Le cours

Résumé en cinq points

Toute partie non vide majorée de $\R$ a une borne supérieure. C'est l'axiome qui fait fonctionner toute l'analyse, et il est faux dans $\Q$ .
Les inégalités larges passent à la limite, les strictes non. Le théorème d'encadrement donne l'existence de la limite, il ne la suppose pas.
Toute suite croissante majorée converge vers la borne supérieure de ses valeurs. Deux suites adjacentes convergent vers une limite commune, encadrée par les deux suites.
Toutes les suites extraites d'une suite convergente ont la même limite, ce qui sert surtout à prouver des divergences.
Pour $u_{n+1} = f(u_n)$ , on cherche un intervalle stable, la monotonie via $f(x) - x$ , puis la limite parmi les points fixes de $f$ .

Pourquoi ce chapitre

C'est le premier chapitre rigoureux de l'analyse. Jusqu'ici on calculait, maintenant on démontre. Tout repose sur une seule propriété admise, la propriété de la borne supérieure, qui distingue $\R$ de $\Q$ et rend l'analyse possible.

Le programme demande de distinguer nettement deux niveaux :

l'aspect qualitatif : la suite converge-t-elle, est-elle monotone ;
l'aspect quantitatif : majorer, encadrer, estimer la vitesse de convergence.

Cette distinction structure les copies. Une suite peut converger sans qu'on sache calculer sa limite, et c'est même le cas le plus fréquent.

Ce chapitre fournit les outils repris ensuite pour les fonctions (limites, continuité), et il prépare les séries et l'analyse asymptotique du second semestre.

1Propriété de la borne supérieure

1.1Définitions

Définition 1.1Majorant, borne supérieure

Soit $X$ une partie de $\R$ . Un majorant de $X$ est un réel $M$ tel que $x \leqslant M$ pour tout $x \in X$ . La borne supérieure de $X$ , notée $\sup X$ , est le plus petit des majorants de $X$ , quand il existe. Symétriquement, la borne inférieure $\inf X$ est le plus grand des minorants.

Propriété 1.2Caractérisation de la borne supérieure

$M$ est la borne supérieure de $X$ si et seulement si :

$M$ majore $X$ ;
pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $x \in X$ tel que $x > M - \varepsilon$ .

Autrement dit, on peut approcher $M$ d'aussi près qu'on veut par des éléments de $X$ .

1.2La propriété admise

Théorème 1.3Propriété de la borne supérieure

Toute partie non vide et majorée de $\R$ admet une borne supérieure. Toute partie non vide et minorée de $\R$ admet une borne inférieure.

C'est la propriété fondamentale de $\R$ , admise. Le programme convient que $\sup X = +\infty$ si $X$ est non majorée.

Remarque

Résultat admis.

Différence avec le maximum : le maximum est un majorant qui appartient à $X$ . La borne supérieure existe toujours dès que $X$ est non vide et majorée, le maximum non. Quand le maximum existe, il est égal à la borne supérieure.

Exemple 1.4Borne supérieure sans maximum

Pour $X = \intoo{0}{1}$ , $\sup X = 1$ et il n'y a pas de maximum.

Attention

La propriété est fausse dans $\Q$ . L'ensemble des rationnels de carré inférieur à 2 est non vide et majoré dans $\Q$ , mais n'y admet pas de borne supérieure, puisque $\sqrt{2}$ est irrationnel.

1.3Caractérisation des intervalles

Propriété 1.5Caractérisation des intervalles

Une partie $X$ de $\R$ est un intervalle si et seulement si, pour tous $a$ et $b$ de $X$ avec $a \leqslant b$ , le segment $\intff{a}{b}$ est inclus dans $X$ .

Cet énoncé sert dans les démonstrations, notamment pour l'image d'un intervalle par une fonction continue. Un intervalle est une partie sans trou.

2Généralités sur les suites réelles

Définition 2.1Suite réelle

Une suite réelle est une application de $\N$ , ou d'une partie de $\N$ du type $\{n \geqslant n_0\}$ , dans $\R$ . On la note $(u_n)$ .

Définition 2.2Vocabulaire

$(u_n)$ est majorée s'il existe $M$ avec $u_n \leqslant M$ pour tout $n$ , minorée de même, bornée si elle est les deux ;
elle est stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang ;
elle est croissante si $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n$ , strictement croissante si l'inégalité est stricte ;
elle est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Propriété 2.3Suite bornée

$(u_n)$ est bornée si et seulement si $(\abs{u_n})$ est majorée.

Modes de définition d'une suite :

explicite : $u_n$ est donnée par une formule en $n$ ;
implicite : $u_n$ est l'unique solution d'une équation dépendant de $n$ ;
par récurrence : $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0$ donné.

MéthodeÉtudier la monotonie

Comparer $u_{n+1} - u_n$ à 0.
Si la suite est strictement positive, comparer plutôt $u_{n+1}/u_n$ à 1.

