Le cours

Résumé en cinq points

Toutes les définitions de limite ont la même forme : pour tout seuil sur l'image, il existe un seuil sur la variable. Il faut savoir les écrire et les nier.
La caractérisation séquentielle transforme une question sur une fonction en question sur des suites, et sert surtout à prouver la non-existence d'une limite.
Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution, la stricte monotonie donne l'unicité.
Sur un segment, une fonction continue est bornée et atteint ses bornes, et l'image d'un segment est un segment. Chacune des deux hypothèses, continuité et segment, est indispensable.
Pour les fonctions à valeurs complexes, on travaille partie réelle et partie imaginaire, et tous les résultats liés à l'ordre disparaissent.

Pourquoi ce chapitre

C'est la mise en place rigoureuse de ce qui avait été utilisé de façon pratique au début du semestre. Le programme note que le paragraphe sur les limites consiste largement en des adaptations au cas continu de notions déjà vues pour les suites, et laisse au professeur la liberté d'admettre certains résultats. Il s'agit de savoir manier les définitions et surtout les trois théorèmes globaux.

Ces trois théorèmes sont :

le théorème des valeurs intermédiaires ;
le théorème des bornes atteintes ;
le théorème de la bijection.

Ils portent sur des fonctions continues sur un intervalle ou sur un segment. Ils donnent l'existence de solutions d'équations que l'on ne sait pas résoudre, outil de démonstration constant en concours.

DéfinitionCadre et voisinage

Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\R$ non vide et non réduit à un point, et à valeurs réelles sauf au dernier paragraphe. Une propriété est vraie au voisinage de $a$ si elle l'est sur l'intersection de $I$ avec :

un intervalle ouvert centré en $a$ quand $a$ est réel ;
un intervalle $]A, +\infty[$ quand $a = +\infty$ ;
un intervalle $]-\infty, A[$ quand $a = -\infty$ .

1Limite d'une fonction en un point

1.1Définitions

Soit $a$ fini ou infini, appartenant à $I$ ou extrémité de $I$ . Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges.

Définition 1.1Limite finie en un point fini

$f$ tend vers $l$ en $a$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que, pour tout $x \in I$ vérifiant $\abs{x - a} \leqslant \delta$ , on a $\abs{f(x) - l} \leqslant \varepsilon$ .

Définition 1.2Limite infinie en un point fini

$f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si, pour tout réel $A$ , il existe $\delta > 0$ tel que $\abs{x - a} \leqslant \delta$ entraîne $f(x) \geqslant A$ .

Définition 1.3Limite finie en $+\infty$

$f$ tend vers $l$ en $+\infty$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un réel $B$ tel que $x \geqslant B$ entraîne $\abs{f(x) - l} \leqslant \varepsilon$ .

Définition 1.4Limite infinie en $+\infty$

$f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout $A$ , il existe $B$ tel que $x \geqslant B$ entraîne $f(x) \geqslant A$ .

Les autres cas s'écrivent sur le même modèle. Il faut savoir produire n'importe laquelle de ces définitions et sa négation.

1.2Premiers résultats

Propriété 1.5Unicité de la limite

Une fonction admet au plus une limite en $a$ , finie ou infinie. On note $f(x) \to l$ quand $x \to a$ .

Propriété 1.6Limite en un point du domaine

Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$ , alors cette limite vaut $f(a)$ .

Quand $a$ appartient au domaine, la seule limite possible est donc la valeur de la fonction.

Propriété 1.7Caractère borné

Si $f$ possède une limite finie en $a$ , alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ .

Démonstration

On prend $\varepsilon = 1$ dans la définition, ce qui donne $\abs{f(x)} \leqslant \abs{l} + 1$ sur un voisinage.

1.3Limite à gauche, à droite

Définition 1.8Limite à droite, à gauche

La limite à droite en $a$ est la limite de la restriction de $f$ à l'intersection de $I$ avec $]a, +\infty[$ . On la note $\lim_{x \to a^+} f(x)$ . La limite à gauche se définit de façon symétrique.

Partie entière : limite à droite = n, limite à gauche = n-1

Propriété 1.9Lien avec la limite

Hypothèses

$a$ est intérieur à $I$ ;
$f$ est définie en $a$ .

Alors $f$ a une limite $l$ en $a$ si et seulement si elle admet en $a$ une limite à gauche et une limite à droite, toutes deux égales à $f(a)$ .

