Le cours

Résumé en cinq points

L'intégrale d'une fonction continue sur un segment se construit par encadrement par des fonctions en escalier, et c'est une aire algébrique.
Linéarité et Chasles valent avec la convention de bornes inversées. Positivité, croissance et inégalité triangulaire exigent des bornes dans l'ordre croissant.
Une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle, la continuité est indispensable.
Toute fonction continue sur un intervalle a des primitives, et $x \mapsto \int_a^x f$ est celle qui s'annule en $a$ .
Les sommes de Riemann convergent vers l'intégrale, et l'inégalité de Taylor-Lagrange donne un contrôle global de l'erreur d'approximation polynomiale.

Pourquoi ce chapitre

Au premier semestre, l'intégrale a servi d'outil de calcul, avec les primitives, l'intégration par parties et le changement de variable, mais sans définition. Ce chapitre paie la dette.

On construit l'intégrale d'une fonction continue sur un segment en l'encadrant par des fonctions en escalier, puis on établit la linéarité, la positivité, la croissance et la relation de Chasles.
On démontre le théorème qui relie intégrale et primitive, socle du calcul intégral.
Les sommes de Riemann font le pont entre analyse discrète et analyse continue, et fournissent la limite de sommes que l'on rencontre dans presque tous les sujets de concours.
L'inégalité de Taylor-Lagrange offre un contrôle global de l'erreur d'approximation polynomiale, à opposer au contrôle local de Taylor-Young.

La construction elle-même n'est pas un attendu du programme, mais il faut en avoir compris le principe.

1Fonctions en escalier

1.1Subdivisions

Définition 1.1Subdivision

Une subdivision du segment $[a, b]$ est une famille finie de réels $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ . Le pas de la subdivision est le maximum des longueurs $x_{i+1} - x_i$ . Elle est régulière quand tous ces écarts sont égaux à $\frac{b-a}{n}$ , et alors $x_i = a + i\,\frac{b-a}{n}$ .

1.2Fonctions en escalier

Définition 1.2Fonction en escalier

Une fonction $f$ de $[a, b]$ dans $\R$ est en escalier s'il existe une subdivision telle que $f$ soit constante sur chaque intervalle ouvert $]x_i, x_{i+1}[$ . Une telle subdivision est dite adaptée à $f$ .

Les valeurs aux points de subdivision sont quelconques et ne jouent aucun rôle.

Définition 1.3Intégrale d'une fonction en escalier

Avec $c_i$ la valeur constante de $f$ sur $]x_i, x_{i+1}[$ , l'intégrale de $f$ est $\sum_{i=0}^{n-1} c_i\,(x_{i+1} - x_i).$ C'est l'aire algébrique des rectangles.

Cette somme ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie, on le vérifie en se ramenant à une subdivision commune plus fine.

1.3Principe de la construction

Pour $f$ continue sur $[a, b]$ , on considère les fonctions en escalier qui minorent $f$ et celles qui la majorent.

La borne supérieure des intégrales des minorantes égale la borne inférieure des intégrales des majorantes.
Cette valeur commune est l'intégrale de $f$ .
Le point technique, admis ici, est qu'une fonction continue sur un segment peut être approchée d'aussi près que l'on veut par des fonctions en escalier.

Remarque

Résultat admis. La construction n'est pas exigible, l'idée l'est. Pour les fonctions en escalier, la linéarité et la croissance de l'intégrale s'énoncent comme dans le cas continu.

2Intégrale d'une fonction continue sur un segment

2.1Notations et interprétation

On note l'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ sous la forme $\int_{[a,b]} f$ ou $\int_a^b f(t)\,\dd t$ . La variable $t$ est muette.

Définition 2.1Interprétation géométrique

Pour $f$ positive, l'intégrale est l'aire de la portion de plan comprise entre le graphe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'abscisses $a$ et $b$ . Pour $f$ de signe quelconque, c'est une aire algébrique : les parties sous l'axe comptent négativement.

2.2Propriétés fondamentales

Propriété 2.2Linéarité

Hypothèses

$f$ et $g$ sont continues sur $[a, b]$ ;
$\lambda \in \R$ .

Alors $\int_a^b (\lambda f + g) = \lambda \int_a^b f + \int_a^b g.$

Propriété 2.3Positivité

Hypothèses

$f$ est continue et positive sur $[a, b]$ ;
$a \leqslant b$ .

Alors $\int_a^b f \geqslant 0$ .

Propriété 2.4Croissance

Hypothèses

$f$ et $g$ sont continues sur $[a, b]$ , avec $f \leqslant g$ ;
$a \leqslant b$ .

Alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$ .

Démonstration

C'est la positivité appliquée à $g - f$ , avec la linéarité.

Propriété 2.5Inégalité triangulaire intégrale

Hypothèses

$f$ est continue sur $[a, b]$ ;
$a \leqslant b$ .