3Limite d'une suite

3.1Définitions

Définition 3.1Limite finie

$(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n \geqslant N$ , $\abs{u_n - \ell} \leqslant \varepsilon$ . Le programme précise que les définitions sont énoncées avec des inégalités larges.

Définition 3.2Limite infinie

$(u_n)$ tend vers $+\infty$ si, pour tout réel $A$ , il existe $N$ tel que, pour tout $n \geqslant N$ , $u_n \geqslant A$ . Définition analogue pour $-\infty$ .

Définition 3.3Convergente, divergente

Une suite est convergente si elle admet une limite finie, divergente sinon.

Divergente recouvre deux situations différentes : la limite infinie et l'absence de limite, comme pour $((-1)^n)$ .

3.2Premiers résultats

Théorème 3.4Unicité de la limite

Une suite admet au plus une limite.

Démonstration

Par l'absurde : si $\ell$ et $\ell'$ sont deux limites distinctes, on prend $\varepsilon = \abs{\ell - \ell'}/3$ . À partir d'un certain rang, $u_n$ est à distance au plus $\varepsilon$ de $\ell$ et de $\ell'$ , donc $\abs{\ell - \ell'} \leqslant 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}\abs{\ell - \ell'},$ ce qui est absurde.

Propriété 3.5Suite convergente et bornée

Toute suite convergente est bornée.

Démonstration

Avec $\varepsilon = 1$ , il existe $N$ tel que $\abs{u_n - \ell} \leqslant 1$ pour $n \geqslant N$ , donc $\abs{u_n} \leqslant \abs{\ell} + 1$ . Il reste un nombre fini de termes avant $N$ : on prend le maximum.

Attention

La réciproque est fausse : $((-1)^n)$ est bornée et divergente.

3.3Opérations sur les limites

Pour des suites convergentes, la combinaison linéaire, le produit et le quotient passent à la limite, sous réserve que la limite du dénominateur soit non nulle pour le quotient.

Propriété 3.6Produit borné par nul

Le produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle tend vers 0.

Exemple 3.7

$\sin(n)/n$ tend vers 0.

Pour les limites infinies, les règles usuelles s'appliquent, avec quatre formes indéterminées :

$\infty - \infty$ ;
$0 \times \infty$ ;
$\infty / \infty$ ;
$0 / 0$ .

3.4Limites et inégalités

Propriété 3.8Passage à la limite

Hypothèses

$u_n \leqslant v_n$ pour $n$ assez grand ;
les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent.

Alors $\lim u_n \leqslant \lim v_n$ .

Attention

Les inégalités strictes ne se conservent pas : $1/n > 0$ pour tout $n$ , mais la limite vaut 0.

Propriété 3.9Signe de la limite (exigible)

Si $(u_n)$ converge vers $\ell > 0$ , alors $u_n > 0$ à partir d'un certain rang.

Démonstration

On applique la définition avec $\varepsilon = \ell/2$ , ce qui donne $u_n \geqslant \ell/2 > 0$ pour $n$ assez grand.

Théorème 3.10Théorème d'encadrement

Hypothèses

$u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ à partir d'un certain rang ;
$(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ .

Alors $(v_n)$ converge vers $\ell$ .

Ce théorème donne l'existence de la limite, il ne suppose pas la convergence de $(v_n)$ . C'est ce qui fait sa force.

Propriété 3.11Variante pratique

Si $\abs{u_n - \ell} \leqslant v_n$ avec $(v_n)$ de limite nulle, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$ .

Propriété 3.12Minoration et majoration

Si $u_n \leqslant v_n$ avec $u_n$ tendant vers $+\infty$ , alors $v_n$ tend vers $+\infty$ . Symétriquement pour $-\infty$ .

4Suites monotones

4.1Théorème de la limite monotone

Théorème 4.1Limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge, et sa limite est la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs.
Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .

Énoncés symétriques pour les suites décroissantes.

Démonstration

Pour le premier point : l'ensemble des valeurs est non vide et majoré, il admet une borne supérieure $\ell$ . Soit $\varepsilon > 0$ . Par caractérisation de la borne supérieure, il existe $N$ avec $u_N > \ell - \varepsilon$ . Par croissance, pour $n \geqslant N$ : $\ell - \varepsilon < u_N \leqslant u_n \leqslant \ell.$ Donc $\abs{u_n - \ell} \leqslant \varepsilon$ .

Cette démonstration est à savoir refaire : elle montre exactement où sert la propriété de la borne supérieure.

Attention

Le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur. Si $u_n \leqslant M$ pour tout $n$ , on obtient seulement $\ell \leqslant M$ .

4.2Suites adjacentes

Définition 4.2Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si $v_n - u_n$ tend vers 0.

Théorème 4.3Suites adjacentes

Deux suites adjacentes convergent vers une même limite $\ell$ . Si $u$ croît et $v$ décroît, alors $u_n \leqslant \ell \leqslant v_n$ pour tout $n$ .

