Le cours

Résumé en cinq points

L'intensité résultante vaut $I_1 + I_2 + 2K\langle s_1 s_2\rangle$ . Tout le chapitre consiste à évaluer ce dernier terme.
Deux ondes de fréquences différentes, ou issues de sources indépendantes, donnent un terme d'interférences de moyenne nulle, donc $I = I_1 + I_2$ .
Pour deux ondes cohérentes, $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda_0)$ , et dans le cas équilibré $I = 4I_0\cos^2(\pi\delta/\lambda_0)$ .
Le contraste vaut $\dfrac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$ . Il est maximal pour des intensités égales.
Pour $N$ ondes de phases en progression arithmétique, les maxima valent $N^2 I_0$ , leur largeur en ordre d'interférences est en $1/N$ , et leur position est donnée par $a(\sin\theta - \sin i) = m\lambda_0$ .

Pourquoi ce chapitre

C'est le chapitre charnière de l'optique de PC. Il répond à une question : que mesure un détecteur quand deux ondes arrivent au même endroit ? La réponse dépend de la nature des sources.

Si les sources sont indépendantes, les intensités s'ajoutent et il ne se passe rien de spectaculaire : deux lampes de bureau n'interfèrent pas.
Si les deux ondes proviennent de la même source, un terme supplémentaire apparaît, et il porte toute l'information sur la différence de chemin optique.

La formule de Fresnel, écrite ici une fois pour toutes, sert ensuite pour les trous d'Young, pour le Michelson et pour tout dispositif à deux ondes. La fin du chapitre généralise à N ondes et débouche sur le réseau, outil de spectroscopie omniprésent en travaux pratiques.

1Superposition de deux ondes

1.1Le principe de superposition et le terme d'interférences

Les équations de propagation sont linéaires, donc la vibration résultante est la somme des vibrations : $s = s_1 + s_2$ . L'intensité, elle, n'est pas additive, puisqu'elle fait intervenir un carré.

Propriété 1.1Intensité de deux ondes superposées

$\begin{aligned} I &= K\langle (s_1+s_2)^2\rangle \\ &= K\langle s_1^2\rangle + K\langle s_2^2\rangle \\ &\quad + 2K\langle s_1 s_2\rangle \\ &= I_1 + I_2 + 2K\langle s_1 s_2\rangle. \end{aligned}$

Définition 1.2Terme d'interférences

Le terme d'interférences est le dernier terme, $2K\langle s_1 s_2\rangle$ . Toute la question est de savoir s'il est nul ou non.

1.2Ondes non synchrones ou incohérentes : additivité des intensités

Propriété 1.3Ondes non synchrones

Hypothèses

$s_1 = a_1\cos(\omega_1 t + \psi_1)$ et $s_2 = a_2\cos(\omega_2 t + \psi_2)$ ;
$\omega_1 \neq \omega_2$ .

Alors le produit $s_1 s_2$ se linéarise en une somme de deux cosinus, l'un à la pulsation $\omega_1 - \omega_2$ , l'autre à $\omega_1 + \omega_2$ . En optique, ces pulsations restent immensément grandes devant l'inverse du temps de réponse des détecteurs, sauf à considérer deux fréquences extraordinairement proches. La moyenne temporelle est nulle et $I = I_1 + I_2$ .

Propriété 1.4Ondes incohérentes

Hypothèses

les deux ondes ont la même pulsation ;
elles proviennent de deux sources indépendantes, ou de deux atomes différents de la même source.

Alors le déphasage est la différence de deux phases aléatoires. Il change à chaque nouveau train d'ondes, soit toutes les $\tau_c$ , de l'ordre de $10^{-10} \unite{s}$ ou moins. Pendant le temps de réponse du détecteur, il prend un très grand nombre de valeurs réparties uniformément, la moyenne du cosinus est nulle et $I = I_1 + I_2$ .