Alors $\left|\int_a^b f\right| \leqslant \int_a^b |f|.$

Démonstration

On encadre $f$ : $-|f| \leqslant f \leqslant |f|$ . Par croissance et linéarité, $-\int_a^b |f| \leqslant \int_a^b f \leqslant \int_a^b |f|$ .

Propriété 2.6Majoration standard

Hypothèses

$f$ est continue sur $[a, b]$ et $|f| \leqslant M$ ;
$a \leqslant b$ .

Alors $\left|\int_a^b f\right| \leqslant M(b - a)$ .

C'est la majoration la plus utilisée en pratique.

Propriété 2.7Relation de Chasles

Hypothèses

$f$ est continue sur un intervalle $I$ ;
$a$ , $b$ , $c$ sont dans $I$ , dans un ordre quelconque.

Alors, avec la convention des bornes inversées ci-dessous, $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f.$

Définition 2.8Extension de la notation

Pour $b < a$ , on pose $\int_a^b f = -\int_b^a f$ .

Avec cette convention, Chasles vaut sans condition d'ordre, la linéarité aussi.

Attention

Positivité, croissance et inégalité triangulaire exigent $a \leqslant b$ . Pour $b < a$ , on se ramène à l'ordre croissant : $\left|\int_a^b f\right| \leqslant \int_b^a |f|$ . C'est le piège le plus fréquent du chapitre.

2.3Le théorème de la fonction positive d'intégrale nulle

Théorème 2.9Fonction positive d'intégrale nulle

Hypothèses

$f$ est continue sur $[a, b]$ , à valeurs positives, avec $a < b$ ;
$\int_a^b f = 0$ .

Alors $f$ est la fonction nulle.

Démonstration

Par l'absurde, supposons $f(x_0) > 0$ pour un certain $x_0$ . Par continuité, $f \geqslant f(x_0)/2$ sur un petit intervalle de longueur strictement positive autour de $x_0$ , intersecté avec $[a, b]$ . En découpant l'intégrale par Chasles et en utilisant la positivité sur les autres morceaux, l'intégrale est minorée par une quantité strictement positive, ce qui contredit l'hypothèse.

Attention

La continuité est essentielle. Une fonction nulle partout sauf en un point a une intégrale nulle sans être nulle, mais elle n'est pas continue.

Propriété 2.10Conséquence classique

Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a, b]$ avec $a < b$ , $f \leqslant g$ et $\int_a^b f = \int_a^b g$ , alors $f = g$ .

Ce résultat servira au chapitre sur les espaces préhilbertiens, pour montrer que l'intégrale du produit définit bien un produit scalaire.

2.4Symétries et valeur moyenne

Propriété 2.11Parité et imparité

Hypothèse : $f$ est continue sur $[-a, a]$ .

Si $f$ est paire, $\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f$ .
Si $f$ est impaire, $\int_{-a}^{a} f = 0$ .

Propriété 2.12Fonction périodique

Hypothèses

$f$ est continue sur $\R$ et périodique de période $T > 0$ .

Alors, pour tout réel $a$ , $\int_a^{a+T} f = \int_0^T f.$

Démonstration

Par Chasles, $\int_a^{a+T} f = \int_a^{T} f + \int_T^{a+T} f$ . Le changement de variable $u = t - T$ donne $\int_T^{a+T} f = \int_0^{a} f$ , par périodicité. Donc la somme vaut $\int_a^T f + \int_0^a f = \int_0^T f$ .

Définition 2.13Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ continue sur $[a, b]$ , avec $a < b$ , est $\frac{1}{b-a}\int_a^b f.$

Démonstration

Pour $f$ continue sur $[a, b]$ , notons $m$ et $M$ son minimum et son maximum, qui existent. Par croissance, $m(b-a) \leqslant \int_a^b f \leqslant M(b-a)$ , donc la valeur moyenne est dans $[m, M]$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ atteint cette valeur au moins une fois.

3Sommes de Riemann

3.1Énoncé

Théorème 3.1Sommes de Riemann

Hypothèse : $f$ est continue sur $[a, b]$ .

Alors $\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\,\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b f.$

On découpe $[a, b]$ en $n$ morceaux égaux et on approche l'aire par des rectangles appuyés sur l'extrémité gauche de chaque morceau. On peut aussi prendre l'extrémité droite, avec $k$ de 1 à $n$ : la limite est la même.

3.2Idée de la démonstration dans le cas lipschitzien

Démonstration

Supposons $f$ lipschitzienne de rapport $K$ sur $[a, b]$ . Posons $h = \frac{b-a}{n}$ . Sur le $k$ -ième morceau, on compare l'intégrale de $f$ et l'aire du rectangle. La différence est majorée par $K h^2/2$ . En sommant sur les $n$ morceaux, l'erreur totale est majorée par $n\,\frac{K h^2}{2} = \frac{K (b-a)^2}{2n},$ qui tend vers $0$ . Le cas général s'en déduit par approximation, mais il est admis.