Démonstration

La suite $(v_n - u_n)$ est décroissante et tend vers 0, donc elle est positive. Ainsi $u_n \leqslant v_n \leqslant v_0$ , donc $(u_n)$ est croissante majorée, elle converge. De même $(v_n)$ est décroissante minorée. La différence des limites est nulle. L'encadrement final vient de la monotonie.

Usage principal : obtenir un encadrement de la limite avec contrôle de l'erreur, par exemple par dichotomie.

4.3Approximations décimales

Pour $x$ réel et $n$ entier, la valeur décimale approchée par défaut à $10^{-n}$ près est $\frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n},$ et celle par excès s'obtient en ajoutant $10^{-n}$ . Ces deux suites sont adjacentes et convergent vers $x$ .

À retenir

Tout réel est limite d'une suite de rationnels : $\Q$ est dense dans $\R$ .

5Suites extraites

Définition 5.1Suite extraite

Une suite extraite de $(u_n)$ est une suite de la forme $(u_{\varphi(n)})$ où $\varphi$ est une application strictement croissante de $\N$ dans $\N$ .

Le programme précise que tout développement théorique sur les suites extraites est hors programme, ainsi que le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Propriété 5.2Limite d'une suite extraite

Si $(u_n)$ admet une limite, finie ou infinie, alors toutes ses suites extraites admettent la même limite.

Usage principal : prouver une divergence.

Exemple 5.3Divergence de $((-1)^n)$

Pour $u_n = (-1)^n$ , la suite des termes pairs tend vers 1 et celle des termes impairs vers $-1$ . Si la suite avait une limite, ces deux limites seraient égales. Donc elle diverge.

Propriété 5.4Critère pairs-impairs (exigible)

Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$ , alors $(u_n)$ converge vers $\ell$ .

Démonstration

On prend $\varepsilon > 0$ , on obtient un rang $N_1$ pour les pairs et $N_2$ pour les impairs, et on prend $N = \max(2N_1, 2N_2 + 1)$ . Tout entier $n \geqslant N$ est pair ou impair, et dans les deux cas la majoration $\abs{u_n - \ell} \leqslant \varepsilon$ est acquise.

6Suites complexes

Les définitions s'étendent : $(z_n)$ converge vers $\ell$ dans $\C$ si $\abs{z_n - \ell}$ tend vers 0. Les opérations sur les limites restent valables.

Propriété 6.1Caractérisation par parties réelle et imaginaire (exigible)

$(z_n)$ converge vers $\ell$ si et seulement si $(\operatorname{Re} z_n)$ converge vers $\operatorname{Re} \ell$ et $(\Im z_n)$ vers $\Im \ell$ .

Elle vient de l'encadrement $\abs{\operatorname{Re} z} \leqslant \abs{z} \leqslant \abs{\operatorname{Re} z} + \abs{\Im z}.$

Attention

Tout ce qui utilise l'ordre disparaît dans $\C$ : pas de suite croissante, pas de théorème de la limite monotone, pas d'encadrement.

7Suites particulières

7.1Arithmétiques et géométriques

Définition 7.1Suite arithmétique

Une suite est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$ , donc $u_n = u_0 + nr$ . Elle converge seulement si $r = 0$ .

Définition 7.2Suite géométrique

Une suite est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q\,u_n$ , donc $u_n = u_0 q^n$ .

Comportement de $q^n$ pour $q$ réel :

si $\abs{q} < 1$ , la limite est 0 ;
si $q = 1$ , la suite est constante ;
si $q > 1$ , elle tend vers $+\infty$ ;
si $q \leqslant -1$ , elle n'a pas de limite.

Pour $q$ complexe, $q^n$ tend vers 0 si $\abs{q} < 1$ , et n'a pas de limite finie non nulle si $\abs{q} > 1$ .

7.2Arithmético-géométriques

Il s'agit de la relation $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \neq 1$ et $b$ complexes.

MéthodeSuite arithmético-géométrique

Chercher une solution constante $c$ , qui vérifie $c = ac + b$ , donc $c = b/(1 - a)$ .
Poser $v_n = u_n - c$ . Alors $v_{n+1} = a v_n$ , donc $v_n = v_0 a^n$ .
Conclure : $u_n = c + (u_0 - c)a^n$ .

Exemple 7.3

Pour $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 3u_n + 4$ , le point fixe est $c = -2$ , donc $u_n = -2 + 2 \times 3^n$ .

7.3Récurrences linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

Il s'agit de la relation $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ avec $b \neq 0$ , d'équation caractéristique $r^2 = ar + b$ .

Théorème 7.4Solutions dans $\C$

Hypothèses

$u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ avec $b \neq 0$ ;
$r_1$ et $r_2$ sont les racines de $r^2 = ar + b$ .

Alors :

si $r_1 \neq r_2$ , $u_n = A r_1^n + B r_2^n$ ;
si la racine est double, égale à $r$ , $u_n = (A + Bn)\,r^n$ .

Dans les deux cas, $A$ et $B$ sont déterminés par $u_0$ et $u_1$ .

