Le cours

Résumé en cinq points

Une norme vérifie séparation, homogénéité et inégalité triangulaire. Elle donne une distance, des boules, et permet de définir la convergence exactement comme dans $\R$ .
Un ouvert contient une boule autour de chacun de ses points. Un fermé est caractérisé par le fait que toute suite convergente de ses éléments a sa limite dedans.
La continuité se teste par les suites, et l'image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une application continue est de même nature.
En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, et la convergence se lit coordonnée par coordonnée.
En dimension finie encore, une fonction réelle continue sur une partie non vide fermée bornée atteint ses bornes, et les applications linéaires, multilinéaires et polynomiales sont continues.

Pourquoi ce chapitre

En première année, on a appris à faire converger des suites de réels. En deuxième année, il faut faire converger des suites de matrices, des suites de fonctions, des suites de vecteurs de $\R^n$ .

Ce chapitre fournit le cadre unique qui permet cela : une norme, une distance, et les mêmes définitions qu'en analyse réelle.
Il installe le vocabulaire topologique (ouvert, fermé, adhérence, densité), qui sert au calcul différentiel et aux séries de fonctions.
Le point pratique le plus important est le statut particulier de la dimension finie, où toutes les normes sont équivalentes et où les questions de convergence se ramènent aux coordonnées.

Aux concours, le chapitre apparaît souvent en début de problème, sous la forme « montrer que cet ensemble est un fermé de $M_n(\R)$ » ou « montrer que cette application est continue ».

1Normes

1.1Définition

Définition 1.1Norme

Une norme sur $E$ est une application $N$ de $E$ dans $\R^+$ vérifiant, pour tous $x$ , $y$ de $E$ et tout scalaire $\lambda$ :

séparation : $N(x) = 0$ entraîne $x = 0$ ;
homogénéité : $N(\lambda x) = \abs{\lambda}\, N(x)$ ;
inégalité triangulaire : $N(x + y) \leqslant N(x) + N(y)$ .

Le couple formé de $E$ et d'une norme est un espace vectoriel normé. On note souvent $\norm{x}$ .

Propriété 1.2Inégalité triangulaire inverse

Pour tous $x$ et $y$ de $E$ : $\big|\,\norm{x} - \norm{y}\,\big| \leqslant \norm{x - y}.$

Démonstration

On écrit $\norm{x} \leqslant \norm{x - y} + \norm{y}$ , puis on échange $x$ et $y$ .

1.2Normes usuelles

Sur $\K^n$ , pour $x = (x_1, \dots, x_n)$ :

$\norm{x}_1 = \sum_{i=1}^{n} \abs{x_i}$ ;
$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \abs{x_i}^2}$ ;
$\norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}$ .

Sur un espace préhilbertien réel, la norme associée au produit scalaire est $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ . L'inégalité triangulaire vient de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Sur l'espace des fonctions bornées d'un ensemble dans $\K$ , on dispose de $\norm{f}_\infty = \sup \abs{f(t)}$ . Cette norme est au cœur du chapitre suivant sur les suites et séries de fonctions. Pour $A$ partie non vide de $\R$ et $k$ réel positif, on peut utiliser directement $\sup(kA) = k \sup(A)$ .

1.3Distance, boules, convexité

Définition 1.3Distance, boules, sphère

La distance associée à la norme est $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des $x$ tels que $\norm{x - a} < r$ , notée $B(a, r)$ .
La boule fermée s'obtient avec une inégalité large.
La sphère s'obtient avec une égalité.

Définition 1.4Partie convexe

Une partie $C$ de $E$ est convexe si, pour tous $x$ , $y$ de $C$ et tout $t \in \intff{0}{1}$ , le vecteur $tx + (1-t)y$ appartient à $C$ . Autrement dit $C$ contient tout segment joignant deux de ses points.

Propriété 1.5Convexité des boules

Les boules sont convexes.

Démonstration

Preuve pour la boule ouverte de centre $a$ . Si $\norm{x - a} < r$ et $\norm{y - a} < r$ , alors $\begin{aligned} \norm{tx + (1-t)y - a} &= \norm{t(x-a) + (1-t)(y-a)}\\ &\leqslant t\norm{x-a} + (1-t)\norm{y-a}\\ &< r. \end{aligned}$

Définition 1.6Partie bornée

Une partie $A$ est bornée s'il existe $M$ tel que $\norm{x} \leqslant M$ pour tout $x$ de $A$ , c'est-à-dire si $A$ est incluse dans une boule centrée en $0$ . Une suite est bornée si l'ensemble de ses termes l'est. Une fonction est bornée si son image l'est.

2Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé

Définition 2.1Convergence

Une suite $(u_n)$ de $E$ converge vers $l$ si $\norm{u_n - l}$ tend vers $0$ , c'est-à-dire si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $N$ tel que $n \geqslant N$ entraîne $\norm{u_n - l} \leqslant \varepsilon$ . Elle diverge sinon.

