Intégration sur un intervalle quelconque

Exercice 1. Intégrabilité selon un exposant ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Pour $\alpha$ réel, étudier l'intégrabilité sur $]0, +\infty[$ de la fonction $$f(t) = \frac{\ln(1 + t)}{t^{\alpha}}.$$

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Technique équivalent en $0$, exposant intermédiaire en $+\infty$.

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Résultat

$f$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ si et seulement si $1 < \alpha < 2$.

1. $f$ est continue et positive sur $]0, +\infty[$, avec deux bornes à étudier, $0$ et $+\infty$.
2. En $0$, $\ln(1 + t) \sim t$, donc $\underline{f(t) \sim 1/t^{\alpha-1}}$, intégrable si et seulement si $\alpha - 1 < 1$, soit $\alpha < 2$ (théorème 3.6, comparaison par équivalence, propriété 3.7, intégrales de Riemann).
3. En $+\infty$, si $\alpha > 1$, soit $1 < \beta < \alpha$. Alors $t^\beta f(t) = \ln(1 + t)/t^{\alpha-\beta} \to 0$ (croissances comparées), donc $f(t) = o(1/t^\beta)$ est intégrable (théorème 3.5, comparaison par domination).
4. Si $\alpha \leqslant 1$ et $t \geqslant 1$, $t^\alpha \leqslant t$ et $\ln(1 + t) \geqslant \ln 2$, donc $\underline{f(t) \geqslant \ln(2)/t}$, non intégrable (théorème 2.4, comparaison).
5. Donc $f$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ si et seulement si $1 < \alpha < 2$.

piège : Comparer directement à $1/t^\alpha$ en $+\infty$ en oubliant le logarithme.

Exercice 3. Une récurrence par parties ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Pour $n \geq 1$, $$I_n = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1 + t^2)^n}.$$ Relier $I_{n+1}$ à $I_n$, puis calculer $I_n$.

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1. $0 < (1 + t^2)^{-n} \leqslant 1/(1 + t^2)$, intégrable, donc $I_n$ converge (théorème 2.4, comparaison).

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Exercice 2. L'intégrale de ln(sin t) ★★★

Approfondissement · 30 min · Khôlle

Montrer que $$I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin t)\,dt$$ converge et vaut $-\frac{\pi}{2} \ln 2$.

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1. $\ln(\sin t) = \ln t + \ln\left(\frac{\sin t}{t}\right)$ et $\ln\left(\frac{\sin t}{t}\right) \to 0$, donc $\underline{\ln(\sin t) \sim \ln t}$ en $0^+$, intégrable (propriété 3.10, logarithme).

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Exercice 4. Une limite par convergence dominée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Déterminer la limite de $$u_n = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^n}.$$

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Exercice 5. Gamma comme limite ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP PC

Soit $x > 0$.

Montrer que $$\int_0^n \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n t^{x-1}\,dt$$ tend vers $\Gamma(x)$.

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1. Soit $f_n(t) = (1 - t/n)^n t^{x-1}$ si $0 < t \leqslant n$, et $f_n(t) = 0$ si $t > n$. …

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Exercice 7. Une intégrale qui vaut Σ 1/n² ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP PC

Montrer que $$\int_0^{+\infty} \frac{t}{e^t - 1}\,dt = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2}.$$

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1. En $0$, l'intégrande tend vers $1$ (prolongement par continuité). …

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Exercice 6. Quand le terme à terme échoue ★★★

Approfondissement · 35 min · D'après un écrit CCINP PC

En intégrant $\sum (-1)^n t^n$ sur $[0, 1[$, montrer que $$\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{n + 1} = \ln 2,$$ et expliquer pourquoi le théorème d'intégration terme à terme ne s'applique pas.

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1. Pour $t \in [0, 1[$, $\sum (-t)^n = 1/(1 + t)$ (série géométrique).

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Exercice 8. Transformée de la gaussienne ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit CCINP PC

On pose $$F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos(xt)\,dt.$$ En admettant $F(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$, montrer que $F(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-x^2/4}$.

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Exercice 9. Une fonction et ses équivalents ★★★

Approfondissement · 50 min · Niveau écrit Mines

On pose $$F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{x + t}\,dt.$$ Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et décroissante sur $]0, +\infty[$, que $F(x) \sim \frac{1}{x}$ en $+\infty$ et $F(x) \sim -\ln x$ en $0^+$.

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1. Pour $x > 0$, $t \mapsto \frac{\e^{-t}}{x + t}$ est continue sur $\intfo{0}{+\infty}$ et $0 \leqslant \frac{\e^{-t}}{x + t} \leqslant \frac{\e^{-t}}{x}$, intégrable (propriété 3.9, exponentielle). …

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Exercice 10. Intégrable et de dérivée intégrable ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral Centrale

Soit $f$ de classe $C^1$ sur $[0, +\infty[$, avec $f$ et $f'$ intégrables.

Montrer que $f$ tend vers $0$ en $+\infty$.

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1. $f(x) = f(0) + \int_0^x f'$ et $f'$ est intégrable, donc $\underline{f(x) \to \ell \in \R}$ (définition 2.1, convergence d'une intégrale généralisée).

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Exercice classique. Calculs et encadrement des intégrales de Wallis ★★★

Classique du chapitre

1. À l’aide de la récurrence, calculer $W_6$ et $W_7$.
2. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $$\sqrt{\frac{\pi}{2(n+1)}}\le W_n\le\sqrt{\frac{\pi}{2n}}.$$ En déduire directement l’équivalent de $W_n$.

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1. On a $W_2=\frac12W_0=\frac\pi4$, puis $W_4=\frac34W_2=\frac{3\pi}{16}$ et $W_6=\frac56W_4=\frac{5\pi}{32}$. …

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Exercice classique. Fréquence, amortissement et limites successives ★★★

Classique du chapitre

Pour $a\geq0$ et $b\in\R$, on considère l’intégrale impropre $$J(a,b)=\int_0^{+\infty}e^{-at}\frac{\sin(bt)}{t}\,\dd t,$$ l’intégrande étant prolongé par $b$ en $t=0$.

1. Justifier ce prolongement et établir la convergence absolue lorsque $a>0$. Traiter également le cas $b=0$ pour tout $a\geq0$.

2. En utilisant la formule démontrée dans le cours $$\begin{aligned} & \int_0^{+\infty}e^{-su}\frac{\sin u}{u}\,\dd u\\ &\quad =\frac\pi2-\arctan s\qquad(s>0), \end{aligned}$$ calculer $J(a,b)$ pour $a>0$ et tout $b\in\R$.

3. Pour $a=0$ et $b\ne0$, établir la convergence, calculer $J(0,b)$ et déterminer si l’intégrale est absolument convergente. On pourra utiliser la convergence et la semi-convergence de l’intégrale de Dirichlet établies dans le cours.

4. Calculer les deux limites successives $$\begin{aligned} &\lim_{b\to0^+}\left(\lim_{a\to0^+}J(a,b)\right)\\ &\text{et}\quad\lim_{a\to0^+}\left(\lim_{b\to0^+}J(a,b)\right). \end{aligned}$$ La fonction $J$ admet-elle une limite lorsque $(a,b)\to(0,0)$ avec $a>0$ et $b>0$ ? Justifier par deux chemins explicites.

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