Conséquence concrète : deux lampes, deux lasers distincts, ou deux points distincts d'une source étendue ne donnent jamais d'interférences observables.

À retenir

Pour faire interférer de la lumière, il faut diviser en deux l'onde issue d'un même point source, puis la recombiner. C'est ce que font tous les interféromètres du programme.

1.3Ondes cohérentes et formule de Fresnel

Définition 1.5Ondes cohérentes

Deux ondes sont cohérentes entre elles quand elles ont même pulsation et que leur déphasage au point d'observation reste constant pendant la durée de la mesure.

En pratique, cela impose trois conditions :

même source ponctuelle à l'origine des deux ondes, obtenues par division du front d'onde ou par division d'amplitude ;
même pulsation, donc pas de dispositif modifiant la fréquence ;
différence de chemin optique petite devant la longueur de cohérence, sans quoi les deux ondes qui se rencontrent proviennent de trains d'ondes différents et le déphasage redevient aléatoire.

À cela s'ajoute, dans le cadre du modèle scalaire, l'hypothèse de polarisations non orthogonales.

Théorème 1.6Formule de Fresnel

Hypothèses

$s_1 = a_1\cos(\omega t - \varphi_1)$ et $s_2 = a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ ;
$\varphi_1$ et $\varphi_2$ indépendants du temps ;
$I_1 = K a_1^2/2$ , $I_2 = K a_2^2/2$ et $\Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$ .

Alors $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\Delta\varphi.$

Démonstration

On a $\begin{aligned} s_1 s_2 = \frac{a_1 a_2}{2}\Big[&\cos(2\omega t - \varphi_1 - \varphi_2)\\ &+ \cos(\varphi_1 - \varphi_2)\Big]. \end{aligned}$ Le premier terme oscille à $2\omega$ et sa moyenne est nulle. Le second est constant. D'où la formule de Fresnel.

Définition 1.7Différence de marche

La différence de marche $\delta$ est la différence des chemins optiques parcourus par les deux ondes depuis la source jusqu'au point d'observation. Elle se relie au déphasage par $\Delta\varphi = \frac{2\pi\delta}{\lambda_0}.$

Propriété 1.8Interférences constructives et destructives

Constructives : $\Delta\varphi = 2m\pi$ , soit $\delta = m\lambda_0$ avec $m$ entier. L'intensité vaut $(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2$ .
Destructives : $\Delta\varphi = (2m+1)\pi$ , soit $\delta = (m + 1/2)\lambda_0$ . L'intensité vaut $(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2$ .

Exemple 1.9Deux ondes de même intensité

Cas à connaître par cœur, deux ondes de même intensité $I_0$ : $\begin{aligned} I &= 2I_0(1+\cos\Delta\varphi) \\ &= 4I_0\cos^2\frac{\Delta\varphi}{2}. \end{aligned}$ L'intensité varie de 0 à $4I_0$ . La moyenne spatiale vaut $2I_0$ , conforme à la conservation de l'énergie : les interférences redistribuent la lumière, elles n'en créent ni n'en détruisent.

1.4Contraste

Définition 1.10Contraste

Le contraste, ou visibilité, est défini par $C = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}.$

Propriété 1.11Contraste de deux ondes cohérentes

Avec la formule de Fresnel, $I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}$ et $I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2}$ , donc $C = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}.$ $C$ est compris entre 0 et 1. Il vaut 1 si et seulement si $I_1 = I_2$ . Il tend vers 0 quand une onde est beaucoup plus intense que l'autre.

Exemple 1.12Ordres de grandeur

Pour $I_1/I_2 = 4$ , $C = 2\times 2/5 = 0{,}8$ : le contraste est peu sensible à un déséquilibre modéré.
Pour $I_1/I_2 = 100$ , $C$ tombe à $0{,}2$ .

À retenir

Un bon contraste demande des ondes d'intensités voisines. C'est pourquoi on équilibre les deux bras d'un interféromètre, et pourquoi une séparatrice doit être aussi proche que possible de la semi-réflexion.

