Le cours

Résumé en cinq points

Une série est la suite de ses sommes partielles. Si le terme général ne tend pas vers 0, elle diverge grossièrement, mais la réciproque est fausse.
Pour une série à termes positifs, convergence équivaut à sommes partielles majorées, et les critères de comparaison et d'équivalence s'appliquent.
Les deux familles de référence sont les géométriques, qui convergent pour $\abs{q} < 1$ , et les séries de Riemann, qui convergent pour $\alpha > 1$ .
La comparaison série-intégrale traite les termes de la forme $f(n)$ avec $f$ monotone, et donne aussi des équivalents.
Pour un signe quelconque, on passe par la convergence absolue et la domination, la semi-convergence étant hors programme.

Pourquoi ce chapitre

Une série est une suite, celle de ses sommes partielles. Tout le vocabulaire des suites s'y applique donc directement.

On ne cherche presque jamais à calculer la somme : on cherche à décider si elle existe.
Le chapitre est d'abord un catalogue de critères de convergence, où l'analyse asymptotique joue le premier rôle, avec les équivalents et les comparaisons.
Le cas des séries à termes positifs est le cas de base : les sommes partielles y sont croissantes et tout se ramène à une question de majoration.
Le cas général s'y ramène par convergence absolue.
Deux familles de référence structurent tout : les séries géométriques et les séries de Riemann.

En deuxième année, ce chapitre sera le point de départ des séries entières et des séries de fonctions.

1Convergence et divergence

1.1Définitions

Définition 1.1Série et convergence

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels ou complexes. La somme partielle d'ordre $N$ est $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$ . La série de terme général $u_n$ , notée $\sum u_n$ , est par définition la suite $(S_N)$ .

La série converge si la suite $(S_N)$ converge. Sa limite est alors la somme de la série, notée $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ . Sinon la série diverge.

Attention

La suite $(u_n)$ et la série $\sum u_n$ sont deux objets différents, et leurs natures ne coïncident pas : la suite constante égale à 1 converge, mais la série correspondante diverge.

Changer un nombre fini de termes ne change pas la nature de la série, mais change la somme. Le premier indice n'a pas d'importance pour la nature.

1.2Linéarité

Propriété 1.2Linéarité de la somme

Hypothèses

$\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent ;
$\lambda$ est un scalaire.

Alors $\sum (\lambda u_n + v_n)$ converge et $\sum_{n=0}^{+\infty} (\lambda u_n + v_n) = \lambda \sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \sum_{n=0}^{+\infty} v_n.$

Attention

Si $\sum u_n$ converge et $\sum v_n$ diverge, alors $\sum (u_n + v_n)$ diverge.
Si les deux divergent, on ne peut rien dire.

On ne sépare pas une somme en deux avant d'avoir justifié la convergence de chaque morceau. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

1.3Condition nécessaire de convergence

Théorème 1.3Condition nécessaire de convergence

Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ .

Démonstration

Notons $S$ la somme. Pour $n \geqslant 1$ , $u_n = S_n - S_{n-1}$ . Les suites $(S_n)$ et $(S_{n-1})$ tendent toutes deux vers $S$ , donc $u_n \to S - S = 0$ .

Par contraposée, si $u_n$ ne tend pas vers 0, la série diverge : c'est la divergence grossière, premier réflexe devant toute série.

Attention

La réciproque est fausse. Pour la série harmonique, $\frac{1}{n} \to 0$ et pourtant $\sum \frac{1}{n}$ diverge. Ce contre-exemple est à connaître et à savoir justifier (voir la comparaison série-intégrale).

1.4Reste d'une série convergente

Définition 1.4Reste

Si $\sum u_n$ converge de somme $S$ , le reste d'ordre $N$ est $R_N = S - S_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n.$ Il tend vers 0 quand $N \to +\infty$ .

Attention

Parler du reste n'a de sens que pour une série convergente. Écrire un reste avant d'avoir prouvé la convergence est une erreur classique.

1.5Lien suite-série

Théorème 1.5Lien suite-série

La suite $(u_n)$ et la série télescopique $\sum (u_{n+1} - u_n)$ sont de même nature.

Démonstration

La somme partielle d'ordre $N$ de la série télescopique vaut $u_{N+1} - u_0$ . La série converge donc exactement quand la suite converge.

Pour étudier une suite, on étudie la série de ses accroissements, sur laquelle on dispose de tous les critères du chapitre. Ainsi la suite de terme général $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n$ converge.

1.6Séries géométriques

Théorème 1.6Séries géométriques

Soit $q$ complexe. La série $\sum q^n$ converge si et seulement si $\abs{q} < 1$ . Sa somme vaut alors $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1 - q}.$

Démonstration

Pour $q \neq 1$ , la somme partielle d'ordre $N$ vaut $\frac{1 - q^{N+1}}{1 - q}$ . Si $\abs{q} < 1$ , $q^{N+1} \to 0$ . Sinon le terme général ne tend pas vers 0 : divergence grossière.