3.3Usage pratique

C'est le sens inverse qui est utile aux concours. Devant une somme dépendant de $n$ , on cherche à l'écrire sous la forme $\frac{1}{n}\sum g(k/n)$ , ce qui donne une limite égale à $\int_0^1 g$ .

Exemple 3.2Somme des $1/(n+k)$

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1 + k/n}.$ Sa limite est $\int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} = \ln 2$ .

Exemple 3.3Somme des $n/(n^2+k^2)$

$\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1 + (k/n)^2}$ tend vers $\int_0^1 \frac{\dd t}{1+t^2} = \frac{\pi}{4}$ .

Attention

Il faut isoler le facteur $1/n$ et vérifier que tout le reste ne dépend de $k$ et $n$ que par le quotient $k/n$ . Sinon la méthode ne s'applique pas.

Remarque

Comparaison de méthodes numériques. La méthode des rectangles a une erreur qui décroît comme $1/n$ . La méthode des trapèzes, qui remplace chaque rectangle par un trapèze appuyé sur les deux extrémités, a une erreur qui décroît comme $1/n^2$ pour une fonction assez régulière : elle est nettement plus performante à coût de calcul égal.

4Lien entre intégrale et primitive

4.1Théorème fondamental

Théorème 4.1Théorème fondamental

Hypothèses

$f$ est continue sur un intervalle $I$ ;
$a \in I$ .

Alors la fonction $F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,\dd t$ est dérivable sur $I$ , et $F' = f$ . C'est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .

Démonstration

Pour $x$ fixé et $h \neq 0$ petit, par Chasles, $F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f$ . On retranche $h f(x) = \int_x^{x+h} f(x)\,\dd t$ . Par la majoration standard sur le segment d'extrémités $x$ et $x + h$ (de longueur $|h|$ , quel que soit le signe de $h$ ), $\left|F(x+h) - F(x) - h f(x)\right| \leqslant |h|\,\max_t |f(t) - f(x)|,$ le maximum portant sur $t$ entre $x$ et $x + h$ . La continuité de $f$ en $x$ rend ce maximum aussi petit que l'on veut, donc le taux d'accroissement tend vers $f(x)$ .

Corollaire 4.2

Toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives, et deux primitives diffèrent d'une constante.

Corollaire 4.3Calcul d'une intégrale

Si $F$ est une primitive quelconque de $f$ continue, alors $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ .

Attention

La continuité de $f$ donne la dérivabilité de $F$ : $F$ est toujours plus régulière que $f$ d'un cran. Pour une borne variable, si $F(x) = \int_a^{u(x)} f$ , alors $F'(x) = u'(x)\,f(u(x))$ , par composition. Si les deux bornes dépendent de $x$ , on coupe en un point fixe par Chasles.

4.2Techniques de calcul, rappel

L'intégration par parties et le changement de variable, vus au premier semestre, se justifient maintenant complètement à partir de ce théorème.

Pour l'intégration par parties, on intègre la dérivée du produit $uv$ .
Pour le changement de variable, on dérive la composée $F \circ \varphi$ .

5Inégalité de Taylor-Lagrange

Théorème 5.1Inégalité de Taylor-Lagrange

Hypothèses

$f$ est de classe $C^{n+1}$ sur un intervalle $I$ ;
$a$ et $x$ sont dans $I$ ;
$M$ majore $|f^{(n+1)}|$ sur le segment d'extrémités $a$ et $x$ .

Alors $\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \right| \leqslant M\,\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.$

La somme est le polynôme de Taylor de $f$ à l'ordre $n$ en $a$ .

Remarque

Nature du résultat. Taylor-Young est un énoncé local : il décrit le comportement quand $x$ tend vers $a$ et ne dit rien à distance fixée. Taylor-Lagrange est un énoncé global et quantitatif, valable sur tout un segment, au prix d'une hypothèse de régularité supplémentaire et de la connaissance d'un majorant $M$ . La formule de Taylor avec reste intégral n'est pas exigible, et l'égalité de Taylor-Lagrange est hors programme.

Exemple 5.2Exponentielle

Pour $f = \exp$ , $a = 0$ et $x \in [0, 1]$ , on a $|f^{(n+1)}| \leqslant \e$ sur le segment $[0, x]$ . L'erreur commise en remplaçant $\e^x$ par $\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}$ est majorée par $\frac{\e}{(n+1)!}$ . Cette majoration tend vers $0$ , ce qui prouve que la série de terme $\frac{x^k}{k!}$ converge vers $\e^x$ . C'est le lien avec le chapitre sur les séries numériques.

6Extension aux fonctions à valeurs complexes

Définition 6.1Intégrale d'une fonction à valeurs complexes

Pour $f$ continue de $[a, b]$ dans $\C$ , on pose $\int_a^b f = \int_a^b \operatorname{Re}(f) + \ii \int_a^b \Im(f).$

L'intégrale est alors linéaire, y compris pour les scalaires complexes, et la relation de Chasles subsiste.

Propriété 6.2Majoration du module

Hypothèses

$f$ est continue de $[a, b]$ dans $\C$ ;
$a \leqslant b$ .