AttentionDeux causes de chute de contraste

Un second mécanisme fait chuter le contraste, sans déséquilibre d'intensités : le brouillage, quand le déphasage n'est plus le même pour tous les points de la source ou pour toutes les longueurs d'onde. Il est étudié dans les chapitres suivants.

2Superposition de N ondes cohérentes

2.1Situation

On superpose $N$ ondes cohérentes entre elles, de même amplitude $a$ , dont les phases sont en progression arithmétique de raison $\varphi$ . La $n$ -ième onde s'écrit $a\cos(\omega t - n\varphi)$ , pour $n$ allant de 0 à $N-1$ . Cette situation est celle d'un réseau de $N$ fentes identiques régulièrement espacées, éclairées par une onde plane.

2.2Calcul de l'intensité

On passe en notation complexe. L'amplitude complexe résultante vaut $A = a\big(1 + \e^{-\ii\varphi} + \dots + \e^{-\ii(N-1)\varphi}\big),$ somme géométrique de raison $\e^{-\ii\varphi}$ .

Propriété 2.1Intensité de N ondes

Hypothèses

$\varphi$ non multiple de $2\pi$ ;
$I_0$ intensité d'une onde seule.

Alors $A = a\,\frac{1 - \e^{-\ii N\varphi}}{1 - \e^{-\ii\varphi}}.$ En factorisant les demi-angles, $|A| = a\,\dfrac{|\sin(N\varphi/2)|}{|\sin(\varphi/2)|}$ , d'où $I = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)}.$

Cette expression s'appelle fonction d'Airy des réseaux ou fonction réseau.

2.3Lecture du résultat

Propriété 2.2Maxima principaux

Hypothèse : $\varphi = 2m\pi$ avec $m$ entier.

Alors toutes les ondes sont en phase, le calcul direct donne $A = Na$ , donc $I_{\max} = N^2 I_0.$

L'intensité des franges brillantes croît comme $N^2$ , alors que la puissance totale disponible ne croît que comme $N$ . La lumière est concentrée dans des pics de plus en plus étroits.

Propriété 2.3Finesse des pics

L'intensité s'annule dès que $\sin(N\varphi/2) = 0$ sans que $\sin(\varphi/2)$ s'annule, soit pour $\varphi = 2m\pi \pm 2\pi/N$ , $\pm 4\pi/N$ , et ainsi de suite. Le premier zéro de part et d'autre d'un maximum principal se trouve à un écart $\Delta\varphi = 2\pi/N$ .

Exprimé en ordre d'interférences $p = \varphi/2\pi$ , le pic s'étend entre $p = m - 1/N$ et $p = m + 1/N$ , soit un intervalle total $2/N$ .

La largeur des franges brillantes est inversement proportionnelle à $N$ .

Entre deux maxima principaux, la fonction présente $N-2$ maxima secondaires, d'intensité très faible devant $N^2 I_0$ dès que $N$ est grand. On les néglige.

RemarqueInterprétation physique

Avec deux ondes seulement, il faut un déphasage de $\pi$ pour annuler l'intensité. Avec $N$ ondes, il suffit d'un déphasage élémentaire de $2\pi/N$ pour que les $N$ vecteurs de Fresnel se répartissent régulièrement sur un cercle complet et se compensent exactement. Plus $N$ est grand, plus l'extinction survient tôt.

RemarqueAllure du graphe

Tracer l'intensité en fonction de $\varphi$ : une succession de pics très étroits et très hauts, régulièrement espacés de $2\pi$ , séparés par de longues zones quasi noires. Quand $N$ augmente, les pics montent en $N^2$ et se resserrent en $1/N$ .

2.4Réseau de fentes rectilignes parallèles

Définition 2.4Réseau

Un réseau est constitué de $N$ fentes identiques, parallèles, équidistantes, de pas $a$ , appelé aussi pas du réseau. On note souvent $n$ le nombre de traits par unité de longueur, avec $a = 1/n$ . Valeurs courantes : 100 à 1200 traits par millimètre, soit un pas de $10 \unite{\mu m}$ à $0{,}8 \unite{\mu m}$ .