Exemple 1.10Partie entière

La partie entière a en tout entier $n$ une limite à droite égale à $n$ et une limite à gauche égale à $n - 1$ . Elle n'a donc pas de limite en $n$ .

1.4Caractérisation séquentielle

Théorème 1.11Caractérisation séquentielle

$f$ tend vers $l$ en $a$ , $l$ fini ou infini, si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ qui tend vers $a$ , la suite $(f(x_n))$ tend vers $l$ .

Premier usage : prouver qu'une limite n'existe pas. Il suffit d'exhiber deux suites tendant vers $a$ dont les images ont des limites différentes.

Exemple 1.12 $\sin(1/x)$ en 0

La fonction $x \mapsto \sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$ . On prend :

$x_n = \dfrac{1}{2n\pi}$ , d'images nulles ;
$y_n = \dfrac{1}{\pi/2 + 2n\pi}$ , d'images égales à $1$ .

Second usage : la transmission aux suites récurrentes.

Propriété 1.13Suites récurrentes

Hypothèses

$u_{n+1} = f(u_n)$ ;
$(u_n)$ converge vers $l$ ;
$f$ est continue en $l$ .

Alors $f(l) = l$ .

1.5Opérations et inégalités

Les limites se combinent comme pour les suites :

combinaison linéaire ;
produit ;
quotient, avec limite du dénominateur non nulle ;
composition.

Propriété 1.14Composition

Hypothèses

$f$ tend vers $b$ en $a$ ;
$g$ tend vers $c$ en $b$ ;
les compositions ont un sens.

Alors $g \circ f$ tend vers $c$ en $a$ .

Propriété 1.15Passage à la limite d'une inégalité large

Hypothèses

$f \leqslant g$ au voisinage de $a$ ;
$f$ et $g$ ont des limites en $a$ .

Alors la limite de $f$ est inférieure ou égale à celle de $g$ .

Attention

Les inégalités strictes ne se conservent pas.

Propriété 1.16Existence d'une limite par encadrement

Hypothèses

$f \leqslant g \leqslant h$ au voisinage de $a$ ;
$f$ et $h$ tendent vers la même limite finie $l$ .

Alors $g$ tend vers $l$ .

Par minoration, si $f \leqslant g$ et si $f$ tend vers $+\infty$ , alors $g$ aussi. Symétriquement pour $-\infty$ .

Exemple 1.17

$x \sin(1/x)$ tend vers $0$ en $0$ , car sa valeur absolue est majorée par $\abs{x}$ .

1.6Théorème de la limite monotone

Théorème 1.18Limite monotone

Hypothèses

$f$ est monotone sur un intervalle ouvert $]a, b[$ , avec $a$ et $b$ éventuellement infinis.

Alors $f$ admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point de $]a, b[$ , ainsi qu'une limite en $a$ et en $b$ , finie ou infinie.

Si $f$ est croissante et majorée, sa limite en $b$ est finie et vaut la borne supérieure de ses valeurs.
Si $f$ est croissante et non majorée, sa limite en $b$ est $+\infty$ .

C'est l'analogue continu du théorème de la limite monotone pour les suites, et il repose de la même façon sur la propriété de la borne supérieure.

2Continuité en un point

2.1Définition

Définition 2.1Continuité en un point

$f$ est continue en $a$ , point de $I$ , si $f(x)$ tend vers $f(a)$ quand $x$ tend vers $a$ . Autrement dit, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $\abs{x - a} \leqslant \delta$ entraîne $\abs{f(x) - f(a)} \leqslant \varepsilon$ .

La continuité à gauche, à droite, s'obtient en remplaçant la limite par la limite unilatérale. $f$ est continue en $a$ intérieur à $I$ si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en $a$ .

2.2Prolongement par continuité

Définition 2.2Prolongement par continuité

Hypothèses

$f$ est définie sur $I$ privé de $a$ ;
$f$ admet en $a$ une limite finie $l$ .

Alors la fonction qui vaut $f$ sur $I$ privé de $a$ et $l$ en $a$ est continue en $a$ . On l'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$ .

Exemple 2.3

$x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}$ est définie sur $\R$ privé de $0$ et tend vers $1$ en $0$ . Son prolongement par continuité vaut $1$ en $0$ .

Attention

Si la limite est infinie ou n'existe pas, il n'y a pas de prolongement par continuité. La fonction $x \mapsto \sin(1/x)$ n'est pas prolongeable par continuité en $0$ .