Alors $\left|\int_a^b f\right| \leqslant \int_a^b |f|$ .

Démonstration

Posons $I = \int_a^b f$ . Si $I = 0$ , c'est clair. Sinon, écrivons $I = |I|\,\e^{\ii\theta}$ . Alors $|I| = \e^{-\ii\theta} I = \int_a^b \e^{-\ii\theta} f$ . Ce nombre est réel, donc égal à sa partie réelle $\int_a^b \operatorname{Re}(\e^{-\ii\theta} f)$ . Or $\operatorname{Re}(\e^{-\ii\theta} f) \leqslant |f|$ , d'où $|I| \leqslant \int_a^b |f|$ par croissance dans le cas réel.

L'inégalité de Taylor-Lagrange s'étend aussi au cas complexe.

Attention

Les notions de positivité et de croissance n'ont aucun sens pour des fonctions à valeurs complexes. Le théorème de la fonction positive d'intégrale nulle ne s'applique qu'au cas réel.

Exemple 6.3Orthogonalités trigonométriques

Pour $n \in \Z$ , $\int_0^{2\pi} \e^{\ii n t}\,\dd t$ vaut $0$ si $n \neq 0$ , et $2\pi$ si $n = 0$ . Ce calcul est la base de toutes les orthogonalités trigonométriques.

Méthodes

MéthodeMajorer une intégrale

Majorer la fonction sur le segment.
Intégrer l'inégalité, en gardant en tête la majoration par $M(b-a)$ .
Vérifier que les bornes sont dans le bon ordre.

MéthodeÉtudier une fonction définie par une intégrale à borne variable

L'écrire comme composée de la primitive et des bornes.
Dériver.

MéthodeReconnaître une somme de Riemann

Factoriser $1/n$ .
Chercher une écriture en $k/n$ .
Conclure avec l'intégrale de $g$ sur $[0, 1]$ .

MéthodeMontrer qu'une fonction continue positive est nulle

Calculer ou montrer que son intégrale est nulle.
Appliquer le théorème de la fonction positive d'intégrale nulle.

MéthodeObtenir une inégalité fine

Penser à l'inégalité de Taylor-Lagrange.
Identifier clairement l'ordre $n$ et le majorant $M$ .

MéthodeFonction paire, impaire ou périodique

Exploiter la symétrie avant de calculer.
Cela évite souvent tout le calcul.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir une subdivision, une fonction en escalier, et l'intégrale d'une fonction en escalier.
Expliquer en quelques phrases comment on définit l'intégrale d'une fonction continue par encadrement.
Démontrer l'inégalité triangulaire intégrale et la majoration par $M(b-a)$ , en précisant l'ordre des bornes.
Démontrer qu'une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle, et donner le contre-exemple sans continuité.
Démontrer que $x \mapsto \int_a^x f$ est dérivable de dérivée $f$ , pour $f$ continue.
Reconnaître et calculer la limite d'une somme de Riemann, par exemple la somme des $\frac{1}{n+k}$ .
Énoncer l'inégalité de Taylor-Lagrange avec toutes ses hypothèses et l'appliquer à l'exponentielle.
Dériver une fonction définie par une intégrale dont les deux bornes dépendent de $x$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Intégrale d'une fonction en escalier. La définition est exigible. La preuve de son indépendance vis-à-vis de la subdivision adaptée n'est pas attendue.
Intégrale d'une fonction continue sur un segment, obtenue par encadrement par des fonctions en escalier. La construction n'est pas exigible, son principe doit être compris.
Linéarité, positivité pour a ≤ b, croissance pour a ≤ b. Elles sont admises à partir de la construction. La croissance découle de la positivité appliquée à g − f.
Inégalité triangulaire intégrale, pour f continue et a ≤ b. Exigible avec démonstration.
Majoration par M(b − a) lorsque |f| ≤ M sur [a, b] et a ≤ b. Exigible.
Relation de Chasles, pour f continue sur un intervalle contenant a, b et c, sans condition d'ordre grâce à la convention des bornes inversées. Exigible.
Si f est continue et positive sur [a, b], avec a < b, et d'intégrale nulle, alors f est nulle. Exigible avec démonstration. Contraposée : une fonction continue, positive et non nulle a une intégrale strictement positive.
Intégrale d'une fonction paire ou impaire sur [−a, a]. Intégrale d'une fonction continue T-périodique sur un intervalle de longueur T. Exigibles avec démonstration.
Valeur moyenne d'une fonction continue sur [a, b], avec a < b. Elle est atteinte. Exigible.
Sommes de Riemann à gauche et à droite, pour f continue sur [a, b]. Preuve suggérée par le programme, sans être exigée, dans le cas lipschitzien. Cas général admis.
Dérivabilité de x ↦ ∫ de a à x de f(t) dt, de dérivée f, pour f continue sur un intervalle I et a dans I. Exigible avec démonstration. Corollaires : existence de primitives, et ∫ de a à b de f = F(b) − F(a).
Intégration par parties pour u et v de classe C¹. Changement de variable pour φ de classe C¹ et f continue. Exigibles.
Inégalité de Taylor-Lagrange, pour f de classe Cⁿ⁺¹ sur I, a et x dans I, et M majorant de |fⁿ⁺¹| sur le segment d'extrémités a et x. Énoncé exigible. La preuve par récurrence est classique.
Cas complexe : définition par parties réelle et imaginaire, linéarité sur C, Chasles, |∫ f| ≤ ∫ |f| pour a ≤ b, Taylor-Lagrange. Exigibles.
Méthode des trapèzes : on attend une comparaison qualitative avec les rectangles, pas une majoration précise de l'erreur.
Hors programme ou non exigible ici : la formule de Taylor avec reste intégral (non exigible), l'égalité de Taylor-Lagrange (hors programme), les intégrales sur un intervalle non borné (deuxième année), et toute interversion de limite et d'intégrale.

