Approche ondulatoire de la mécanique quantique

Exercice 1. Normaliser une fonction d'onde ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

À un instant donné, $$\psi(x) = A \exp\left(-\frac{|x|}{a}\right),$$ avec $a > 0$.

Déterminer $|A|$, la probabilité que $|x| < a$, la position moyenne et l'écart type $\Delta x$.

Exercice 2. Séparation des variables et réalité de l'énergie ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

$V$ est indépendant du temps.

Montrer qu'une solution $\psi = \varphi(x) f(t)$ a un facteur temporel exponentiel.

Montrer que la constante de séparation est réelle et que la densité est stationnaire.

Exercice 3. Particule libre et vitesses ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Établir les états stationnaires bornés d'une particule libre.

Donner la relation de dispersion.

Comparer la vitesse de phase, la vitesse de groupe et le rapport $J/|\psi|^2$.

Exercice 4. Fentes d'Young avec des électrons ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Des électrons accélérés sous $100~\mathrm{V}$ traversent deux fentes distantes de $$a = 1~\mathrm{\mu m}.$$ On observe sur un écran à $$D = 1~\mathrm{m}.$$ Justifier la présence de franges et calculer l'interfrange.

Exercice 5. Heisenberg et légitimité de l'onde plane ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Estimer l'énergie cinétique d'un électron confiné sur $0{,}05~\mathrm{nm}$ et la comparer à $13{,}6~\mathrm{eV}$.

Un faisceau d'électrons de $100~\mathrm{eV}$ est localisé sur $1~\mathrm{\mu m}$ : est-il légitime de le modéliser par une onde plane ?

Exercice 6. Battement de deux ondes planes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

On pose $$\begin{aligned} \psi &= A \exp(i(k_1 x - \omega_1 t)) \\ &\quad + A \exp(i(k_2 x - \omega_2 t)), \end{aligned}$$ avec $0 < k_1 < k_2$.

Calculer $|\psi|^2$, puis interpréter.

Exercice 7. Ondes incidente et réfléchie ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit CCINP MP

On pose $$\begin{aligned} \psi &= A \exp(i(kx - \omega t)) \\ &\quad + B \exp(-i(kx + \omega t)), \end{aligned}$$ avec $k > 0$.

On admet $$J = \frac{\hbar k}{m} \left(|A|^2 - |B|^2\right).$$ Calculer $|\psi|^2$ et interpréter le cas $|B| = |A|$.

Exercice 8. Conservation locale de la probabilité ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit CCINP MP

On donne $J = \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im}\left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}\right)$. Retrouver le courant d'une onde plane. Montrer, pour $V$ réel, que $\frac{\partial |\psi|^2}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x} = 0$. En déduire que la norme se conserve.

Exercice 9. Forme polaire et vitesse locale ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Mines

On écrit $\psi = \sqrt{\rho}\, \exp(iS/\hbar)$, avec $\rho$ et $S$ réels. On donne $J = \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im}\left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}\right)$. Montrer que $J = \rho v$, avec $v = \frac{1}{m} \frac{\partial S}{\partial x}$. Appliquer à une onde plane, à un état stationnaire de $\varphi$ réelle, puis à $\psi \exp(iqx)$.

Exercice HP. Centre d’un paquet dans un piège harmonique déplacé ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en PC

Une particule de masse $m>0$ évolue sur $\R$ selon l’équation de Schrödinger avec $$V(x)=\frac12m\omega^2(x-d)^2,$$ où $\omega>0$ et $d\in\R$ sont constants. On suppose que sa fonction d’onde satisfait les hypothèses de régularité, de domination et de décroissance du cours sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$. À $t=0$, $$\psi(x,0)=A\exp\left(-\frac{(x-a)^2}{4\sigma^2}\right)\exp\left(\frac{ip_0x}{\hbar}\right),$$ où $a,d$ sont des longueurs réelles, $\sigma>0$ une longueur, $p_0\in\R$ une quantité de mouvement et $A>0$ une constante.

1. Déterminer $A$ pour normaliser la fonction d’onde, puis calculer $X(0)=\langle x\rangle(0)$ et $P(0)=\langle p\rangle(0)$.
2. À l’aide des identités d’Ehrenfest établies dans le cours, déterminer $X(t)$ et $P(t)$ pour $t\in I$.
3. Montrer que la quantité $\mathcal E_c(t)=P(t)^2/(2m)+m\omega^2(X(t)-d)^2/2$ est constante et calculer sa valeur. Cette quantité est-elle nécessairement égale à l’énergie moyenne de la particule ? Justifier en calculant les deux quantités à $t=0$.
4. Dans le cas $a=d$ et $p_0=0$, déterminer les deux moyennes et expliquer pourquoi cela ne signifie pas que la particule est immobile avec une position certaine.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice HP. Paquet gaussien avec phase quadratique ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en PC

Une particule sans spin se déplace sur $\R$. On fixe $\hbar>0$, une longueur $\sigma>0$, une position $a\in\R$, une impulsion $p_0\in\R$ et un nombre sans dimension $b\in\R$. On considère $$\psi(x)=C\exp\left[-\frac{(x-a)^2}{4\sigma^2}+\frac{ip_0(x-a)}{\hbar}+\frac{ib(x-a)^2}{4\sigma^2}\right],$$ où $C>0$ est choisi pour normaliser l’état. Les opérateurs sont $X\psi=x\psi$ et $P\psi=-i\hbar\psi'$. On utilise le produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{\R}\overline f g\,\dd x$ et les définitions des moyennes et écarts-types de la fiche.

1. Justifier que $\psi\in\mathcal S(\R)$ et déterminer $C$, $\langle X\rangle$ et $\Delta X$.
2. Calculer $P\psi$, puis $\langle P\rangle$ et $\Delta P$. Pour quelles valeurs de $b$ l’inégalité de Heisenberg est-elle une égalité ?
3. On place la particule, de masse $m>0$, dans le potentiel $V(x)=m\omega^2x^2/2$, avec $\omega>0$. Calculer $\langle H\rangle$ pour $H=P^2/(2m)+m\omega^2X^2/2$. Montrer que, dans cette famille d’états, cette moyenne est au moins $\hbar\omega/2$ et déterminer tous les paramètres qui donnent l’égalité. Vérifier directement que l’état obtenu est un état propre d’énergie et écrire son évolution stationnaire.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice HP. Étendue spatiale et détermination du couplage ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en PC

Une particule de masse $m>0$ sur $\R$ est décrite par le modèle de contact suivant : $\psi$ est continue, de classe $C^2$ de part et d’autre de $0$, avec des dérivées unilatérales finies ; pour $x\ne 0$, $-\hbar^2\psi''/(2m)=E\psi$, et $\psi'(0^+)-\psi'(0^-)=-2mg\psi(0)/\hbar^2$, où $g>0$ et $\hbar>0$. On considère une fonction stationnaire $\psi(x)=C\mathrm e^{-|x|/\ell}$, avec $C>0$ et $\ell>0$.

1. Déterminer $\ell$, $E$ et $C$ pour que cette fonction décrive un état lié normalisé.
2. Calculer $\langle X\rangle$, $\langle |X|\rangle$ et $\langle X^2\rangle$, puis l’écart type $\Delta X=\sqrt{\langle X^2\rangle-\langle X\rangle^2}$. Justifier la convergence des intégrales utilisées.
3. On connaît une longueur $a>0$ et l’on veut que la probabilité de présence dans $[-a,a]$ soit exactement $3/4$. Déterminer le couplage $g$, l’énergie $E$ et l’écart type $\Delta X$ correspondants.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.