2.3Opérations

Les combinaisons linéaires, produits, quotients à dénominateur non nul et composées de fonctions continues en un point sont continus. Toute fonction construite par opérations et compositions à partir des fonctions usuelles est continue sur tout intervalle de son domaine, ce qui permet d'invoquer la continuité sans calcul dans la quasi-totalité des exercices.

3Continuité sur un intervalle

Définition 3.1Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en chaque point de $I$ .

3.1Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 3.2Valeurs intermédiaires

Hypothèses

$f$ est continue sur un intervalle $I$ ;
$a$ et $b$ sont dans $I$ ;
$y$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ .

Alors il existe $c$ entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = y$ .

Le principe de démonstration par dichotomie est explicitement au programme.

Démonstration

Supposons $a < b$ et $f(a) \leqslant y \leqslant f(b)$ . On construit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ , avec $a_0 = a$ et $b_0 = b$ , en posant à chaque étape $m$ le milieu de $[a_n, b_n]$ , et en gardant la moitié sur laquelle $f$ change encore de position par rapport à $y$ . On maintient ainsi l'encadrement $f(a_n) \leqslant y \leqslant f(b_n)$ . Les deux suites sont adjacentes, la longueur étant divisée par $2$ à chaque étape. Elles convergent vers un même $c$ . Par continuité de $f$ et passage à la limite dans les inégalités larges, $f(c) \leqslant y \leqslant f(c)$ , donc $f(c) = y$ .

Propriété 3.3Corollaire pratique

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a, b]$ .

C'est la façon standard de prouver qu'une équation a une racine sans la calculer.

Propriété 3.4Image d'un intervalle

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

C'est la traduction du théorème des valeurs intermédiaires avec la caractérisation des intervalles vue dans le chapitre sur les réels.

Attention

L'image d'un intervalle ouvert n'est pas forcément ouverte. L'image de $]-1, 1[$ par $x \mapsto x^2$ est $[0, 1[$ .

Cas d'une fonction continue strictement monotone : l'image de l'intervalle est décrite explicitement par les limites aux bornes. Par exemple l'image de $[a, b[$ par une fonction continue strictement croissante est $[f(a), L[$ où $L$ est la limite en $b$ . Dans ce cas la solution de $f(x) = y$ est de plus unique.

3.2Théorème des bornes atteintes

Théorème 3.5Bornes atteintes

Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, il existe $c$ et $d$ dans $[a, b]$ tels que $f(c)$ soit le minimum et $f(d)$ le maximum de $f$ sur $[a, b]$ .

La démonstration est hors programme.

Exemple 3.6Contre-exemples : toutes les hypothèses servent

Sur $]0, 1[$ , la fonction $x \mapsto 1/x$ est continue et non bornée.
Sur $[0, 1]$ , la fonction valant $1/x$ pour $x$ non nul et $0$ en $0$ n'est pas continue et n'est pas bornée.
Sur $]0, 1[$ , la fonction identité est bornée mais n'atteint pas ses bornes.

Propriété 3.7Image d'un segment

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment, précisément $[m, M]$ où $m$ et $M$ sont le minimum et le maximum.

Cela combine les deux théorèmes précédents : l'image est un intervalle par les valeurs intermédiaires, borné et contenant ses extrémités par les bornes atteintes.

3.3Théorème de la bijection

Théorème 3.8Théorème de la bijection

Hypothèses

$f$ est réelle, strictement monotone, définie et continue sur un intervalle $I$ .

Alors $f$ admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur l'intervalle $J = f(I)$ .

La démonstration n'est pas exigible.

Lecture pratique :

la stricte monotonie donne l'injectivité ;
la continuité donne que $J$ est un intervalle, donc la surjectivité de $I$ sur $J$ ;
l'intervalle $J$ se détermine par un tableau de variations avec les limites aux bornes.

Exemple 3.9

La fonction $x \mapsto x + \e^x$ est continue et strictement croissante sur $\R$ , de limites $-\infty$ et $+\infty$ . Elle réalise donc une bijection de $\R$ sur $\R$ . En particulier l'équation $x + \e^x = 0$ a une unique solution réelle, qu'on ne sait pas exprimer.

Le graphe de la réciproque est le symétrique de celui de $f$ par rapport à la première bissectrice.

4Fonctions complexes

Les définitions et résultats généraux s'étendent aux fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes. Il s'agit d'une brève extension.

Propriété 4.1Caractérisation exigible

Hypothèse : $f = u + \ii v$ , avec $u$ et $v$ réelles.