Clés de démonstration

Inégalité triangulaire. On part de −|f| ≤ f ≤ |f|. On intègre par croissance, avec a ≤ b. Astuce : une valeur absolue se traite par un double encadrement.

Fonction positive d'intégrale nulle. Par contraposée, on suppose f(x₀) = c > 0. La continuité avec ε = c/2 donne un segment [α, β] inclus dans [a, b], avec α < β, sur lequel f ≥ c/2. On découpe par Chasles et on minore les autres morceaux par 0, ce qui donne ∫ f ≥ (β − α)c/2 > 0. Astuce : si x₀ vaut a ou b, on prend un demi-voisinage.

Parité. On coupe en 0 et on pose t = −u sur [−a, 0]. Les deux morceaux sont égaux si f est paire, opposés si f est impaire. Astuce : le signe moins de dt remet les bornes dans l'ordre.

Périodicité. On pose G(x) = ∫ de x à x + T de f. Alors G'(x) = f(x + T) − f(x) = 0, donc G est constante sur l'intervalle R. Astuce : dériver par rapport à la borne évite tout découpage.

Sommes de Riemann, cas lipschitzien. Sur [x_k, x_(k+1)], de longueur h, l'écart entre ∫ f et h f(x_k) vaut au plus ∫ K(t − x_k) dt = K h²/2. En sommant, l'erreur totale est au plus K(b − a)²/(2n). Astuce : même geste qu'au théorème fondamental, et la vitesse en 1/n apparaît gratuitement.

Taylor-Lagrange. Récurrence sur n, avec x ≥ a, l'autre cas étant symétrique. Pour n = 0, |f(x) − f(a)| = |∫ de a à x de f'| ≤ M(x − a). Pour l'hérédité, on pose R = f − T_n(f). Alors R' = f' − T_(n−1)(f'), et l'hypothèse appliquée à f' donne |R'(t)| ≤ M(t − a)ⁿ/n! sur [a, x]. On intègre, avec R(a) = 0. Astuce : la dérivée du polynôme de Taylor de f est celui de f' à l'ordre inférieur.

Module de l'intégrale complexe. Si ∫ f ≠ 0, on écrit ∫ f = r e^iθ avec r > 0. Alors r = ∫ e^−iθ f est réel, donc égal à ∫ Re(e^−iθ f), majoré par ∫ |f|. Astuce : on tourne l'intégrale pour la rendre réelle positive.

Valeur moyenne. f atteint sur le segment un minimum m et un maximum M. On intègre m ≤ f ≤ M, on divise par b − a, et le TVI conclut. Astuce : invoquer les bornes atteintes avant le TVI.

Exemples et contre-exemples à connaître

La fonction nulle sur [0, 1] sauf en 1/2, où elle vaut 1. Son intégrale est nulle, elle n'est pas nulle : la continuité est indispensable au théorème de nullité.
Le sinus sur [0, 2π], continu, d'intégrale nulle, non nul : la positivité est indispensable au même théorème.
∫ de 1 à 0 de dt vaut −1. L'intégrande est positive, l'intégrale négative : la positivité exige a ≤ b.
f égale à 0 sur [−1, 0[ et à 1 sur [0, 1]. Alors ∫ de 0 à x de f vaut max(x, 0), non dérivable en 0. Sans continuité de f, on perd F' = f.
f égale à −1 sur [−1, 0[ et à 1 sur [0, 1]. Sa moyenne est 0, valeur jamais prise : la continuité est nécessaire.
La racine carrée n'est pas lipschitzienne sur [0, 1], pourtant la somme des √k, pour k de 1 à n, divisée par n^3/2, tend vers 2/3. L'hypothèse lipschitzienne ne sert qu'à la preuve.
La somme des 1/√(n² + k), pour k de 1 à n, n'est pas une somme de Riemann. On l'encadre entre n/√(n² + n) et 1, donc elle tend vers 1.
Pour tout réel x, |sin x − x| ≤ |x|³/6. C'est Taylor-Lagrange à l'ordre 2 en 0 avec M = 1. L'énoncé est global, alors que sin x = x + o(x²) ne dit rien en x = 10.
Pour x réel, |expⁿ⁺¹| est majoré par max(1, eˣ) entre 0 et x. L'erreur est au plus max(1, eˣ)|x|ⁿ⁺¹/(n+1)!, qui tend vers 0. Donc eˣ est la limite des sommes des x^k/k! pour tout x réel.