Résultats, tous démontrés comme dans le cas réel :

la limite, si elle existe, est unique ;
les opérations sont compatibles : somme de suites convergentes, produit par un scalaire, et produit par une suite scalaire convergente ;
toute suite convergente est bornée ;
toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite.

MéthodeProuver qu'une suite diverge

Extraire deux suites de la suite étudiée.
Montrer qu'elles ont des limites différentes.

Exemple 2.2Exemple matriciel

Dans $M_n(\R)$ muni d'une norme quelconque, la suite des $A^k$ , où $A$ est la matrice diagonale de coefficients $1/2$ et $1/3$ , converge vers la matrice nulle.

Exemple 2.3Exemple fonctionnel

Dans l'espace des fonctions continues sur $\intff{0}{1}$ muni de $\norm{\ }_\infty$ , la suite des fonctions $f_n(x) = x/n$ converge vers la fonction nulle, car $\norm{f_n}_\infty = 1/n$ .

3Comparaison des normes

Définition 3.1Normes équivalentes

Deux normes $N_1$ et $N_2$ sur $E$ sont équivalentes s'il existe deux réels $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ tels que, pour tout $x$ de $E$ : $\alpha N_1(x) \leqslant N_2(x) \leqslant \beta N_1(x).$

Sont invariants par passage à une norme équivalente :

le caractère borné d'une partie ou d'une suite ;
la convergence d'une suite, avec sa limite ;
toutes les notions topologiques de la section suivante.

MéthodeMontrer que deux normes ne sont pas équivalentes

Chercher une suite $(f_n)$ de vecteurs non nuls.
Montrer que le rapport $N_2(f_n)/N_1(f_n)$ n'est pas borné.

Exemple 3.2Exemple de référence

Sur l'espace des fonctions continues de $\intff{0}{1}$ dans $\R$ , on considère $\norm{f}_1 = \int_0^1 \abs{f}$ et $\norm{f}_\infty = \max \abs{f}$ . On a toujours $\norm{f}_1 \leqslant \norm{f}_\infty$ . En sens inverse, pour $f_n(x) = x^n$ , on a $\norm{f_n}_\infty = 1$ et $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1}$ . Le rapport vaut $n + 1$ , non borné. Les deux normes ne sont pas équivalentes.

La comparaison effective de deux normes n'est pas un objectif du programme : on se limite à des exemples élémentaires comme celui-ci.

4Topologie d'un espace vectoriel normé

4.1Ouverts

Définition 4.1Point intérieur, ouvert

Un point $a$ est intérieur à une partie $A$ s'il existe $r > 0$ tel que $B(a, r) \subset A$ . Une partie $U$ est un ouvert si tous ses points sont intérieurs à $U$ .

Propriété 4.2Une boule ouverte est un ouvert

Toute boule ouverte $B(a, r)$ est un ouvert.

Démonstration

Soit $x \in B(a, r)$ . On pose $\rho = r - \norm{x - a} > 0$ . Si $\norm{y - x} < \rho$ , alors $\norm{y - a} \leqslant \norm{y - x} + \norm{x - a} < r.$ Donc $B(x, \rho) \subset B(a, r)$ .

Propriété 4.3Stabilité des ouverts

Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
Une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
L'ensemble vide et $E$ tout entier sont des ouverts.

Attention

Une intersection infinie d'ouverts n'est pas forcément un ouvert. Dans $\R$ , l'intersection des intervalles $\intoo{-1/n}{1/n}$ pour $n \geqslant 1$ vaut $\{0\}$ , qui n'est pas ouvert.

4.2Fermés

Définition 4.4Fermé

Une partie $F$ est un fermé si son complémentaire est un ouvert.

Théorème 4.5Caractérisation séquentielle des fermés

$F$ est fermé si et seulement si toute suite d'éléments de $F$ qui converge dans $E$ a sa limite dans $F$ .

Les boules fermées et les sphères sont des fermés.

Propriété 4.6Stabilité des fermés

Une intersection quelconque de fermés est un fermé.
Une réunion finie de fermés est un fermé.

Attention

Une réunion infinie de fermés n'est pas forcément fermée : la réunion des segments $\intff{1/n}{1}$ pour $n \geqslant 1$ vaut $\intof{0}{1}$ privé de $0$ , c'est-à-dire $]0, 1]$ .

Attention

Ouvert et fermé ne sont pas contraires. Dans $\R$ , l'intervalle $\intfo{0}{1}$ n'est ni ouvert ni fermé, et $\R$ lui-même est à la fois ouvert et fermé.

4.3Adhérence et densité

Définition 4.7Adhérence

Un point $a$ est adhérent à $A$ si toute boule ouverte centrée en $a$ rencontre $A$ . L'adhérence de $A$ est l'ensemble des points adhérents à $A$ .