Alors $f$ tend vers $l$ en $a$ si et seulement si $u$ tend vers $\operatorname{Re}(l)$ et $v$ tend vers $\Im(l)$ . De même $f$ est continue en $a$ si et seulement si $u$ et $v$ le sont.

Ce qui ne s'étend pas, c'est tout ce qui repose sur l'ordre :

pas de théorème des valeurs intermédiaires ;
pas de théorème de la limite monotone ;
pas de théorème de la bijection.

En revanche, une fonction continue sur un segment à valeurs complexes est bornée, puisque c'est le cas de ses parties réelle et imaginaire, et $\abs{f}$ est continue.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour prouver qu'une limite n'existe pas, utiliser la caractérisation séquentielle avec deux suites bien choisies.
Pour une forme indéterminée, factoriser par le terme dominant, ou utiliser les croissances comparées. Les développements limités du second semestre régleront le reste.
Pour montrer qu'une équation a une solution, poser $g$ égale à la différence des deux membres, vérifier la continuité, chercher un changement de signe, appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour l'unicité de cette solution, ajouter la stricte monotonie et invoquer le théorème de la bijection.
Pour majorer une fonction sur un segment, penser au théorème des bornes atteintes plutôt qu'à un calcul explicite.
Pour un prolongement par continuité, calculer la limite au point manquant et vérifier qu'elle est finie.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Écrire avec quantificateurs la définition de la limite dans les quatre configurations, fini ou infini de chaque côté, et la nier.
Prouver par caractérisation séquentielle que $\sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$ .
Démontrer le théorème des valeurs intermédiaires par dichotomie, avec des suites adjacentes.
Énoncer le théorème des bornes atteintes et donner trois contre-exemples montrant que chaque hypothèse est nécessaire.
Justifier que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment.
Appliquer le théorème de la bijection à une fonction concrète, en déterminant l'intervalle image par un tableau de variations.
Prouver l'existence et l'unicité de la solution de $x + \e^x = 0$ .
Prolonger par continuité une fonction du type $\dfrac{\e^x - 1}{x}$ en $0$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Unicité de la limite, finie ou infinie. Exigible. La preuve se calque sur celle des suites, et le professeur peut l'admettre.
Si f est définie en a et admet une limite en a, cette limite vaut f(a). Exigible. La preuve consiste à prendre x = a dans la définition.
Une fonction qui a une limite finie en a est bornée au voisinage de a. Exigible avec démonstration.
Pour a intérieur à I et f définie en a, f a une limite en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et valent f(a). Exigible.
Caractérisation séquentielle de la limite, finie ou infinie, pour a fini ou infini. Exigible. Le sens direct est à savoir démontrer.
Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient, composition. Exigibles et adaptées des suites, souvent admises.
Passage à la limite dans une inégalité large, quand les deux limites existent. Exigible.
Existence d'une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite +∞), par majoration (limite −∞). Exigible.
Théorème de la limite monotone sur un intervalle ouvert, bornes finies ou infinies. Exigible, la preuve repose sur la borne supérieure.
Continuité en a, prolongement par continuité, continuité à gauche et à droite, opérations. Exigibles.
Théorème des valeurs intermédiaires pour f réelle continue sur un intervalle. Exigible avec démonstration par dichotomie.
L'image d'un intervalle par une fonction réelle continue est un intervalle. Exigible.
Pour f continue strictement monotone sur un intervalle, l'image se lit sur les limites aux bornes et chaque valeur est atteinte une seule fois. Exigible.
Théorème des bornes atteintes sur un segment. Admis, la démonstration est hors programme.
L'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Exigible, c'est une conséquence des deux théorèmes précédents.
Théorème de la bijection : f réelle, continue et strictement monotone sur un intervalle I a une réciproque continue, de même monotonie, sur l'intervalle f(I). La démonstration n'est pas exigible.
Fonctions à valeurs complexes : la limite et la continuité se lisent sur les parties réelle et imaginaire. Exigible.
Hors programme, à signaler si un exercice les demande : le théorème de Bolzano-Weierstrass, la continuité uniforme et le théorème de Heine. Les équivalents et les développements limités ne sont pas encore disponibles à ce stade.

Clés de démonstration

Unicité de la limite finie. On suppose deux limites l ≠ l'. On prend ε = |l − l'|/3 et on se place là où les deux définitions s'appliquent. L'inégalité triangulaire donne alors |l − l'| ≤ 2ε < |l − l'|. Astuce : un ε choisi en fonction de l'écart, strictement plus petit que la moitié de cet écart.