On l'éclaire par une onde plane monochromatique sous l'incidence $i$ , et on observe à l'infini dans la direction $\theta$ . Les angles sont orientés dans le même sens à partir de la normale au réseau.

Deux fentes voisines émettent deux ondes dont la différence de marche s'obtient géométriquement en projetant le vecteur qui joint les deux fentes sur les directions incidente et émergente : $\delta = a(\sin\theta - \sin i).$

Théorème 2.5Formule des réseaux

Hypothèses

réseau de pas $a$ éclairé par une onde plane monochromatique d'incidence $i$ ;
observation à l'infini dans la direction $\theta$ ;
déphasage élémentaire $\varphi = 2\pi\delta/\lambda_0$ .

Alors les maxima principaux, correspondant à $\varphi = 2m\pi$ , vérifient $a(\sin\theta - \sin i) = m\lambda_0, \quad m \in \Z.$

L'entier $m$ est l'ordre du spectre.

L'ordre 0, $\theta = i$ , correspond à la lumière transmise sans déviation et ne disperse pas.
Pour $m$ non nul, la direction dépend de $\lambda_0$ : le réseau disperse la lumière, les grandes longueurs d'onde étant plus déviées.
Comme $|\sin\theta| \leqslant 1$ , seuls quelques ordres sont observables, d'autant moins nombreux que le pas est petit.

Exemple 2.6Nombre d'ordres observables

Pour $n = 600$ traits par millimètre, $a = 1{,}67 \unite{\mu m}$ . En incidence normale et pour $\lambda_0 = 600 \unite{nm}$ , $\sin\theta = 0{,}36\,m$ , ce qui n'autorise que les ordres $0$ , $\pm 1$ et $\pm 2$ .

La formule des réseaux donne la position des maxima, indépendamment de $N$ . C'est la finesse en $1/N$ qui fait la qualité d'un spectroscope : deux longueurs d'onde voisines donnent des pics distincts d'autant plus facilement que ces pics sont étroits. Un réseau de plusieurs milliers de traits éclairés sépare des raies que deux fentes ne distingueraient pas.

Méthodes

MéthodeSavoir si les ondes interfèrent

Se demander, avant tout calcul, si les deux ondes sont cohérentes.
Si les sources sont indépendantes ou les fréquences différentes, les intensités s'ajoutent : il n'y a rien d'autre à dire.

MéthodeProblème à deux ondes

Calculer la différence de marche $\delta$ .
En déduire $\Delta\varphi = 2\pi\delta/\lambda_0$ .
Appliquer la formule de Fresnel.

MéthodeCalculer un contraste

Identifier $I_{\max}$ et $I_{\min}$ avant d'appliquer la définition.
Ne pas confondre chute de contraste par déséquilibre d'amplitude et chute par brouillage.

MéthodePosition des maxima de N ondes

Ne pas refaire le calcul complet si seule la position des maxima est demandée.
Écrire directement que toutes les ondes sont en phase quand le déphasage élémentaire est un multiple de $2\pi$ .