Propriété 4.8Caractérisation séquentielle de l'adhérence

Un point $a$ est adhérent à $A$ si et seulement s'il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$ .

Toute autre propriété de l'adhérence est hors programme en PC.

Définition 4.9Partie dense

Une partie $A$ est dense dans $E$ si son adhérence est $E$ , c'est-à-dire si tout élément de $E$ est limite d'une suite d'éléments de $A$ .

Exemple 4.10

$\Q$ est dense dans $\R$ .

4.4Invariance

Ouvert, fermé, adhérence, densité sont inchangés si l'on remplace la norme par une norme équivalente.

5Limite et continuité en un point

Soit $f$ une application définie sur une partie $A$ de $E$ , à valeurs dans un espace normé $F$ , et soit $a$ un point adhérent à $A$ .

Définition 5.1Limite en un point

$f$ admet la limite $l$ en $a$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $x \in A$ et $\norm{x - a} \leqslant \delta$ entraînent $\norm{f(x) - l} \leqslant \varepsilon$ .

Propriété 5.2Caractérisation séquentielle de la limite

$f$ tend vers $l$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ convergeant vers $a$ , la suite $(f(x_n))$ converge vers $l$ .

Les opérations algébriques et la composition se comportent comme dans le cas réel.

Définition 5.3Continuité en un point

Si $a$ appartient à $A$ , $f$ est continue en $a$ lorsque $f$ admet $f(a)$ pour limite en $a$ . De façon équivalente, pour toute suite $(x_n)$ de $A$ convergeant vers $a$ , la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$ .

MéthodeMontrer qu'une fonction n'est pas continue en un point

Exhiber une suite qui converge vers ce point.
Montrer que l'image de cette suite ne converge pas vers la bonne valeur.

6Continuité sur une partie

La continuité est stable par les opérations algébriques et par composition.

Théorème 6.1Image réciproque d'un ouvert, d'un fermé

Hypothèses

$f$ est continue de $E$ dans $F$ .

Alors l'image réciproque d'un ouvert de $F$ est un ouvert de $E$ , et l'image réciproque d'un fermé de $F$ est un fermé de $E$ .

Attention

C'est bien l'image réciproque, pas l'image directe. L'image d'un ouvert par une fonction continue n'a aucune raison d'être un ouvert : la fonction carré sur $\R$ envoie $\R$ sur $\intfo{0}{+\infty}$ .

Propriété 6.2Conséquences pratiques

Si $f$ est continue de $E$ dans $\R$ :

l'ensemble des $x$ tels que $f(x) > 0$ est un ouvert ;
les ensembles définis par $f(x) = 0$ ou $f(x) \geqslant 0$ sont des fermés.

Exemple 6.3Exemples à savoir refaire

Le déterminant est continu sur $M_n(\R)$ . Donc l'ensemble des matrices inversibles, image réciproque de $\R$ privé de $0$ , est un ouvert.
L'ensemble des matrices de déterminant $1$ est un fermé.
L'ensemble des matrices orthogonales est un fermé, comme image réciproque du fermé $\{I_n\}$ par l'application continue $A \mapsto A^{\top}A$ .

Définition 6.4Application lipschitzienne

Une application $f$ de $A$ dans $F$ est lipschitzienne s'il existe $k \geqslant 0$ tel que $\norm{f(x) - f(y)} \leqslant k\norm{x - y}$ pour tous $x$ , $y$ de $A$ .

Propriété 6.5

Toute application lipschitzienne est continue.

Exemple 6.6

La norme elle-même est $1$ -lipschitzienne, d'après l'inégalité triangulaire inverse.

7Espaces vectoriels normés de dimension finie

Trois résultats de cette section sont admis.

7.1Équivalence des normes

Théorème 7.1Équivalence des normes

Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Résultat admis : la démonstration est hors programme.

En dimension finie, on peut parler de suite convergente, de partie bornée, d'ouvert ou de fermé sans préciser la norme. On choisit alors la norme la plus commode pour les calculs, souvent $\norm{\ }_\infty$ .

Propriété 7.2Convergence coordonnée par coordonnée

La convergence d'une suite, ou l'existence de la limite d'une fonction, à valeurs dans un espace de dimension finie équivaut à la convergence de chacune des coordonnées dans une base fixée. Pour une suite de matrices, cela signifie coefficient par coefficient.

Attention

En dimension infinie le théorème d'équivalence est faux, comme le montre l'exemple de la section sur la comparaison des normes.

7.2Théorème des bornes atteintes

Théorème 7.3Théorème des bornes atteintes

Hypothèses

l'espace vectoriel normé est de dimension finie ;
$A$ est une partie non vide, fermée et bornée ;
$f$ est une fonction réelle continue sur $A$ .

Alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

Résultat admis : la démonstration est hors programme.