Limite finie implique bornée au voisinage. On prend ε = 1 et on obtient |f(x)| ≤ |f(x) − l| + |l| ≤ 1 + |l|. Astuce : l'inégalité triangulaire.

Caractérisation séquentielle. Sens direct : on fixe ε, la définition fournit δ, puis la convergence de (x_n) fournit un rang à partir duquel |x_n − a| ≤ δ. Réciproque par contraposée : si f ne tend pas vers l, il existe ε > 0 tel que, pour tout δ, un x vérifie |x − a| ≤ δ et |f(x) − l| > ε. On choisit δ = 1/(n + 1) pour chaque n, ce qui construit une suite x_n → a dont les images restent loin de l. Astuce : nier la définition, puis faire varier δ le long d'une suite.

Limite monotone. Pour f croissante et majorée sur ]a, b[, on pose L la borne supérieure des f(x). Pour ε > 0, L − ε n'est pas un majorant, donc un x₀ vérifie f(x₀) > L − ε, et la croissance propage cette inégalité à tout x ≥ x₀. Astuce : la caractérisation de la borne supérieure par ε.

Valeurs intermédiaires. La fiche décrit la dichotomie. Le point décisif est l'invariant f(a_n) ≤ y ≤ f(b_n), que l'on conserve en regardant le signe de f(m) − y au milieu m. Astuce : suites adjacentes, puis continuité en c et passage à la limite dans deux inégalités larges.

Image d'un intervalle. Si y₁ et y₂ sont des valeurs prises, tout y compris entre elles est pris, par le théorème des valeurs intermédiaires. Astuce : un ensemble est un intervalle dès qu'il contient tout réel compris entre deux de ses éléments.

Continuité de la réciproque, pour la culture. La réciproque g est monotone sur l'intervalle J et son image est l'intervalle I. Une fonction monotone qui aurait un saut laisserait un trou dans son image. Astuce : limite monotone et limites latérales.

Fonctions complexes. On utilise |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z| et |z| ≤ |Re z| + |Im z|. Astuce : un encadrement dans chaque sens.

Exemples et contre-exemples à connaître

x ↦ x sin(1/x) se prolonge par 0 en 0, alors que sin(1/x) ne se prolonge pas. Un facteur qui tend vers 0 écrase une oscillation bornée.
cos n'a pas de limite en +∞ : les suites 2nπ et π + 2nπ donnent les valeurs 1 et −1. C'est le modèle de la non-existence à l'infini.
L'indicatrice de Q est discontinue en tout point, par densité de Q et de R privé de Q. En revanche, x ↦ x fois cette indicatrice est continue en 0 seulement.
La partie entière est continue à droite partout, mais pas à gauche aux entiers. C'est l'exemple type de limites latérales distinctes.
arctan est continue et bornée sur R, mais n'atteint ni π/2 ni −π/2. Le segment est indispensable au théorème des bornes atteintes.
L'image de ]0, 2π[ par sin est le segment [−1, 1]. L'image d'un ouvert par une fonction continue peut être fermée.
Soit f définie sur [0, 2] par f(x) = x sur [0, 1[ et f(x) = x + 1 sur [1, 2]. Elle est strictement croissante et son image n'est pas un intervalle. Sans continuité, le théorème de la bijection tombe.
La fonction qui vaut sin(1/x) pour x ≠ 0 et 0 en 0 vérifie la conclusion des valeurs intermédiaires sur tout intervalle, sans être continue en 0. La réciproque du théorème des valeurs intermédiaires est fausse.
t ↦ e^it sur [0, π] vaut 1 puis −1, mais ne s'annule jamais. Il n'y a pas de valeurs intermédiaires pour une fonction à valeurs complexes.

Techniques du chapitre

Nier une limite. Mini-exercice : écrire « f ne tend pas vers l en +∞ ». On obtient ∃ε > 0, ∀B ∈ R, ∃x ≥ B, |f(x) − l| > ε. Aussi loin que l'on aille, un point reste à distance au moins ε de l.

Deux suites pour une non-existence. Mini-exercice : x ↦ ⌊1/x⌋ x a-t-elle une limite en 0⁺ ? On a 1/x − 1 < ⌊1/x⌋ ≤ 1/x, donc 1 − x < x⌊1/x⌋ ≤ 1 pour x > 0. Par encadrement, la limite existe et vaut 1. Il faut d'abord tester l'encadrement, avant de chercher deux suites.

