer E et V partout, V étant nul à l'infini. Comparer V(0) à V(R).

Voir l'indice

Technique Gauss en symétrie sphérique, puis intégration avec continuité.

Voir le corrigé offert
  1. Tout plan contenant OO et MM est plan de symétrie. L'invariance par rotation autour de OO complète l'analyse : E=E(r)urE = E(r) u_r.
  2. Sur une sphère de rayon rr, le flux vaut 4πr2E4\pi r^2E. Pour r≥Rr \geq R, E=Q/(4πε0r2)E = Q/(4\pi\varepsilon_0r^2). Pour r≤Rr \leq R, la charge intérieure est Qr3/R3Qr^3/R^3, donc E=Qr/(4πε0R3)E = Qr/(4\pi\varepsilon_0R^3).
  3. À l'extérieur, V=Q/(4πε0r)V = Q/(4\pi\varepsilon_0r). À l'intérieur, E=−dV/drE = - dV/dr donne V=−Qr2/(8πε0R3)+KV = - Qr^2/(8\pi\varepsilon_0R^3) + K.
  4. La continuité en RR impose K=3Q/(8πε0R)K = 3Q/(8\pi\varepsilon_0R). Donc V=Q(3R2−r2)/(8πε0R3)V = Q(3R^2 - r^2)/(8\pi\varepsilon_0R^3).
  5. V(0)=1,5V(R)V(0) = 1{,}5 V(R). Pour Q>0Q > 0, le potentiel est maximal au centre.

piège : Fixer la constante par V(0)=0V(0) = 0. Seule la continuité en RR la détermine.

Exercice 2. Dalle chargée en volume ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

La région −a≤z≤a-a \leq z \leq a, illimitée selon xx et yy, porte une densité volumique uniforme ρ>0\rho > 0.

Déterminer EE partout.

Retrouver le plan infini quand aa tend vers 00 à σ=2ρa\sigma = 2\rho a fixé.

Voir le début du corrigé
  1. Les invariances selon xx et yy ne laissent que zz. …

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Point de champ nul 1

Exercice 3. Point de champ nul entre deux charges ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Une charge q>0q > 0 est placée en AA et une charge 4q4q en BB, avec AB=dAB = d.

Où le champ est-il nul ?

Même question si BB porte −4q-4q.

Décrire la carte au voisinage de ce point.

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  1. Hors de la droite ABAB, les deux champs ne sont pas colinéaires et ne peuvent pas se compenser. …

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Champ de distributions continues 1

Exercice 4. Cavité dans une boule chargée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP PC

Une boule de centre OO, uniformément chargée avec la densité ρ\rho, contient une cavité sphérique vide de centre O′O'.

La cavité est entièrement intérieure à la boule.

Déterminer EE dans la cavité.

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  1. La distribution réelle est la somme d'une boule pleine de centre O et de densité ρ, et d'une boule de centre O' et de densité − ρ.

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Condensateur et énergie 1

Exercice 5. Condensateur isolé, énergie et force ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP PC

Un condensateur plan à air a des armatures de 100 cm2100~\mathrm{cm^2} distantes de 1,0 mm1{,}0~\mathrm{mm}.

On le charge sous 1,0 kV1{,}0~\mathrm{kV} puis on l'isole.

Calculer CC, QQ, EE et l'énergie stockée.

Calculer ensuite la force entre les armatures et la vérifier par un bilan énergétique à charge constante.

Voir le début du corrigé
  1. C = ε₀S/e = 88,5 pF, Q = CU = 88,5 nC et E = U/e = 1,0 × 10⁶ V/m, sous le champ disruptif.

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Interaction ion-dipôle 1

Exercice 6. Ion sodium et molécule d'eau ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP PC

Un ion Na+\mathrm{Na^+} est en OO.

Une molécule d'eau, modélisée par un dipôle rigide de moment 1,85 D1{,}85~\mathrm{D}, est placée à la distance rr.

Avec Ep=−p⋅EE_p = - p \cdot E, trouver l'orientation d'équilibre et la force radiale après alignement.

Estimer l'énergie pour r=0,24 nmr = 0{,}24~\mathrm{nm} et conclure sur la solvatation.

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  1. Le champ de l'ion est radial et sortant, de norme e/(4πε0r2)e/(4\pi\varepsilon_0r^2). …

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Énergie coulombienne nucléaire 1

Exercice 7. Énergie coulombienne de l'uranium ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Mines

On modélise le noyau d'uranium 238 par une boule de charge 92e92e uniformément répartie, de rayon R=1,2 A1/3 fm.R = 1{,}2\,A^{1/3}~\mathrm{fm}.

Calculer son énergie de constitution en MeV.

Le noyau se scinde en deux noyaux identiques de même densité de charge.

Quelle énergie coulombienne est libérée ?

Comparer aux 200 MeV200~\mathrm{MeV} environ libérés par une fission réelle.

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Tunnel gravitationnel 1

Exercice 8. Tunnel à travers la Terre ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale

On perce un tunnel rectiligne sans frottement entre deux points de la surface d'une Terre homogène de rayon RR.

Le tunnel ne passe pas forcément par le centre.

On travaille dans le référentiel géocentrique, rotation négligée.

Un objet est lâché à une extrémité.

Montrer que la durée de traversée ne dépend pas du tunnel et la calculer.

Voir le début du corrigé
  1. Par analogie avec la boule chargée, à l'intérieur de la Terre g = − (g₀/R) OM.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de PC (arrêté du 5 janvier 2021), partie 5.2 « Électrostatique ». Le programme limite les calculs de champ à la loi de Coulomb pour des distributions discrètes et au théorème de Gauss pour des distributions continues de haute symétrie. La modélisation surfacique se limite au condensateur plan, les relations de passage et la notion de potentiel-vecteur sont hors programme.

Au concours

Les questions des sujets corrigés qui travaillent ce chapitre. La première question de chaque sujet est en accès libre.

CCINP 2025, PC, Physique

  • Q3 Potentiel électrostatique dans le modèle des électrons libres
  • Q5 et Q6 Effet Seebeck : diffusion des électrons et champ électrique

Mines-Ponts 2026, PC, Physique I

  • Q6 Énergie potentielle d’une interaction coulombienne
  • Q18 Potentiel du cristal et suppression du champ électrique parasite