Propriété 7.5Solutions réelles

Hypothèses

$a$ et $b$ sont réels ;
les racines sont complexes conjuguées $\rho\e^{\pm\ii\theta}$ .

Alors les solutions réelles s'écrivent $u_n = \rho^n\big(A\cos(n\theta) + B\sin(n\theta)\big)$ .

Exemple 7.6Suite de Fibonacci

Pour $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ , l'équation $r^2 = r + 1$ a pour racines le nombre d'or $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

7.4Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$

Le programme présente cette étude sur quelques exemples simples, avec représentation géométrique en escalier ou en escargot.

MéthodeÉtudier $u_{n+1} = f(u_n)$

Trouver un intervalle $I$ stable par $f$ , c'est-à-dire tel que $f(I) \subset I$ , et contenant $u_0$ . Une récurrence immédiate montre alors que tous les termes sont dans $I$ .
Étudier la monotonie, avec deux leviers : le signe de $f(x) - x$ donne le signe de $u_{n+1} - u_n$ ; si $f$ est croissante sur $I$ , la suite est monotone, son sens étant fixé par la comparaison de $u_1$ et $u_0$ . Si $f$ est décroissante, $(u_n)$ n'est pas monotone mais les deux suites extraites de rangs pairs et impairs le sont, car $f \circ f$ est croissante.
Conclure à la convergence, en général par le théorème de la limite monotone.
Identifier la limite parmi les points fixes de $f$ .

Propriété 7.7Limite et point fixe (exigible)

Hypothèses

$(u_n)$ converge vers $\ell$ ;
$f$ est continue en $\ell$ .

Alors $f(\ell) = \ell$ , en passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ .

La limite est donc un point fixe de $f$ , ce qui laisse un petit nombre de candidats.

Exemple 7.8

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ . L'intervalle $\intff{0}{2}$ est stable. On a $f(x) - x \geqslant 0$ sur $\intff{0}{2}$ , donc la suite est croissante, et elle est majorée par 2. Elle converge vers un point fixe : $\ell = \sqrt{2 + \ell}$ , donc $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ , soit $\ell = 2$ , la racine négative étant exclue.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour une limite par définition, se donner $\varepsilon$ , chercher un rang $N$ , écrire l'implication. Ne jamais faire dépendre $N$ de $n$ .
Pour une convergence sans valeur de limite connue, penser au théorème de la limite monotone, aux suites adjacentes, ou à l'encadrement.
Pour une divergence, exhiber deux suites extraites de limites différentes.
Pour majorer un écart à la limite, chercher une inégalité du type $\abs{u_n - \ell} \leqslant v_n$ avec $v_n$ simple.
Pour une suite récurrente, appliquer le schéma intervalle stable, monotonie, convergence, point fixe, dans cet ordre.
Pour une récurrence linéaire, passer par l'équation caractéristique et déterminer les constantes avec les deux premiers termes.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Énoncer la propriété de la borne supérieure et distinguer borne supérieure et maximum sur un exemple.
Écrire la définition de la convergence et sa négation avec les quantificateurs.
Démontrer l'unicité de la limite et le fait qu'une suite convergente est bornée.
Démontrer le théorème de la limite monotone en utilisant la caractérisation de la borne supérieure.
Démontrer le théorème des suites adjacentes et en tirer un encadrement de la limite.
Prouver qu'une suite diverge à l'aide de deux suites extraites, et démontrer le critère pairs-impairs.
Résoudre une suite arithmético-géométrique et une récurrence linéaire d'ordre 2 dans les deux cas de discriminant.
Mener une étude complète d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : intervalle stable, monotonie, limite comme point fixe.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Propriété de la borne supérieure. Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée une borne inférieure. Admise.
Caractérisation par ε. M = sup X si et seulement si M majore X et, pour tout ε > 0, il existe x ∈ X avec x > M − ε. Exigible, à utiliser dans les deux sens.
X est un intervalle si et seulement si [a, b] ⊂ X pour tous a ≤ b dans X. Énoncé exigible, et la preuve est une bonne question de khôlle.
(u_n) est bornée si et seulement si (|u_n|) est majorée. Exigible, immédiat.
Unicité de la limite, finie ou infinie. Exigible avec démonstration.
Toute suite convergente est bornée. Exigible avec démonstration. La réciproque est fausse.
Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient si la limite du dénominateur est non nulle. Exigible.
Suite bornée fois suite de limite nulle tend vers 0. Exigible avec démonstration.
Passage à la limite dans une inégalité large entre suites convergentes. Exigible avec démonstration.
Si u_n → l > 0, alors u_n > 0 à partir d'un certain rang. Exigible avec démonstration.
Existence d'une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite +∞), par majoration (limite −∞). Exigible avec démonstration.
Théorème de la limite monotone et théorème des suites adjacentes, avec u_n ≤ l ≤ v_n. Exigibles avec démonstration.
Approximations décimales par défaut et par excès. Tout réel est limite d'une suite de rationnels. Exigible.
Si (u_n) admet une limite, toutes ses suites extraites admettent la même. Exigible.
Si (u_2n) et (u_2n+1) tendent vers l, alors (u_n) tend vers l. Exigible avec démonstration.
Une suite complexe converge vers l si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent vers Re l et Im l. Exigible avec démonstration.
Comportement de (qⁿ) pour q réel ou complexe. Exigible.
Suites arithmético-géométriques u_n+1 = a u_n + b, avec a ∈ C privé de 1 et b ∈ C, par la solution constante. Exigible.
Récurrences linéaires homogènes d'ordre 2 à coefficients constants, solutions complexes, et solutions réelles si les coefficients sont réels. Exigible.
Si u_n → l et si f est continue en l, alors f(l) = l. Exigible.
Hors programme : le théorème de Bolzano-Weierstrass, les suites de Cauchy, les limites supérieure et inférieure. Le lemme de Cesàro n'est pas un résultat de cours, on le redémontre.