Encadrement. Mini-exercice : limite en +∞ de (x + sin x)/(x + 2). On a (x − 1)/(x + 2) ≤ f(x) ≤ (x + 1)/(x + 2) pour x > 0. Les deux bornes tendent vers 1, donc f tend vers 1.

Fonction auxiliaire et changement de signe. Mini-exercice : cos x = x a une solution dans [0, π/2]. On pose g(x) = cos x − x, continue, avec g(0) = 1 > 0 et g(π/2) = −π/2 < 0. Le théorème des valeurs intermédiaires conclut, et g strictement décroissante donne l'unicité.

Marge uniforme sur un segment. Mini-exercice : f continue et strictement positive sur [a, b]. Alors il existe m > 0 tel que f ≥ m. Le minimum est atteint en un point c, donc m = f(c) > 0. Sur ]0, 1], x ↦ x montre que le segment est nécessaire.

Passage à l'exponentielle. Mini-exercice : limite de x^1/x en +∞. On écrit x^1/x = exp(ln x / x), et ln x / x tend vers 0 par croissances comparées. Par continuité de exp en 0, la limite vaut 1.

Itérer puis passer à la limite. Mini-exercice : f continue en 0 avec f(x) = f(x/3) pour tout x. Pour x fixé, f(x) = f(x/3ⁿ) pour tout n, et x/3ⁿ tend vers 0. La caractérisation séquentielle donne f(x) = f(0).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Limite à la main

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer avec ε et δ que x² tend vers 4 quand x tend vers 2.

Technique majorer le facteur parasite au voisinage.

Voir le corrigé

On factorise : |x² − 4| = |x − 2| |x + 2|. 2. Si |x − 2| ≤ 1, alors x ∈ [1, 3] et |x + 2| ≤ 5. 3. Soit ε > 0. On pose δ = min(1, ε/5). Si |x − 2| ≤ δ, alors |x² − 4| ≤ 5δ ≤ ε.

piège : Choisir δ qui dépend de x, alors que δ ne doit dépendre que de ε et de a.

Exercice 2. Aucune limite, ni finie ni infinie

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que f(x) = x cos x n'a pas de limite en +∞, ni finie ni infinie.

Technique caractérisation séquentielle avec deux suites.

Voir le corrigé

Avec x_n = 2nπ, qui tend vers +∞, f(x_n) = 2nπ tend vers +∞. 2. Avec y_n = (2n + 1)π, f(y_n) = −(2n + 1)π tend vers −∞. 3. Si f avait une limite L dans R ∪ {±∞}, les deux suites images tendraient toutes deux vers L. Contradiction par unicité de la limite.

piège : Conclure seulement « pas de limite finie ». Ici deux limites infinies différentes excluent aussi ±∞.

Exercice 3. Deux prolongements

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que x ↦ x^x se prolonge par continuité en 0, et que x ↦ (1 + x)^1/x se prolonge par continuité en 0.

Technique écriture exponentielle, puis taux d'accroissement.

Voir le corrigé

Pour x > 0, x^x = exp(x ln x). Par croissances comparées, x ln x tend vers 0, et exp est continue en 0, donc x^x tend vers 1. On prolonge par 1. 2. Pour x > −1 non nul, (1 + x)^1/x = exp(ln(1 + x)/x). 3. ln(1 + x)/x est le taux d'accroissement de ln entre 1 et 1 + x, qui tend vers ln'(1) = 1. 4. Par composition, la fonction tend vers e. On la prolonge par e.

piège : Écrire « 1 puissance infini vaut 1 ». C'est une forme indéterminée, et la limite vaut ici e.

Exercice 4. Une équation fonctionnelle simple

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit f de R dans R, continue en 0, telle que f(2x) = f(x) pour tout réel x. Montrer que f est constante.

Technique itérer la relation puis utiliser la caractérisation séquentielle.

Voir le corrigé

En appliquant la relation à x/2, on obtient f(x) = f(x/2). Par récurrence, f(x) = f(x/2ⁿ) pour tout n. 2. La suite x/2ⁿ tend vers 0 et f est continue en 0, donc f(x/2ⁿ) tend vers f(0). 3. Cette suite est constante égale à f(x), donc f(x) = f(0).

piège : Itérer dans le mauvais sens, avec 2ⁿx qui part à l'infini, où l'on ne sait rien de f.