Les trois hypothèses sont indispensables.

Sur $]0, 1]$ , qui est borné et non fermé, la fonction inverse est continue et non bornée.
Sur $\intfo{0}{+\infty}$ , qui est fermé et non borné, la fonction identité est continue et non bornée.

Exemple 7.4Exemple d'usage

Sur la sphère unité de $\R^n$ , qui est fermée et bornée, toute fonction continue atteint son maximum. C'est l'argument standard des problèmes d'optimisation.

7.3Continuité des applications linéaires et polynomiales

Théorème 7.5Continuité en dimension finie

En dimension finie, toute application linéaire est continue. Il en va de même des applications multilinéaires et des applications polynomiales, c'est-à-dire des applications dont les coordonnées de l'image sont des fonctions polynomiales des coordonnées de la variable.

Résultat admis. La notion de norme subordonnée est hors programme.

Exemple 7.6Exemples

Le produit matriciel, bilinéaire de $M_n(\K) \times M_n(\K)$ dans $M_n(\K)$ , est continu.
Le déterminant, fonction polynomiale des coefficients, est continu.
La trace, forme linéaire, est continue.

Attention

Ce résultat est propre à la dimension finie. En dimension infinie, une application linéaire peut ne pas être continue, par exemple la dérivation sur les fonctions polynomiales munies de $\norm{\ }_\infty$ sur $\intff{0}{1}$ .

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une partie est fermée

Utiliser la caractérisation séquentielle, ou écrire la partie comme image réciproque d'un fermé par une application continue.
La seconde voie est souvent la plus rapide dans les espaces de matrices.

MéthodeMontrer qu'une partie est ouverte

L'écrire comme image réciproque d'un ouvert par une application continue.
Ou revenir aux boules.

MéthodeMontrer que deux normes ne sont pas équivalentes

Construire une suite dont le rapport des normes explose.

MéthodeÉtudier une suite de matrices ou de vecteurs en dimension finie

Travailler coordonnée par coordonnée.

MéthodeMontrer qu'une fonction n'est pas continue

Choisir une suite bien choisie convergeant vers le point.
Utiliser le critère séquentiel.

MéthodeProuver l'existence d'un maximum

Vérifier que le domaine est non vide, fermé et borné.
Vérifier que la fonction est continue.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Vérifier qu'une application donnée est une norme, et démontrer l'inégalité triangulaire inverse.
Démontrer la convexité d'une boule.
Démontrer qu'une boule ouverte est un ouvert.
Énoncer et utiliser la caractérisation séquentielle des fermés et de l'adhérence.
Montrer que $\norm{\ }_1$ et $\norm{\ }_\infty$ ne sont pas équivalentes sur les fonctions continues de $\intff{0}{1}$ dans $\R$ .
Montrer que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert et que l'ensemble des matrices orthogonales est un fermé borné.
Donner les trois hypothèses du théorème des bornes atteintes et un contre-exemple quand l'une est retirée.
Justifier la continuité du déterminant et du produit matriciel.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Inégalité triangulaire inverse : | ‖x‖ − ‖y‖ | ≤ ‖x − y‖. Démonstration exigible.
Convexité des boules ouvertes et fermées. Démonstration exigible.
Unicité de la limite d'une suite, opérations sur les limites. Démonstration exigible.
Une suite convergente est bornée. Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite. Démonstration exigible.
Pour deux normes équivalentes, le caractère borné et la convergence d'une suite, avec sa limite, sont les mêmes. Démonstration exigible.
Une boule ouverte est un ouvert. Démonstration exigible.
Ouverts stables par réunion quelconque et intersection finie. Fermés stables par intersection quelconque et réunion finie. Démonstration exigible.
Caractérisation séquentielle des fermés : F est fermé si et seulement si toute suite de F convergente dans E a sa limite dans F. Démonstration exigible.
Boules fermées et sphères sont des fermés. Démonstration exigible.
Caractérisations séquentielles de l'adhérence, de la limite en un point adhérent et de la continuité en un point. Démonstration exigible.
Image réciproque d'un ouvert, ou d'un fermé, par une application continue définie sur E tout entier. Démonstration exigible.
Toute application lipschitzienne est continue. Démonstration exigible.
Équivalence des normes en dimension finie. Démonstration hors programme.
En dimension finie, convergence d'une suite, ou existence d'une limite, équivaut à celle des coordonnées dans une base. Conséquence directe du résultat précédent.
Bornes atteintes : une fonction réelle continue sur une partie non vide, fermée et bornée d'un espace de dimension finie est bornée et atteint ses bornes. Démonstration hors programme.
En dimension finie, les applications linéaires, multilinéaires et polynomiales sont continues. Le cas linéaire est à savoir prouver.
Hors programme en PC : compacité, suites de Cauchy, complétude, normes subordonnées, propriétés de l'adhérence autres que sa caractérisation séquentielle.