Clés de démonstration

Caractérisation des intervalles. Le sens direct découle de la définition. Pour la réciproque, on pose a = inf X et b = sup X, éventuellement infinis. Pour a < x < b, les caractérisations des bornes fournissent α et β dans X avec α < x < β, donc x ∈ [α, β] ⊂ X. Astuce : X est coincé entre ]a, b[ et [a, b].

Produit de limites. On écrit u_n v_n − l l' = u_n (v_n − l') + l'(u_n − l). Si |u_n| ≤ K, l'écart est majoré par K|v_n − l'| + |l'| |u_n − l|, qui tend vers 0. Astuce : ajouter et retrancher un terme croisé, et utiliser qu'une suite convergente est bornée.

Suite bornée fois suite de limite nulle. Si |u_n| ≤ K avec K > 0 et v_n → 0, alors |u_n v_n| ≤ K|v_n|. On applique la définition de v_n → 0 avec ε/K.

Passage à la limite dans u_n ≤ v_n. La suite w_n = v_n − u_n est positive et converge vers l' − l. Si l' − l était strictement négatif, le résultat sur les limites strictement positives, appliqué à (−w_n), donnerait w_n < 0 à partir d'un rang. Astuce : se ramener à un résultat déjà prouvé.

Encadrement. Pour ε > 0, à partir du plus grand des deux rangs, l − ε ≤ u_n ≤ v_n ≤ w_n ≤ l + ε. Astuce : prendre le maximum des rangs.

Limite monotone, cas non majoré. Pour tout A, la négation de « majorée » fournit N avec u_N > A. La croissance propage l'inégalité à tout n ≥ N.

Suites adjacentes et critère pairs-impairs. Preuves dans la fiche. Ce qui débloque : une suite décroissante de limite nulle est positive, et tout n ≥ max(2N₁, 2N₂ + 1) s'écrit 2p avec p ≥ N₁ ou 2p + 1 avec p ≥ N₂.

Suites extraites. Par récurrence, φ(n) ≥ n, car φ(n + 1) > φ(n) ≥ n. Donc n ≥ N entraîne φ(n) ≥ N, et la définition de la limite se transmet.

Suites complexes. |Re z| ≤ |z| et |Im z| ≤ |z| donnent le sens direct, |z| ≤ |Re z| + |Im z| la réciproque, avec z = z_n − l.

Suite géométrique. Pour q > 1, on écrit q = 1 + h avec h > 0. L'inégalité de Bernoulli (1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh, prouvée par récurrence, donne qⁿ → +∞ par minoration. Pour 0 < |q| < 1, on l'applique à 1/|q|. Pour q ≤ −1, les termes pairs valent au moins 1 et les impairs au plus −1.

Point fixe. (u_n+1) tend vers l comme suite extraite, et (f(u_n)) tend vers f(l) par continuité en l. L'unicité de la limite conclut.

Récurrence d'ordre 2. Une solution est déterminée par u₀ et u₁. Les suites A r₁ⁿ + B r₂ⁿ sont solutions, et le système en (A, B) a un déterminant r₂ − r₁ non nul. Astuce : existence et unicité à valeurs initiales fixées.

Exemples et contre-exemples à connaître

X = {1/n, n ≥ 1} a pour maximum 1 et pour borne inférieure 0, non atteinte.
((−1)ⁿ) est bornée et divergente : la réciproque de « convergente implique bornée » est fausse.
(n(−1)ⁿ) n'est pas majorée et n'a pas de limite, même infinie. Non majorée ne veut pas dire tendre vers +∞.
u_n = √n vérifie u_n+1 − u_n → 0 et tend vers +∞. Des termes consécutifs proches ne garantissent rien.
La somme harmonique vérifie H_2n − H_n ≥ n × 1/(2n) = 1/2. Si elle convergeait, cette différence tendrait vers 0. Croissante, elle tend donc vers +∞.
Σ_k=1ⁿ 1/k² et la même somme augmentée de 1/n sont adjacentes : existence d'une limite sans en connaître la valeur.
u_n = 0 si n est divisible par 2 ou par 3, et 1 sinon. (u_2n) et (u_3n) convergent, (u_n) diverge. Les indices extraits doivent recouvrir tous les entiers.
(iⁿ) n'a pas de limite alors que son module est constant.
Avec u₀ = 1 et u_n+1 = 2u_n, écrire « l = 2l donc l = 0 » est faux, puisque u_n = 2ⁿ. On cherche un point fixe après avoir prouvé la convergence.
(1 + 1/n)ⁿ tend vers e et non vers 1. La forme 1^∞ est indéterminée.