Exercice 5. Point fixe

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit f continue de [0, 1] dans [0, 1]. Montrer que f admet un point fixe.

Technique fonction auxiliaire et valeurs intermédiaires.

Voir le corrigé

On pose g(x) = f(x) − x, continue sur [0, 1]. 2. g(0) = f(0) ≥ 0, et g(1) = f(1) − 1 ≤ 0, car f prend ses valeurs dans [0, 1]. 3. Le théorème des valeurs intermédiaires fournit c dans [0, 1] tel que g(c) = 0, soit f(c) = c.

piège : Oublier une hypothèse. x ↦ x/2 de ]0, 1[ dans ]0, 1[ n'a pas de point fixe, pas plus que x ↦ x + 1 sur [0, +∞[.

Exercice 6. Corde horizontale

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit f continue sur [0, 1] avec f(0) = f(1). Montrer qu'il existe c dans [0, 1/2] tel que f(c + 1/2) = f(c).

Technique fonction auxiliaire dont une somme de valeurs est nulle.

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On pose g(x) = f(x + 1/2) − f(x) sur [0, 1/2], où elle est bien définie et continue. 2. g(0) + g(1/2) = f(1/2) − f(0) + f(1) − f(1/2) = f(1) − f(0) = 0. 3. Donc g(0) et g(1/2) sont opposés : l'un est positif ou nul, l'autre négatif ou nul. 4. Les valeurs intermédiaires donnent c avec g(c) = 0.

piège : Définir g sur [0, 1], où f(x + 1/2) n'a pas de sens. Autre piège, oublier le cas où les deux valeurs sont nulles, qui est couvert puisque 0 est compris entre elles.

Exercice 7. Suite définie implicitement, d'après un écrit CCINP PC

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Pour n ≥ 1, montrer que l'équation xⁿ + x − 1 = 0 a une unique solution u_n dans [0, 1]. Étudier la monotonie de (u_n), puis sa limite.

Technique bijection, puis comparaison de f_n+1 et f_n au point u_n.

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f_n(x) = xⁿ + x − 1 est continue et strictement croissante sur [0, 1], avec f_n(0) = −1 et f_n(1) = 1. Par le théorème de la bijection, 0 a un unique antécédent u_n, et u_n est dans ]0, 1[. 2. On calcule f_n+1(u_n) = u_nⁿ⁺¹ + u_n − 1 = u_nⁿ⁺¹ − u_nⁿ = u_nⁿ(u_n − 1) < 0 = f_n+1(u_n+1). 3. Comme f_n+1 est croissante, u_n < u_n+1. 4. La suite est croissante et majorée par 1, donc elle converge vers un l ≤ 1. 5. Si l < 1, alors 0 < u_n ≤ l, donc u_nⁿ ≤ lⁿ tend vers 0, puis u_n = 1 − u_nⁿ tend vers 1, ce qui contredit l < 1. Donc l = 1.

piège : Passer à la limite dans u_nⁿ en écrivant lⁿ. L'exposant et la base bougent en même temps, d'où le raisonnement par l'absurde.

Exercice 8. Minimum global sur R

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP ou e3a

Soit f continue sur R, qui tend vers +∞ en +∞ et en −∞. Montrer que f admet un minimum sur R.

Technique se ramener à un segment, puis bornes atteintes.

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Comme f tend vers +∞ en +∞, il existe B > 0 tel que f(x) ≥ f(0) pour x ≥ B. De même, il existe A < 0 tel que f(x) ≥ f(0) pour x ≤ A. 2. Sur le segment [A, B], f atteint un minimum m = f(c), avec m ≤ f(0) puisque 0 est dans [A, B]. 3. Hors de [A, B], f(x) ≥ f(0) ≥ m. 4. Donc m est le minimum de f sur R.

piège : Choisir un segment arbitraire, par exemple [−1, 1], sans comparer avec l'extérieur. Tout le travail consiste à choisir le segment grâce à une valeur de référence.

Exercice 9. Fonction périodique

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit f continue sur R et T-périodique, avec T > 0. Montrer que f est bornée et atteint ses bornes.

Technique réduction à une période.

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Sur [0, T], f atteint un maximum M en d et un minimum m en c. 2. Pour x réel, on pose k = ⌊x/T⌋. Alors x − kT est dans [0, T[ et f(x) = f(x − kT). 3. Donc m ≤ f(x) ≤ M pour tout x, et ces valeurs sont atteintes en c et en d.

piège : Invoquer les bornes atteintes directement sur R, qui n'est pas un segment.