Clés de démonstration

Unicité de la limite. Si (u_n) tend vers l et vers l', on écrit ‖l − l'‖ ≤ ‖l − u_n‖ + ‖u_n − l'‖. Le membre de droite tend vers 0 et celui de gauche ne dépend pas de n, donc l = l' par séparation. Astuce : intercaler u_n.

Suite convergente bornée. Avec ε = 1, on a ‖u_n‖ ≤ ‖l‖ + 1 à partir d'un rang N. On majore la suite par le maximum de ‖u₀‖, …, ‖u_N−1‖ et de ‖l‖ + 1. Astuce : un nombre fini de termes est toujours borné.

Invariance par norme équivalente. Si α N₁ ≤ N₂ ≤ β N₁, alors N₂(u_n − l) ≤ β N₁(u_n − l) et N₁(u_n − l) ≤ N₂(u_n − l)/α. Chaque convergence entraîne l'autre. Astuce : les constantes ne gênent pas le passage à la limite.

Caractérisation séquentielle des fermés. Sens direct : si la limite l d'une suite de F était hors de F, une boule B(l, r) éviterait F, alors que u_n y entre pour n grand. Réciproque par contraposée : si le complémentaire n'est pas ouvert, il contient un point a dont chaque boule B(a, 1/(n + 1)) rencontre F. On y choisit u_n, qui tend vers a hors de F. Astuce : les rayons 1/(n + 1) fabriquent la suite.

Stabilité des fermés. Le complémentaire d'une intersection est la réunion des complémentaires, qui sont ouverts. Astuce : tout se ramène aux ouverts.

Image réciproque d'un ouvert. Soit V ouvert et a dans f⁻¹(V). Une boule B(f(a), ε) est incluse dans V, et la continuité en a donne δ > 0 tel que B(a, δ) soit incluse dans f⁻¹(V). Pour un fermé, on passe au complémentaire. Astuce : le ε de la continuité est le rayon de la boule.

Lipschitzienne entraîne continue. Si k > 0, on prend δ = ε/k. Si k = 0, la fonction est constante. Astuce : ne pas oublier k = 0.

Continuité d'une application linéaire en dimension finie. On fixe une base (e₁, …, e_p) et la norme ‖ ‖∞ des coordonnées, permise par l'équivalence des normes. Alors ‖u(x)‖ ≤ Σ |x_i| ‖u(e_i)‖ ≤ C ‖x‖∞ avec C = Σ ‖u(e_i)‖, donc u est C-lipschitzienne par linéarité. Astuce : inégalité triangulaire sur la décomposition dans une base. Le cas polynomial suit, car les coordonnées sont continues et sommes et produits de fonctions continues le sont.

Exemples et contre-exemples à connaître

N(x, y) = |x| sur R² n'est pas une norme, car N(0, 1) = 0. C'est presque toujours la séparation qui tombe.
La sphère unité n'est pas convexe : e et −e y sont, pas leur milieu 0.
Z est fermé dans R, car son complémentaire est la réunion des ouverts ]k, k + 1[.
Q et R privé de Q sont denses dans R. Si des rationnels q_n tendent vers x, les irrationnels q_n + √2/(n + 1) aussi.
f(x, y) = xy/(x² + y²), prolongée par 0, est continue en chaque variable séparément mais pas en (0, 0), car elle vaut 1/2 sur la diagonale.
GL_n(R) est ouvert et dense dans M_n(R), mais ni fermé ni borné : I_n/p tend vers 0 et p I_n explose.
Dans M₂(R), l'ensemble des matrices diagonalisables n'est ni ouvert ni fermé (exercice 5).
L'identité de C([0, 1]) muni de ‖ ‖∞ vers C([0, 1]) muni de ‖ ‖₁ est 1-lipschitzienne, mais pas continue dans l'autre sens.
L'évaluation f ↦ f(0) est continue pour ‖ ‖∞, pas pour ‖ ‖₁ (exercice 2). En dimension infinie, la topologie dépend de la norme.
La dérivation sur R[X] n'est pas continue pour la norme sup sur [0, 1] (exercice 7).

Techniques du chapitre

Technique 1 : vérifier une norme en commençant par la séparation. Mini-exercice : sur C¹([0, 1], R), N(f) = |f(0)| + ‖f'‖∞. Homogénéité et inégalité triangulaire sont immédiates. Si N(f) = 0, alors f' = 0, donc f est constante égale à f(0) = 0.

Technique 2 : fermé par image réciproque. Mini-exercice : F = {(x, y, z) : x² + y² ≤ z ≤ 1}. Les fonctions polynomiales z − x² − y² et 1 − z sont continues, F est l'intersection de deux ensembles du type {g ≥ 0}, donc fermé. Il est borné car 0 ≤ z ≤ 1, x² ≤ 1 et y² ≤ 1.