Techniques du chapitre

Borne supérieure par ε. X = {n/(n + 1), n ∈ N}. Le réel 1 majore X. Pour ε > 0, 1 − 1/(n + 1) dépasse 1 − ε dès que n + 1 > 1/ε. Donc sup X = 1, non atteint.

Majorer l'écart à la limite. u_n = (2n + 1)/(n + 3). On a |u_n − 2| = 5/(n + 3) ≤ 5/n, qui tend vers 0. Pour ε donné, N = partie entière de 5/ε, plus 1, convient.

Encadrer une somme de n termes. S_n = Σ_k=1ⁿ n/(n² + k). Chaque terme est entre n/(n² + n) et n/(n² + 1), donc n²/(n² + n) ≤ S_n ≤ n²/(n² + 1). Les bornes tendent vers 1, donc S_n → 1.

Factoriser par le terme dominant. (3ⁿ − 2ⁿ)/(3ⁿ + 2ⁿ) = (1 − (2/3)ⁿ)/(1 + (2/3)ⁿ) tend vers 1. Avec la quantité conjuguée, √(n + 1) − √n = 1/(√(n + 1) + √n) tend vers 0.

Divergence par deux suites extraites. u_n = cos(nπ/2). On a u_4n = 1 et u_4n+1 = 0, donc (u_n) diverge.

Montrer l'adjacence. u_n = Σ_k=1ⁿ 1/k² croît, et v_n = u_n + 1/n vérifie v_n+1 − v_n = 1/(n + 1)² − 1/(n(n + 1)) = −1/(n(n + 1)²) < 0. Enfin v_n − u_n = 1/n → 0.

Racine double. u_n+2 = 4u_n+1 − 4u_n, u₀ = 1, u₁ = 4. La racine double 2 donne u_n = (A + Bn)2ⁿ, puis A = 1 et 2(1 + B) = 4, donc u_n = (n + 1)2ⁿ. Contrôle : u₂ = 12 des deux façons.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Bornes d'un ensemble

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit X l'ensemble des réels (−1)ⁿ + 1/n pour n ≥ 1. Déterminer sup X et inf X, et dire s'ils sont atteints.

Technique séparer selon la parité, caractérisation par ε pour la borne non atteinte.

Voir le corrigé

Pour n pair, l'élément vaut 1 + 1/n ≤ 3/2, atteint pour n = 2. Pour n impair, il vaut −1 + 1/n ≤ 0. Donc 3/2 est le maximum. 2. Tous les éléments sont strictement supérieurs à −1. 3. Pour ε > 0, un n impair avec n > 1/ε donne −1 + 1/n < −1 + ε. Donc inf X = −1. 4. Aucun élément ne vaut −1, pas de minimum.

piège : Conclure inf X = −1 par les seuls termes impairs, sans vérifier que −1 minore aussi les pairs.

Exercice 2. Moyennes de Cesàro

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit (u_n)_n≥1 convergeant vers l, et a_n = (u₁ + … + u_n)/n. Montrer que a_n → l. Étudier la réciproque.

Technique couper la somme en un début fixe et une fin contrôlée par ε.

Voir le corrigé

Soit ε > 0 et N tel que |u_k − l| ≤ ε pour k ≥ N. 2. Pour n > N, |a_n − l| ≤ C/n + (n − N)ε/n, avec C = Σ_k=1^N |u_k − l|. 3. C ne dépend pas de n, donc C/n ≤ ε pour n ≥ N' bien choisi. 4. Pour n ≥ max(N + 1, N'), |a_n − l| ≤ 2ε. 5. Réciproque fausse : pour u_n = (−1)ⁿ, a_n vaut 0 ou −1/n, donc a_n → 0, alors que (u_n) diverge.

piège : Majorer tous les |u_k − l| par ε, y compris pour k < N.

Exercice 3. Trois suites extraites

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

On suppose que (u_2n), (u_2n+1) et (u_3n) convergent. Montrer que (u_n) converge.

Technique trouver une suite extraite commune à deux suites extraites.

Voir le corrigé

Notons a, b, c les trois limites. 2. (u_6n) est extraite de (u_2n) et de (u_3n), donc a = c. 3. (u_6n+3) est extraite de (u_2n+1), car 6n + 3 = 2(3n + 1) + 1, et de (u_3n), car 6n + 3 = 3(2n + 1). Donc b = c. 4. Ainsi a = b, et le critère pairs-impairs conclut. 5. L'exemple 7 montre que (u_2n) et (u_3n) seules ne suffisent pas.

piège : Affirmer l'égalité des limites sans exhiber de suite extraite commune.