Propriété 1.7Somme à partir du rang $n_0$

Pour $\abs{q} < 1$ : $\sum_{n=n_0}^{+\infty} q^n = \frac{q^{n_0}}{1 - q}.$ Le numérateur est le premier terme effectivement sommé.

1.7Série exponentielle

Propriété 1.8Série exponentielle

Pour tout complexe $z$ , la série $\sum \frac{z^n}{n!}$ converge et $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} = \e^z.$

Dans le cas réel, ce résultat se démontre par l'inégalité de Taylor-Lagrange, vue au chapitre d'intégration. Dans le cas complexe, il est à connaître comme référence. C'est un exemple de série convergente dont le terme général décroît très vite.

2Séries à termes positifs

2.1Convention et théorème de base

Pour une série à termes positifs divergente, on convient d'écrire que sa somme vaut $+\infty$ , avec les règles de calcul et la relation d'ordre usuelles dans $[0, +\infty]$ .

Théorème 2.1Séries à termes positifs

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Démonstration

La suite des sommes partielles est croissante, puisque $S_{N+1} - S_N = u_{N+1} \geqslant 0$ . Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée.

Une série à termes positifs a deux comportements possibles : convergence, ou divergence vers $+\infty$ . Il n'y a jamais d'oscillation.

2.2Comparaison

Théorème 2.2Comparaison

Hypothèse : $0 \leqslant u_n \leqslant v_n$ pour tout $n$ .

Alors la convergence de $\sum v_n$ entraîne celle de $\sum u_n$ , et la divergence de $\sum u_n$ entraîne celle de $\sum v_n$ .

Démonstration

Notons $S_N$ et $T_N$ les sommes partielles de $\sum u_n$ et $\sum v_n$ . On a $S_N \leqslant T_N$ . Si $\sum v_n$ converge, $(T_N)$ est majorée, donc $(S_N)$ aussi, et $\sum u_n$ converge. La seconde assertion est la contraposée. En cas de convergence, on a de plus l'inégalité entre les sommes.

Il suffit que l'inégalité soit vraie à partir d'un certain rang.

2.3Équivalence

Théorème 2.3Équivalence

Hypothèses

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont positives ;
$u_n \sim v_n$ .

Alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

Démonstration

Par définition de l'équivalence, à partir d'un certain rang, $u_n$ est compris entre $v_n/2$ et $3v_n/2$ . On conclut par comparaison dans les deux sens.

Attention

C'est un théorème sur la nature, pas sur la somme : deux séries équivalentes convergentes n'ont aucune raison d'avoir la même somme.
Sans positivité, le résultat est faux. Il faut annoncer que le terme général est positif à partir d'un certain rang avant d'utiliser un équivalent.

2.4Comparaison série-intégrale, méthode des rectangles

Théorème 2.4Comparaison série-intégrale

Hypothèses

$f$ est monotone sur $[n_0, +\infty[$ ;
$f$ est positive.

Alors, pour $n \geqslant n_0 + 1$ , si $f$ est décroissante : $\int_{n}^{n+1} f(t)\,\dd t \leqslant f(n) \leqslant \int_{n-1}^{n} f(t)\,\dd t.$ Si $f$ est croissante, les inégalités sont inversées : $\int_{n-1}^{n} f(t)\,\dd t \leqslant f(n) \leqslant \int_{n}^{n+1} f(t)\,\dd t.$

En sommant ces inégalités, on encadre les sommes partielles de $\sum f(n)$ par des intégrales. On en déduit :

la nature de la série ;
souvent un équivalent des sommes partielles en cas de divergence ;
un encadrement du reste, donc un équivalent, en cas de convergence.

C'est la même idée que pour les sommes de Riemann, utilisée ici sur un intervalle non borné.

Exemple 2.5Série harmonique

Pour $f(t) = 1/t$ , décroissante et positive, on obtient $\ln n \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leqslant 1 + \ln n.$ La série harmonique diverge donc, et sa somme partielle est équivalente à $\ln n$ .

2.5Séries de Riemann

Théorème 2.6Séries de Riemann

Pour $\alpha$ réel, la série $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ .

Démonstration

Pour $\alpha \leqslant 0$ , le terme général ne tend pas vers 0 : divergence grossière.
Pour $\alpha > 0$ , la fonction $t \mapsto 1/t^\alpha$ est décroissante et positive sur $[1, +\infty[$ . L'encadrement de la comparaison série-intégrale donne, pour $N \geqslant 2$ : $\int_{1}^{N+1} \frac{\dd t}{t^\alpha} \leqslant \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^\alpha} \leqslant 1 + \int_{1}^{N} \frac{\dd t}{t^\alpha}.$
Pour $\alpha = 1$ , $\int_1^N \frac{\dd t}{t} = \ln N \to +\infty$ : divergence.
Pour $\alpha \neq 1$ , $\int_1^N \frac{\dd t}{t^\alpha} = \frac{N^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}$ . Cette quantité a une limite finie si et seulement si $\alpha > 1$ . Les sommes partielles sont alors majorées, et dans le cas contraire elles tendent vers $+\infty$ .