Technique 3 : ouvert par image réciproque. Mini-exercice : U = {A ∈ M_n(R) : det A > 0 et tr A < 1}. Le déterminant et la trace sont continus. U est l'intersection de deux ouverts, donc ouvert.

Technique 4 : continuité par majoration. Mini-exercice : f(x, y) = x²y/(x² + y²), f(0, 0) = 0. Comme x² ≤ x² + y², on a |f(x, y)| ≤ |y| ≤ ‖(x, y)‖₂, qui tend vers 0. f est continue en (0, 0).

Technique 5 : discontinuité par deux chemins. Mini-exercice : g(x, y) = x²y/(x⁴ + y²), g(0, 0) = 0. On a g(1/n, 0) = 0 mais g(1/n, 1/n²) = 1/2. Les deux suites tendent vers (0, 0), donc g n'est pas continue en (0, 0).

Technique 6 : suites de matrices coefficient par coefficient. Mini-exercice : A = (1/2) × la matrice de lignes (1, 1) et (0, 1). Par récurrence, A^k = 2^−k × la matrice de lignes (1, k) et (0, 1). Or k/2^k tend vers 0, donc A^k tend vers 0.

Technique 7 : non-équivalence par une suite. Mini-exercice : sur C([0, 1]), ‖f‖₂ = √(∫ f²). Avec f_n(x) = xⁿ, ‖f_n‖∞ = 1 et ‖f_n‖₂ = 1/√(2n + 1). Le rapport √(2n + 1) n'est pas borné.

Technique 8 : extremum par les bornes atteintes. Mini-exercice : h(x, y) = x + 2y sur le cercle unité, partie non vide, fermée, bornée de R². h est continue, donc atteint son maximum. Par Cauchy-Schwarz, h ≤ √5, avec égalité en (1, 2)/√5.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Une norme par évaluations

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Sur R_n[X], on pose N(P) = Σ_k=0ⁿ |P(k)|. Montrer que N est une norme. Et si la somme s'arrête à k = n − 1 ?

Technique séparation par comptage des racines.

Voir le corrigé

N est positive. L'homogénéité et l'inégalité triangulaire viennent de la valeur absolue, terme à terme.
Si N(P) = 0, P s'annule en n + 1 points distincts. Comme deg P ≤ n, P = 0.
Avec la somme jusqu'à n − 1, le polynôme non nul X(X − 1)…(X − n + 1) vérifie N(P) = 0. Ce n'est plus une norme.
En dimension finie, une suite (P_m) converge donc si et seulement si chaque suite (P_m(k)) converge.

piège : Oublier de comparer le nombre de racines au degré maximal.

Exercice 2. Fermée pour une norme, dense pour une autre

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Dans E = C([0, 1], R), soit F = {f : f(0) = 0}. Montrer que F est fermé pour ‖ ‖∞, puis dense pour ‖ ‖₁.

Technique caractérisation séquentielle, puis approximations explicites.

Voir le corrigé

Si f_n ∈ F tend vers f pour ‖ ‖∞, alors |f(0)| = |f(0) − f_n(0)| ≤ ‖f − f_n‖∞, qui tend vers 0. Donc f ∈ F.
On pose φ_n(x) = min(nx, 1), continue, nulle en 0, avec 0 ≤ 1 − φ_n ≤ 1, et 1 − φ_n nulle au-delà de 1/n.
Pour g ∈ E, g_n = g φ_n est dans F et ‖g − g_n‖₁ ≤ ‖g‖∞ ∫₀^1/n (1 − nx) dx = ‖g‖∞/(2n).
F est donc dense pour ‖ ‖₁. Comme F ≠ E, il n'est pas fermé pour cette norme, et les deux normes ne sont pas équivalentes.

piège : Croire qu'un fermé l'est pour toute norme. Ce n'est vrai qu'en dimension finie.

Exercice 3. Continuité selon un paramètre

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit α > 0. On pose f(x, y) = |xy|^α/(x² + y²) hors de l'origine et f(0, 0) = 0. Pour quels α f est-elle continue sur R² ?

Technique majoration par une puissance de la norme, puis chemin diagonal.

Voir le corrigé

Hors de l'origine, f est un quotient de fonctions continues à dénominateur non nul.
Comme |xy| ≤ (x² + y²)/2, on a |f(x, y)| ≤ 2^−α (x² + y²)^α−1, qui tend vers 0 si α > 1.
Si α ≤ 1, f(t, t) = t^2α−2/2 vaut 1/2 si α = 1 et tend vers +∞ si α < 1. f n'est pas continue.
Conclusion : f est continue si et seulement si α > 1.

piège : Tester seulement les axes, où f est nulle.

Exercice 4. Le groupe linéaire est ouvert et dense

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que GL_n(R) est un ouvert dense de M_n(R).