Exercice 10. Équation de Cauchy

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Déterminer les f continues de R dans R telles que f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous réels x et y.

Technique on obtient la formule sur Q, puis on la prolonge par densité et caractérisation séquentielle.

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Avec x = y = 0, f(0) = 0. Avec y = −x, f(−x) = −f(x). 2. Par récurrence, f(nx) = n f(x) pour n dans N, puis pour n dans Z par imparité. 3. On pose a = f(1). Pour p dans Z et q dans N*, q f(p/q) = f(p) = pa, donc f(r) = ar pour tout rationnel r. 4. Soit x réel et r_n = ⌊10ⁿx⌋/10ⁿ, rationnel, qui tend vers x. Alors f(r_n) = a r_n tend vers ax, et f(r_n) tend vers f(x) par continuité. Donc f(x) = ax. 5. Réciproquement, x ↦ ax convient pour tout réel a.

piège : Oublier la synthèse, ou affirmer f(r) = ar pour les rationnels sans passer par f(p) puis q f(p/q).

Exercice 11. Continue et injective implique strictement monotone

Approfondissement · Type oral Mines

Soit f continue et injective sur un intervalle I. Montrer que f est strictement monotone.

Technique valeurs intermédiaires appliquées à une fonction auxiliaire construite par barycentres.

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Soient a < b et c < d dans I. Pour t dans [0, 1], on pose x(t) = (1 − t)a + tc et y(t) = (1 − t)b + td. Ces points sont dans I, qui est un intervalle, et y(t) − x(t) = (1 − t)(b − a) + t(d − c) > 0. 2. On pose φ(t) = f(y(t)) − f(x(t)), continue sur [0, 1]. Elle ne s'annule pas, car x(t) ≠ y(t) et f est injective. 3. Par les valeurs intermédiaires, φ garde un signe constant, donc f(b) − f(a) et f(d) − f(c) ont le même signe. 4. Tous les couples ordonnés varient dans le même sens, donc f est strictement monotone.

piège : Croire qu'il suffit de fixer un point a et de regarder le signe de f(x) − f(a). Cela ne compare pas deux couples quelconques.

Erreurs fréquentes

Appliquer les valeurs intermédiaires sans continuité sur un intervalle. x ↦ 1/x change de signe entre −1 et 1 sans jamais s'annuler, car [−1, 1] privé de 0 n'est pas un intervalle.
Invoquer les bornes atteintes sur ]a, b[, sur [a, +∞[ ou sur R, qui ne sont pas des segments.
Croire qu'une seule suite x_n → a avec f(x_n) → l prouve la limite. Il faut toutes les suites, ou alors revenir à la définition.
Passer à la limite dans une inégalité stricte en la gardant stricte. On a x² > 0 sur ]0, 1] et pourtant la limite en 0 vaut 0.
Conclure à l'unicité d'une solution sans stricte monotonie, ou transposer aux fonctions à valeurs complexes un résultat fondé sur l'ordre, comme les valeurs intermédiaires ou la limite monotone.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), partie A de la section « Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité » du premier semestre. Elle couvre la limite d'une fonction en un point, la continuité en un point, la continuité sur un intervalle avec les trois grands théorèmes, et l'extension aux fonctions complexes.

Limites et continuité

Résumé en cinq points

1Limite d'une fonction en un point

1.1Définitions

1.2Premiers résultats

1.3Limite à gauche, à droite

1.4Caractérisation séquentielle

1.5Opérations et inégalités

1.6Théorème de la limite monotone

2Continuité en un point

2.1Définition

2.2Prolongement par continuité

2.3Opérations

3Continuité sur un intervalle

3.1Théorème des valeurs intermédiaires

3.2Théorème des bornes atteintes

3.3Théorème de la bijection

4Fonctions complexes

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Limite à la main

Exercice 2. Aucune limite, ni finie ni infinie

Exercice 3. Deux prolongements

Exercice 4. Une équation fonctionnelle simple

Exercice 5. Point fixe

Exercice 6. Corde horizontale

Exercice 7. Suite définie implicitement, d'après un écrit CCINP PC

Exercice 8. Minimum global sur R

Exercice 9. Fonction périodique

Exercice 10. Équation de Cauchy

Exercice 11. Continue et injective implique strictement monotone

Erreurs fréquentes

Au concours