Techniques du chapitre

Encadrer puis intégrer. Mini-exercice : I_n = ∫ de 0 à 1 de tⁿ/(1 + t) dt. Sur [0, 1], 0 ≤ tⁿ/(1 + t) ≤ tⁿ. Donc 0 ≤ I_n ≤ 1/(n + 1), et I_n tend vers 0.

Sortir la variable avant de dériver. Mini-exercice : H(x) = ∫ de 0 à x de (x − t) f(t) dt, f continue. On écrit H(x) = x ∫ de 0 à x de f − ∫ de 0 à x de t f(t) dt. Alors H'(x) = ∫ de 0 à x de f + x f(x) − x f(x), donc H'' = f.

Reconnaître une somme de Riemann. Mini-exercice : la somme des k/(n² + k²), pour k de 1 à n, vaut (1/n) fois la somme des (k/n)/(1 + (k/n)²). Elle tend vers ∫ de 0 à 1 de t/(1 + t²) dt = ln(2)/2.

Symétrie x ↦ a + b − x. Mini-exercice : I = ∫ de 0 à π/2 de sin x/(sin x + cos x) dx, dénominateur au moins 1. Avec x = π/2 − u, I = ∫ de 0 à π/2 de cos/(cos + sin). En additionnant, 2I = π/2, donc I = π/4.

Positivité stricte. Mini-exercice : si P est un polynôme réel avec ∫ de 0 à 1 de P² = 0, alors P² est continue, positive, donc nulle sur [0, 1]. P a une infinité de racines, donc P = 0.

Taylor-Lagrange avec un bon majorant. Mini-exercice : pour x ≥ 0, |ln(1 + x) − x + x²/2| ≤ x³/3. La dérivée troisième 2/(1 + t)³ est au plus 2 sur [0, x], d'où la borne 2x³/3!.

Passer par les complexes. Mini-exercice : ∫ de 0 à π de eᵗ cos t dt est la partie réelle de ∫ de 0 à π de e^(1+i)t dt = (e^(1+i)π − 1)/(1 + i) = −(e^π + 1)(1 − i)/2. Elle vaut donc −(e^π + 1)/2.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Trois limites de sommes

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Limites de (a) la somme des 1/√(n² + kn), pour k de 1 à n, (b) u_n = (1/n)((2n)!/n!)^1/n, (c) la somme des 1/(n + k), pour k de 1 à 2n.

Technique isoler 1/n, et passer au logarithme pour un produit.

Voir le corrigé

(a) √(n² + kn) = n√(1 + k/n). La somme tend vers ∫ de 0 à 1 de dt/√(1 + t) = 2√2 − 2.
(b) (2n)!/n! est le produit des (n + k), égal à nⁿ fois le produit des (1 + k/n). Donc ln u_n = (1/n) fois la somme des ln(1 + k/n).
Cette somme tend vers ∫ de 0 à 1 de ln(1 + t) dt = 2 ln 2 − 1. Par continuité de l'exponentielle, u_n tend vers 4/e.
(c) La somme vaut (1/n) fois la somme des 1/(1 + k/n), avec k/n dans ]0, 2]. C'est une somme de Riemann de pas 1/n sur [0, 2], qui tend vers ln 3.

piège : En (c), intégrer sur [0, 1] alors que k/n monte jusqu'à 2.

Exercice 2. Une intégrale sans primitive visible

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Calculer I = ∫ de 0 à π de x sin x/(1 + cos² x) dx.

Technique la substitution x = π − u élimine le facteur x.

Voir le corrigé

Avec x = π − u, I = ∫ de 0 à π de (π − u) sin u/(1 + cos² u) du.
Donc I = πJ − I, avec J = ∫ de 0 à π de sin u/(1 + cos² u) du.
Avec w = cos u, dw = −sin u du, et J = ∫ de −1 à 1 de dw/(1 + w²) = π/2.
Finalement I = π²/4.

piège : Tenter une intégration par parties, qui n'aboutit pas.

Exercice 3. Un point fixe par l'intégrale

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit f continue de [0, 1] dans R avec ∫ de 0 à 1 de f = 1/2. Montrer que f admet un point fixe.

Technique contraposée du théorème de nullité, puis TVI.

Voir le corrigé

g(x) = f(x) − x est continue et ∫ de 0 à 1 de g = 0.
Si g ne s'annule pas, le TVI impose un signe strict constant.
Si g > 0, g est continue, positive, non nulle, donc ∫ g > 0, contradiction. Si g < 0, même raisonnement avec −g.
Donc g s'annule en c, et f(c) = c.

piège : Écrire « ∫ g = 0 donc g = 0 », faux sans positivité.