Technique image réciproque, puis perturbation par un multiple de l'identité.

Voir le corrigé

Le déterminant est polynomial, donc continu. GL_n(R) est l'image réciproque de l'ouvert R privé de 0.
Soit A ∈ M_n(R). A − λI_n est non inversible si et seulement si λ est valeur propre réelle de A. Il y en a au plus n.
On choisit p₀ tel que 1/p₀ soit strictement inférieur aux valeurs propres strictement positives de A, s'il y en a. Pour p ≥ p₀, A_p = A − I_n/p est inversible.
A_p tend vers A coefficient par coefficient. GL_n(R) est dense.

piège : Affirmer « A + I_n/p est inversible » sans justifier que −1/p n'est pas valeur propre.

Exercice 5. Nilpotentes et diagonalisables

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que l'ensemble des nilpotentes de M_n(R) est fermé, puis que l'ensemble D des matrices diagonalisables de M₂(R) n'est ni ouvert ni fermé.

Technique image réciproque, puis suites de matrices explicites.

Voir le corrigé

Une nilpotente a pour polynôme caractéristique Xⁿ, donc Aⁿ = 0 par Cayley-Hamilton. Les nilpotentes forment {A : Aⁿ = 0}, image réciproque de {0} par l'application polynomiale A ↦ Aⁿ : fermé.
A_p, de lignes (1/p, 1) et (0, 0), a deux valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable. Sa limite, de lignes (0, 1) et (0, 0), est nilpotente non nulle, donc non diagonalisable. D n'est pas fermé.
B_p, de lignes (1, 1/p) et (0, 1), a pour seule valeur propre 1. Diagonalisable, elle vaudrait I₂, ce qui est faux. Or B_p tend vers I₂ ∈ D, donc toute boule autour de I₂ sort de D : D n'est pas ouvert.

piège : Croire qu'une partie non fermée est ouverte.

Exercice 6. Limite de puissances de matrices

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Soit t réel et M_n la matrice de lignes (1, −t/n) et (t/n, 1). Montrer que M_nⁿ tend vers la rotation R(t) de lignes (cos t, −sin t) et (sin t, cos t).

Technique homothétie composée avec une rotation, puis limite coefficient par coefficient.

Voir le corrigé

On pose ρ_n = √(1 + t²/n²) et θ_n = arctan(t/n). Alors cos θ_n = 1/ρ_n et sin θ_n = (t/n)/ρ_n, donc M_n = ρ_n R(θ_n).
Comme R(a)R(b) = R(a + b), M_nⁿ = ρ_nⁿ R(nθ_n).
On a 0 ≤ n ln ρ_n = (n/2) ln(1 + t²/n²) ≤ t²/(2n), donc ρ_nⁿ tend vers 1.
Si t ≠ 0, arctan u ~ u en 0 donne nθ_n ~ t. Si t = 0, tout est constant. Dans les deux cas, nθ_n tend vers t.
Par continuité de cos et sin, chaque coefficient de M_nⁿ tend vers celui de R(t).

piège : Transposer (1 + x/n)ⁿ → e^x aux matrices sans justification, ou oublier le facteur ρ_nⁿ.

Exercice 7. Deux normes sur R[X]

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Sur R[X], on pose N₁(P) = Σ|a_k|, où les a_k sont les coefficients, et N∞(P) = sup |P(x)| pour x ∈ [0, 1]. Montrer que ce sont des normes non équivalentes, et que la dérivation D n'est continue pour aucune des deux.

Technique suite de polynômes bien choisie, puis critère séquentiel en 0.

Voir le corrigé

Pour N∞, un polynôme nul sur [0, 1] a une infinité de racines, d'où la séparation. Le reste est immédiat.
Pour x ∈ [0, 1], |P(x)| ≤ Σ|a_k| xᵏ ≤ N₁(P), donc N∞ ≤ N₁.
P_n = (1 − X)ⁿ vérifie N∞(P_n) = 1 et N₁(P_n) = Σ C(n, k) = 2ⁿ. Le rapport n'est pas borné.
Q_n = Xⁿ/n tend vers 0 pour les deux normes, qui valent 1/n. Mais D(Q_n) = Xⁿ⁻¹ est de norme 1 dans les deux cas. D n'est pas continue en 0.

piège : Invoquer « linéaire donc continue » hors de la dimension finie.

Exercice 8. Le groupe orthogonal

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Montrer que O_n(R) et SO_n(R) sont des fermés bornés de M_n(R). En déduire que la trace atteint un maximum sur O_n(R) et le calculer.

Technique image réciproque, puis bornes atteintes.