Exercice 4. Racines complexes

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit u₀ = 1, u₁ = 2 et u_n+2 = u_n+1 − u_n. Exprimer u_n et étudier la convergence.

Technique forme réelle ρⁿ(A cos nθ + B sin nθ).

Voir le corrigé

r² − r + 1 = 0 a pour racines e^iπ/3 et e^−iπ/3, de module 1. 2. Donc u_n = A cos(nπ/3) + B sin(nπ/3). 3. u₀ = 1 donne A = 1, et u₁ = 2 donne 1/2 + B√3/2 = 2, soit B = √3. 4. On obtient u_n = 2 cos((n − 1)π/3). Contrôle : u₂ = 1 = 2 cos(π/3). 5. u_6n = 1 et u_6n+1 = 2, donc la suite diverge.

piège : Garder A r₁ⁿ + B r₂ⁿ avec A et B réels. Il faut des constantes conjuguées pour une suite réelle.

Exercice 5. Discussion selon u₀

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit f(x) = (x² + 3)/4, u₀ ≥ 0 et u_n+1 = f(u_n). Étudier (u_n) selon u₀.

Technique points fixes, signe de f(x) − x, intervalles stables délimités par les points fixes.

Voir le corrigé

f(x) − x = (x − 1)(x − 3)/4. Points fixes 1 et 3, et f est continue et croissante sur R+. 2. Comme f(0) = 3/4, f(1) = 1 et f(3) = 3, les intervalles [0, 1], [1, 3] et [3, +∞[ sont stables. 3. Si u₀ ∈ [0, 1], f(x) ≥ x, la suite croît, majorée par 1. Sa limite est un point fixe au plus égal à 1, donc 1. 4. Si u₀ ∈ ]1, 3[, f(x) ≤ x, la suite décroît, minorée par 1. Sa limite est un point fixe entre 1 et u₀ < 3, donc 1. 5. Si u₀ = 3, la suite est constante. 6. Si u₀ > 3, la suite croît. Une limite finie serait un point fixe au moins égal à u₀ > 3, impossible. Elle tend vers +∞.

piège : Ne pas utiliser la monotonie pour éliminer un des points fixes.

Exercice 6. Vitesse de convergence

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit u₀ = 1 et u_n+1 = 1/(1 + u_n). Montrer que u_n tend vers l = (√5 − 1)/2 et majorer |u_n − l|.

Technique estimation géométrique de l'écart au point fixe.

Voir le corrigé

Par récurrence, u_n > 0. 2. l² + l − 1 = 0, donc 1/(1 + l) = l. 3. u_n+1 − l = (l − u_n)/((1 + u_n)(1 + l)). 4. Comme u_n > 0, le dénominateur dépasse 1 + l = 1/l, donc |u_n+1 − l| ≤ l |u_n − l|. 5. Par récurrence, |u_n − l| ≤ (1 − l) lⁿ, qui tend vers 0 car 0 < l < 1.

piège : Chercher la monotonie. f est décroissante et la suite oscille autour de l.

Exercice 7. Constante d'Euler

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Pour n ≥ 1, H_n = Σ_k=1ⁿ 1/k, u_n = H_n − ln n et v_n = H_n − ln(n + 1). Avec ln(1 + x) ≤ x pour x > −1, montrer que (u_n) et (v_n) sont adjacentes, puis trouver la limite de (H_n).

Technique adjacence, puis minoration.

Voir le corrigé

u_n+1 − u_n = 1/(n + 1) + ln(n/(n + 1)). Avec x = −1/(n + 1), ln(n/(n + 1)) ≤ −1/(n + 1), donc u décroît. 2. v_n+1 − v_n = 1/(n + 1) − ln(1 + 1/(n + 1)) ≥ 0, avec x = 1/(n + 1). 3. u_n − v_n = ln(1 + 1/n) est entre 0 et 1/n, donc tend vers 0. 4. Limite commune γ, avec v₁ = 1 − ln 2 ≤ γ ≤ u₁ = 1. 5. Comme u_n ≥ γ, H_n ≥ γ + ln n, et (H_n) tend vers +∞ par minoration.

piège : Choisir x = 1/n à l'étape 1, ce qui majore dans le mauvais sens.

Exercice 8. Suite implicite

Approfondissement · Niveau écrit Mines

Pour n ≥ 1, soit f_n(x) = xⁿ + x − 1. En admettant le théorème des valeurs intermédiaires, vu au chapitre suivant, montrer que f_n s'annule en un unique x_n de [0, 1], puis trouver la limite de (x_n).

Technique comparer x_n et x_n+1 en évaluant f_n+1 en x_n.