Exercice 4. Deux bornes variables

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour x > 1, G(x) = ∫ de x à x² de dt/ln t. Calculer G', puis la limite de G en 1 par la droite.

Technique primitive abstraite, puis encadrement vers une intégrale calculable.

Voir le corrigé

Pour x > 1, on a 1 < x < x², et 1/ln t est continue sur ]1, +∞[. Elle y admet une primitive Φ, non explicite.
G(x) = Φ(x²) − Φ(x), donc G'(x) = 2x/ln(x²) − 1/ln x = (x − 1)/ln x.
On écrit 1/ln t = t × 1/(t ln t), avec 1/(t ln t) > 0. Comme x ≤ t ≤ x², on a x K(x) ≤ G(x) ≤ x² K(x), où K(x) = ∫ de x à x² de dt/(t ln t).
K(x) = ln(ln x²) − ln(ln x) = ln 2. Par encadrement, G tend vers ln 2.

piège : Oublier le facteur 2x venant de la borne x², ou chercher une primitive explicite de 1/ln t.

Exercice 5. Intégrales de Wallis

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

W_n = ∫ de 0 à π/2 de sinⁿ t dt. Montrer que W_n > 0 et que la suite décroît. Établir (n + 2)W_(n+2) = (n + 1)W_n, puis (n + 1)W_(n+1)W_n = π/2. En déduire W_n équivalent à √(π/(2n)).

Technique intégration par parties, puis suite constante.

Voir le corrigé

sinⁿ est continue, positive, non nulle sur [0, π/2], donc W_n > 0. Comme sinⁿ⁺¹ ≤ sinⁿ, la suite décroît.
W_(n+2) = ∫ sinⁿ⁺¹ × sin. Par parties avec v = −cos, le crochet est nul et il reste (n + 1)∫ sinⁿ cos² = (n + 1)(W_n − W_(n+2)).
En multipliant par W_(n+1), la suite (n + 1)W_(n+1)W_n est constante, égale à W₁ W₀ = π/2.
Par décroissance, (n + 1)/(n + 2) = W_(n+2)/W_n ≤ W_(n+1)/W_n ≤ 1, donc W_(n+1)/W_n tend vers 1.
Ainsi n W_n² est équivalent à (n + 1)W_(n+1)W_n = π/2, d'où l'équivalent.

piège : Diviser par W_n sans avoir prouvé qu'il est non nul.

Exercice 6. Oscillations rapides

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit f de classe C¹ sur [a, b]. Montrer que ∫ de a à b de f(t) sin(nt) dt tend vers 0.

Technique une intégration par parties fait apparaître 1/n.

Voir le corrigé

On intègre par parties avec u = f et v = −cos(nt)/n, toutes deux de classe C¹.
L'intégrale vaut [−f(t)cos(nt)/n] entre a et b, plus (1/n)∫ f'(t)cos(nt) dt.
Elle est donc majorée en valeur absolue par (|f(a)| + |f(b)| + (b − a) max|f'|)/n, qui tend vers 0.

piège : Oublier le rôle de l'hypothèse C¹. Pour f seulement continue, le résultat reste vrai, mais la preuve, par fonctions en escalier, est nettement plus délicate.

Exercice 7. Une limite sans interversion

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit f continue sur [0, 1] et u_n = ∫ de 0 à 1 de f(tⁿ) dt. Montrer que u_n tend vers f(0).

Technique couper le segment en un point qui dépend de n.

Voir le corrigé

Soit M le maximum de |f| et ε > 0. La continuité en 0 donne δ dans ]0, 1[ tel que |f(u) − f(0)| ≤ ε pour u dans [0, δ].
On pose a_n = δ^1/n = exp(ln δ/n), qui tend vers 1. Pour t dans [0, a_n], tⁿ ≤ δ.
|u_n − f(0)| ≤ ∫ de 0 à 1 de |f(tⁿ) − f(0)| dt. Coupé en a_n, le premier morceau vaut au plus ε, le second au plus 2M(1 − a_n).
Pour n assez grand, 2M(1 − a_n) ≤ ε, donc |u_n − f(0)| ≤ 2ε.

piège : Passer à la limite sous l'intégrale parce que tⁿ tend vers 0. Cette interversion n'est pas justifiable avec le programme.

Exercice 8. Puissances paires du cosinus

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Calculer I_n = ∫ de 0 à 2π de cos²ⁿ t dt, puis en déduire W_(2n) de l'exercice 5.

Technique formule d'Euler, binôme, et intégrales des e^imt.

