Fonctions de plusieurs variables

Exercice 1. Continue, dérivable partiellement, mais pas C¹ ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit $$f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$$ hors de l'origine et $f(0, 0) = 0$.

Étudier la continuité et les dérivées partielles de $f$ en l'origine.

Montrer que $f$ n'est pas $C^1$ sur $\R^2$.

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Technique confronter une dérivée directionnelle à la différentielle qu'imposerait la classe $C^1$.

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Résultat

$f$ est continue en $(0, 0)$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \dfrac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0$, mais $D_{(1, 1)} f(0, 0) = \dfrac{1}{2} \neq 0$, donc $f$ n'est pas $C^1$ sur $\R^2$.

1. $y^2 \leqslant x^2 + y^2$ donc $\underline{\abs{f(x, y)} \leqslant \abs{x}}$, et $f$ est continue en $(0, 0)$ (ailleurs quotient de polynômes à dénominateur non nul).
2. $f(t, 0) = f(0, t) = 0$ donc $\underline{\dfrac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \dfrac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0}$ (taux d'accroissement nuls).
3. Si $f$ était $C^1$, alors $D_v f(0, 0) = \dd f(0, 0)\cdot v = 0$ pour tout $v$ (propriété 1.9, dérivées directionnelles).
4. Or $\dfrac{f(t, t)}{t} = \dfrac{1}{2}$, donc $\underline{D_{(1, 1)} f(0, 0) = \dfrac{1}{2} \neq 0}$. Contradiction.

piège : Conclure à la classe $C^1$ par continuité et existence des dérivées partielles. D'ailleurs $\partial f/\partial x\,(0, y) = 1$ pour $y \neq 0$, donc $\partial f/\partial x$ n'est pas continue en l'origine.

Exercice 2. Prolongement de classe C¹ ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Soit $$f(x, y) = \frac{x^3 y}{x^2 + y^2}$$ hors de l'origine et $f(0, 0) = 0$.

Montrer que $f$ est $C^1$ sur $\R^2$.

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Exercice 3. Fonctions radiales harmoniques ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit $\varphi$ de classe $C^2$ sur $]0, +\infty[$ et $$f(x, y) = \varphi\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$$ sur $U = \R^2$ privé de l'origine.

Exprimer $$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$ à l'aide de $\varphi$, puis trouver les $\varphi$ telles que $\Delta f = 0$ sur $U$.

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1. $r$ est $C^2$ sur $U$ et $\dfrac{\partial r}{\partial x} = \dfrac{x}{r}$, donc $f$ est $C^2$ et $\underline{\dfrac{\partial f}{\partial x} = \varphi'(r)\,\dfrac{x}{r}}$ (théorème 2.2, composition générale).

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Exercice 4. Équation aux dérivées partielles en polaires ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit CCINP PC

Sur $$U = \{(x, y), x > 0\},$$ trouver les $f$ de classe $C^1$ telles que $$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

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Exercice 7. Identité d'Euler ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP PC

Soit $U = \R^2$ privé de l'origine, $\alpha$ réel et $f$ de classe $C^1$ sur $U$.

Montrer que $$f(tx, ty) = t^{\alpha} f(x, y)$$ pour tout $t > 0$ et tout $(x, y)$ de $U$ si et seulement si $$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = \alpha f$$ sur $U$.

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Exercice 5. Extremums sur un triangle fermé ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Soit $$T = \{(x, y), x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 1\}$$ et $$f(x, y) = xy(1 - x - y).$$ Trouver le maximum et le minimum de $f$ sur $T$.

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1. $T$ est fermé, borné, non vide et $f$ continue, donc les bornes sont atteintes (théorème 5.8, bornes atteintes).

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Exercice 6. Point critique dégénéré ★★★

Approfondissement · 45 min · D'après un écrit CCINP PC

Étudier les extremums locaux et globaux de $$f(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2$$ sur $\R^2$.

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Exercice 8. Trois variables et théorème spectral ★★★

Approfondissement · 40 min · Type oral Mines

Étudier les extremums locaux et globaux de $$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xyz$$ sur $\R^3$.

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Exercice 9. Surjectivité du gradient ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale

Soit $f$ de classe $C^1$ sur $\R^2$ telle que $\frac{f(x)}{\|x\|}$ tend vers $+\infty$ quand $\|x\|$ tend vers $+\infty$.

Montrer que pour tout $u$ de $\R^2$, il existe $a$ tel que $\nabla f(a) = u$.

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