Devant une série à termes positifs, on cherche un équivalent du terme général de la forme $C/n^\alpha$ , et on conclut.

Exemple 2.7

$\sin(1/n^2)$ est positif à partir d'un certain rang et équivalent à $1/n^2$ : la série converge.
$\ln(1 + 1/n)$ est équivalent à $1/n$ : la série diverge.

Attention

Pour $\alpha = 1$ , la série diverge, mais très lentement. Un équivalent en $1/n$ ne permet pas de conclure par un vague argument de petitesse : il faut citer le cas $\alpha = 1$ des séries de Riemann.

3Convergence absolue

3.1Définition et théorème

Définition 3.1Convergence absolue

La série $\sum u_n$ , à termes réels ou complexes, est absolument convergente si la série des modules $\sum \abs{u_n}$ converge. On dit aussi que la suite $(u_n)$ est sommable, et on note $\sum_{n=0}^{+\infty} \abs{u_n} < +\infty$ .

Théorème 3.2Convergence absolue

Toute série absolument convergente est convergente.

Le critère de Cauchy et la notion de semi-convergence sont hors programme, ce qui écarte notamment le critère des séries alternées. En PCSI, l'outil pour une série de signe non constant est la convergence absolue.

Attention

La réciproque est fausse en général : une série peut converger sans converger absolument. L'étude de tels cas ne relève pas du programme.

3.2Domination

Théorème 3.3Domination

Hypothèses

$(u_n)$ est une suite complexe ;
$(v_n)$ est une suite de réels positifs ;
$u_n = O(v_n)$ et $\sum v_n$ converge.

Alors $\sum u_n$ est absolument convergente, donc convergente.

C'est la forme la plus commode pour les séries de signe quelconque. On majore le module du terme général par quelque chose de connu, presque toujours une série de Riemann ou une géométrique.

Exemple 3.4

$\abs{\frac{\cos n}{n^2}} \leqslant \frac{1}{n^2}$ , donc la série converge absolument.
$\frac{(-1)^n}{n^2}$ converge absolument pour la même raison.
Pour $\ln(1 + 1/n^2) - \sin(1/n^2)$ , un développement asymptotique montre que le terme est un $O(1/n^4)$ , donc la série converge.

Méthodes

MéthodeÉtudier la nature d'une série

Regarder si le terme général tend vers 0. Sinon, conclure à la divergence grossière et s'arrêter.
Regarder le signe. S'il est constant à partir d'un certain rang, on est dans le cadre des séries à termes positifs, quitte à changer le signe global.
Chercher un équivalent simple du terme général, avec les développements limités usuels, et comparer à une série de Riemann ou à une géométrique.
Si le signe n'est pas constant, majorer $\abs{u_n}$ par un $O(v_n)$ avec $\sum v_n$ convergente connue, et appliquer la domination.
Si la série ressemble à $f(n)$ avec $f$ monotone, utiliser la comparaison série-intégrale, qui donne la nature et un équivalent des sommes partielles.

MéthodeCalculer une somme

Les cas accessibles en PCSI sont :

la série géométrique et ses dérivées par manipulation d'indices ;
la série exponentielle ;
les sommes télescopiques obtenues par décomposition en éléments simples.

Pour $\sum \frac{1}{n(n+1)}$ , on écrit $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ , ce qui télescope et donne 1.

Attention

Rédiger dans l'ordre : nature d'abord, valeur ensuite. Écrire la somme d'une série avant d'avoir prouvé sa convergence est une faute de fond.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer que le terme général d'une série convergente tend vers 0, et donner le contre-exemple de la réciproque.
Établir la nature et la somme d'une série géométrique selon le module de la raison.
Démontrer qu'une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.
Démontrer le théorème de comparaison, puis celui d'équivalence, en insistant sur l'hypothèse de signe.
Établir la nature des séries de Riemann par comparaison série-intégrale.
Montrer que $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ est équivalente à $\ln n$ , et que la suite $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n$ converge, via le lien suite-série.
Étudier une série de signe quelconque par majoration du module.
Calculer la somme d'une série télescopique obtenue par décomposition en éléments simples.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), deuxième semestre, section « Séries numériques ». Elle prolonge l'étude des suites et utilise les outils d'analyse asymptotique, équivalents et comparaisons, vus en début de semestre. Les termes sont réels ou complexes.

Séries numériques

Résumé en cinq points

1Convergence et divergence

1.1Définitions

1.2Linéarité

1.3Condition nécessaire de convergence

1.4Reste d'une série convergente

1.5Lien suite-série

1.6Séries géométriques

1.7Série exponentielle

2Séries à termes positifs

2.1Convention et théorème de base

2.2Comparaison

2.3Équivalence

2.4Comparaison série-intégrale, méthode des rectangles

2.5Séries de Riemann

3Convergence absolue

3.1Définition et théorème

3.2Domination

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Au concours