Voir le corrigé

cos t = (e^it + e^−it)/2, donc cos²ⁿ t = 4⁻ⁿ fois la somme des C(2n, k) e^{i(2k − 2n)t}, pour k de 0 à 2n.
On intègre cette somme finie terme à terme. ∫ de 0 à 2π de e^imt est nul pour m entier non nul. Seul reste le terme k = n.
Donc I_n = 2π C(2n, n)/4ⁿ.
Par π-périodicité puis par t ↦ π − t, I_n vaut 4 fois l'intégrale sur [0, π/2], égale à W_(2n) par t ↦ π/2 − t. Donc W_(2n) = (π/2)C(2n, n)/4ⁿ.

piège : Oublier que ∫ e^imt vaut 2π quand m = 0.

Exercice 9. Vitesse des rectangles

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit f de classe C² sur [0, 1], I son intégrale et S_n = (1/n) fois la somme des f(k/n), pour k de 0 à n − 1. Montrer que n(I − S_n) tend vers (f(1) − f(0))/2. Commenter la méthode des trapèzes.

Technique Taylor-Lagrange sur chaque morceau, puis Riemann pour f'.

Voir le corrigé

Soit h = 1/n, x_k = kh, et M₂ le maximum de |f''| sur [0, 1]. Pour t dans [x_k, x_(k+1)], Taylor-Lagrange à l'ordre 1 donne |f(t) − f(x_k) − (t − x_k)f'(x_k)| ≤ M₂(t − x_k)²/2.
En intégrant, l'écart entre ∫ f sur le morceau et h f(x_k) + h² f'(x_k)/2 vaut au plus M₂h³/6.
En sommant, l'écart entre I − S_n et (h/2) fois (1/n) fois la somme des f'(x_k) vaut au plus M₂/(6n²).
En multipliant par n, l'écart entre n(I − S_n) et la moitié de la somme de Riemann de f' vaut au plus M₂/(6n). Comme f' est continue, cette somme tend vers f(1) − f(0).
La somme des trapèzes vaut T_n = S_n + (f(1) − f(0))/(2n), donc n(I − T_n) tend vers 0. Le terme principal de l'erreur disparaît.

piège : Prendre M₂ en un point au lieu du maximum sur tout le segment.

Exercice 10. Moments égaux

Approfondissement · Niveau écrit Mines ou X

Soit f continue de [0, 1] dans R telle que ∫ f² = ∫ f³ = ∫ f⁴. Montrer que f est constante égale à 0 ou à 1.

Technique fabriquer un carré d'intégrale nulle.

Voir le corrigé

∫ f²(f − 1)² = ∫ f⁴ − 2∫ f³ + ∫ f² = 0.
f²(f − 1)² est continue et positive, donc nulle. Ainsi f(x) vaut 0 ou 1 pour tout x.
Si f prenait les deux valeurs, le TVI lui ferait prendre la valeur 1/2, impossible. Donc f est constante.

piège : S'arrêter à « f vaut 0 ou 1 en chaque point », qui n'est pas « f est constante ».

Erreurs fréquentes

Intégrer une inégalité ou majorer par M(b − a) avec des bornes dans le mauvais ordre. On vérifie a ≤ b avant chaque usage de la positivité.
Dériver ∫ de a à u(x) de f sans le facteur u'(x), ou dériver directement une intégrale dont l'intégrande contient x. On sort d'abord x de l'intégrale.
Forcer une somme de Riemann qui ne dépend pas de k à travers k/n, ou se tromper de segment quand k va jusqu'à 2n.
Conclure f = 0 à partir de ∫ f = 0 sans vérifier la continuité, la positivité et a < b.
Échanger limite et intégrale sans justification, ou écrire des inégalités entre nombres complexes. En cas de doute, on encadre, on coupe le segment, ou on majore le module.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), deuxième semestre, section « Intégration ». Elle reprend et justifie les propriétés de l'intégrale utilisées au premier semestre dans la section « Techniques fondamentales de calcul en analyse ». Les fonctions considérées sont définies sur un segment, à valeurs réelles, sauf dans la dernière partie.

Intégration

Résumé en cinq points

1Fonctions en escalier

1.1Subdivisions

1.2Fonctions en escalier

1.3Principe de la construction

2Intégrale d'une fonction continue sur un segment

2.1Notations et interprétation

2.2Propriétés fondamentales

2.3Le théorème de la fonction positive d'intégrale nulle

2.4Symétries et valeur moyenne

3Sommes de Riemann

3.1Énoncé

3.2Idée de la démonstration dans le cas lipschitzien

3.3Usage pratique

4Lien entre intégrale et primitive

4.1Théorème fondamental

4.2Techniques de calcul, rappel

5Inégalité de Taylor-Lagrange

6Extension aux fonctions à valeurs complexes

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Trois limites de sommes

Exercice 2. Une intégrale sans primitive visible

Exercice 3. Un point fixe par l'intégrale

Exercice 4. Deux bornes variables

Exercice 5. Intégrales de Wallis

Exercice 6. Oscillations rapides

Exercice 7. Une limite sans interversion

Exercice 8. Puissances paires du cosinus

Exercice 9. Vitesse des rectangles

Exercice 10. Moments égaux

Erreurs fréquentes

Au concours