Voir le corrigé

A ↦ AᵀA est continue, car la transposition est linéaire et le produit bilinéaire. O_n(R) est l'image réciproque du fermé {I_n}.
SO_n(R) est l'intersection de O_n(R) et de l'image réciproque de {1} par le déterminant : fermé.
Les colonnes d'une matrice orthogonale sont unitaires, donc |a_ij| ≤ 1. O_n(R) est borné.
La trace est continue, O_n(R) est non vide, fermé, borné, en dimension finie : le maximum est atteint.
tr A = Σ a_ii ≤ n, avec égalité pour I_n. Le maximum vaut n.

piège : Oublier la dimension finie ou la continuité en invoquant les bornes atteintes.

Exercice 9. Distance à un fermé

Approfondissement · Type oral Mines

Soit F un fermé non vide de Rⁿ muni d'une norme, et a ∈ Rⁿ. On pose d(a, F) = inf ‖a − x‖ pour x ∈ F. Montrer que cette borne inférieure est atteinte, puis que x ↦ d(x, F) est 1-lipschitzienne.

Technique se ramener à une partie bornée.

Voir le corrigé

La borne inférieure existe : ensemble non vide minoré par 0.
On fixe x₀ ∈ F et R = ‖a − x₀‖. K = F ∩ B_f(a, R) est fermé, borné, et contient x₀.
g(x) = ‖a − x‖ est 1-lipschitzienne, donc continue. Elle atteint son minimum sur K en un point b, et g(b) ≤ g(x₀) = R.
Si x ∈ F n'est pas dans K, g(x) > R ≥ g(b). Donc d(a, F) = ‖a − b‖.
Pour y, z et x ∈ F, d(y, F) ≤ ‖y − z‖ + ‖z − x‖. En passant à la borne inférieure en x, d(y, F) ≤ ‖y − z‖ + d(z, F). On échange y et z.

piège : Appliquer les bornes atteintes directement sur F, qui n'est pas forcément borné. Le point b n'est pas unique en général : pour F la sphère unité et a = 0, tous les points conviennent.

Exercice 10. Équation fonctionnelle et densité

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit f : R → R continue telle que f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous x, y. Montrer que f(x) = f(1) x.

Technique identifier f sur Q, puis prolonger par densité et continuité.

Voir le corrigé

x = y = 0 donne f(0) = 0. Par récurrence, f(nx) = n f(x) pour n ∈ N. Puis f(−x) = −f(x), d'où le cas n ∈ Z.
Pour p ∈ Z et q ∈ N non nul, q f(p/q) = f(p) = p f(1). Donc f(r) = f(1) r pour tout rationnel r.
g(x) = f(x) − f(1) x est continue et nulle sur Q.
Pour x réel, r_n = ⌊10ⁿ x⌋/10ⁿ est rationnel et |x − r_n| ≤ 10⁻ⁿ. Par continuité, g(x) = lim g(r_n) = 0.

piège : Oublier que la continuité est indispensable. Sans elle, il existe des solutions non linéaires, dont la construction dépasse le programme.

Erreurs fréquentes

Croire qu'ouvert et fermé sont contraires, et conclure « pas fermé donc ouvert ».
Utiliser l'image directe au lieu de l'image réciproque, ou appliquer ce résultat à une fonction non continue sur tout l'espace.
Invoquer l'équivalence des normes ou la continuité des applications linéaires en dimension infinie, par exemple sur C([0, 1]) ou R[X].
Appliquer les bornes atteintes sans vérifier les quatre points : partie non vide, fermée, bornée, fonction continue, en dimension finie.
Conclure à la continuité en un point après avoir testé seulement quelques droites. Il faut une majoration valable pour tous les points proches, par exemple par une puissance de la norme.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Espaces vectoriels normés ». $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ , et $E$ un $\K$ -espace vectoriel. Le mot « compacité » n'apparaît pas au programme de PC, on énonce directement le théorème des bornes atteintes sur une partie fermée bornée en dimension finie.

Espaces vectoriels normés

Résumé en cinq points

1Normes

1.1Définition

1.2Normes usuelles

1.3Distance, boules, convexité

2Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé

3Comparaison des normes

4Topologie d'un espace vectoriel normé

4.1Ouverts

4.2Fermés

4.3Adhérence et densité

4.4Invariance

5Limite et continuité en un point

6Continuité sur une partie

7Espaces vectoriels normés de dimension finie

7.1Équivalence des normes

7.2Théorème des bornes atteintes

7.3Continuité des applications linéaires et polynomiales

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Une norme par évaluations

Exercice 2. Fermée pour une norme, dense pour une autre

Exercice 3. Continuité selon un paramètre

Exercice 4. Le groupe linéaire est ouvert et dense

Exercice 5. Nilpotentes et diagonalisables

Exercice 6. Limite de puissances de matrices

Exercice 7. Deux normes sur R[X]

Exercice 8. Le groupe orthogonal

Exercice 9. Distance à un fermé

Exercice 10. Équation fonctionnelle et densité

Erreurs fréquentes

Au concours