Voir le corrigé

f_n est strictement croissante sur [0, 1], avec f_n(0) = −1 et f_n(1) = 1, d'où un unique zéro x_n, dans ]0, 1[. 2. f_n+1(x_n) = x_nⁿ⁺¹ − x_nⁿ = x_nⁿ(x_n − 1) < 0 = f_n+1(x_n+1), donc x_n < x_n+1. 3. (x_n) croît, majorée par 1, et converge vers l ∈ ]0, 1]. 4. Si l < 1, alors 0 < x_nⁿ ≤ lⁿ → 0, donc x_n = 1 − x_nⁿ → 1, absurde. Donc l = 1.

piège : Écrire que x_nⁿ tend vers lⁿ. L'exposant varie avec n.

Exercice 9. Moyenne arithmético-géométrique

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Soit 0 < a ≤ b, u₀ = a, v₀ = b, u_n+1 = √(u_n v_n) et v_n+1 = (u_n + v_n)/2. Montrer que les suites sont adjacentes et que 0 ≤ v_n − u_n ≤ (b − a)/2ⁿ.

Technique l'identité (√v − √u)² ≥ 0, puis une majoration géométrique.

Voir le corrigé

Par récurrence, u_n > 0 et v_n > 0. 2. v_n+1 − u_n+1 = (√v_n − √u_n)²/2 ≥ 0, et u₀ ≤ v₀, donc u_n ≤ v_n pour tout n. 3. D'où u_n+1 ≥ √(u_n²) = u_n et v_n+1 ≤ v_n. 4. Comme u croît, v_n+1 − u_n+1 ≤ v_n+1 − u_n = (v_n − u_n)/2. Par récurrence, v_n − u_n ≤ (b − a)/2ⁿ → 0. 5. Les suites sont adjacentes, de limite commune encadrée par u_n et v_n.

piège : Écrire √(u_n v_n) ≥ u_n avant d'avoir prouvé v_n ≥ u_n.

Exercice 10. Suites sous-additives

Approfondissement · D'après un oral X-ENS

Soit (u_n)_n≥1 positive avec u_m+n ≤ u_m + u_n pour tous m, n ≥ 1. Montrer que u_n/n tend vers L = inf {u_n/n, n ≥ 1}.

Technique borne inférieure caractérisée par ε, puis division euclidienne.

Voir le corrigé

L'ensemble est non vide et minoré par 0, donc L existe et u_n/n ≥ L. 2. Soit ε > 0 et p ≥ 1 avec u_p/p ≤ L + ε. 3. Par récurrence sur q ≥ 1, u_qp ≤ q u_p. 4. Pour n ≥ p, on écrit n = qp + r avec q ≥ 1 et 0 ≤ r < p. Alors u_n ≤ q u_p + M, où M est le maximum de u₁, …, u_p−1, et M = 0 si p = 1. 5. Comme qp ≤ n et u_p ≥ 0, u_n/n ≤ u_p/p + M/n ≤ L + ε + M/n. 6. Pour n ≥ p avec M/n ≤ ε, L ≤ u_n/n ≤ L + 2ε.

piège : Faire dépendre p de n. L'entier p est fixé par ε avant de faire tendre n vers l'infini.

Erreurs fréquentes

Faire dépendre le rang N de n, ou écrire lim u_n avant d'avoir établi que la limite existe.
Passer à la limite dans une inégalité stricte. De u_n < M, on déduit seulement l ≤ M.
Chercher la limite parmi les points fixes sans avoir démontré la convergence, comme pour u_n+1 = 2u_n.
Croire que f croissante rend la suite croissante. Elle est monotone, et son sens se lit en comparant u₁ et u₀. Si f est décroissante, la suite n'est en général pas monotone.
Utiliser l'ordre dans C, invoquer Bolzano-Weierstrass, hors programme, ou conclure à la convergence parce que u_n+1 − u_n tend vers 0.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), section « Nombres réels et suites numériques » du premier semestre. Elle couvre la propriété de la borne supérieure, les généralités sur les suites, les limites, les suites monotones et adjacentes, les suites extraites, les suites complexes et les suites particulières.

Nombres réels et suites numériques

Résumé en cinq points

1Propriété de la borne supérieure

1.1Définitions

1.2La propriété admise

1.3Caractérisation des intervalles

2Généralités sur les suites réelles

3Limite d'une suite

3.1Définitions

3.2Premiers résultats

3.3Opérations sur les limites

3.4Limites et inégalités

4Suites monotones

4.1Théorème de la limite monotone

4.2Suites adjacentes

4.3Approximations décimales

5Suites extraites

6Suites complexes

7Suites particulières

7.1Arithmétiques et géométriques

7.2Arithmético-géométriques

7.3Récurrences linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

7.4Suites définies par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Bornes d'un ensemble

Exercice 2. Moyennes de Cesàro

Exercice 3. Trois suites extraites

Exercice 4. Racines complexes

Exercice 5. Discussion selon u₀

Exercice 6. Vitesse de convergence

Exercice 7. Constante d'Euler

Exercice 8. Suite implicite

Exercice 9. Moyenne arithmético-géométrique

Exercice 10. Suites sous-additives

Erreurs fréquentes

Au concours

7.4Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$