MéthodeFormule des réseaux

Poser le signe de l'incidence dès le schéma.
Appliquer $a(\sin\theta - \sin i) = m\lambda_0$ : une erreur de signe change le sens de la dispersion.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Justifier l'additivité des intensités pour deux ondes non synchrones, puis pour deux ondes incohérentes.
Établir la formule de Fresnel à partir des expressions réelles des deux vibrations.
Donner les conditions d'interférences constructives et destructives en différence de marche.
Établir l'expression du contraste en fonction de $I_1$ et $I_2$ et discuter sa valeur.
Calculer la somme géométrique des $N$ amplitudes complexes et en déduire l'intensité.
Montrer que l'intensité des maxima vaut $N^2 I_0$ et que la largeur des franges varie en $1/N$ .
Établir la formule des réseaux à partir de la différence de marche entre deux fentes voisines.
Discuter le nombre d'ordres observables pour un pas et une longueur d'onde donnés.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Superposition. La vibration résultante est la somme des vibrations, l'intensité ne l'est pas, I = I₁ + I₂ + 2K⟨s₁s₂⟩. Exigible.
Additivité des intensités pour deux ondes non synchrones, pulsations différentes, ou incohérentes, sources indépendantes. Exigible avec justification.
Cohérence de deux ondes. Même source ponctuelle, même pulsation, différence de marche petite devant L_c, polarisations non orthogonales. Critères exigibles.
Formule de Fresnel. I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos Δφ avec Δφ = 2πδ/λ₀. Exigible avec démonstration.
Interférences constructives pour δ = mλ₀, destructives pour δ = (m + ½)λ₀, m entier. Exigible.
Cas équilibré. I = 2I₀(1 + cos Δφ) = 4I₀ cos²(Δφ/2). Exigible.
Contraste. C = (I_max − I_min)/(I_max + I_min) = 2√(I₁I₂)/(I₁ + I₂), compris entre 0 et 1, égal à 1 si et seulement si I₁ = I₂. Exigible avec démonstration.
N ondes de même amplitude en progression arithmétique de phase φ. I = I₀ sin²(Nφ/2)/sin²(φ/2). Exigible avec démonstration pour N grand.
Maxima principaux pour φ = 2mπ, d'intensité N²I₀. Exigible avec démonstration.
Largeur des franges brillantes. Premier zéro à φ = 2mπ ± 2π/N, soit un pic s'étendant sur 2/N en ordre d'interférences, le programme parle de demi-largeur 2/N. Résultat en 1/N exigible avec démonstration.
Formule des réseaux. a(sin θ − sin i) = mλ₀ pour les maxima, angles orientés dans le même sens depuis la normale. Exigible avec démonstration.
Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : intensité diffractée par une fente, enveloppe de diffraction d'un réseau, pouvoir de résolution R = mN, qui se retrouve à partir de la largeur 1/N. Les maxima secondaires sont négligés.

Clés de démonstration

Additivité pour ondes non synchrones. Le produit de deux cosinus de pulsations ω₁ et ω₂ se linéarise en cosinus à ω₁ − ω₂ et ω₁ + ω₂. Ces pulsations sont immenses devant l'inverse du temps de réponse, la moyenne est nulle. L'astuce est la linéarisation, puis la comparaison des échelles de temps.

Additivité pour ondes incohérentes. Même pulsation, mais le déphasage saute aléatoirement à chaque train d'ondes, donc des milliers de fois pendant la mesure. La moyenne du cosinus d'une phase uniformément répartie est nulle. L'astuce est de moyenner sur la phase, pas sur le temps.

Formule de Fresnel. Linéariser s₁s₂ en cos(2ωt − φ₁ − φ₂) + cos(φ₁ − φ₂). Le premier terme est moyenné à zéro, le second est constant. Identifier I₁ = Ka₁²/2 et I₂ = Ka₂²/2 pour faire apparaître 2√(I₁I₂). L'astuce est le produit-somme puis le tri des termes selon leur dépendance en temps.

Contraste. Écrire I_max et I_min pour cos Δφ = ± 1, puis la définition. L'astuce est d'écrire (I₁ + I₂) − 2√(I₁I₂) = (√I₁ − √I₂)², qui montre que C < 1 dès que I₁ ≠ I₂.

Somme de N ondes. Passer en complexes, somme géométrique de raison e^−iφ, factoriser e^−iNφ/2 au numérateur et e^−iφ/2 au dénominateur pour faire apparaître des sinus. L'astuce est la factorisation par l'angle moitié.

Maxima et zéros. À φ = 2mπ, revenir à la somme directe, N termes égaux, amplitude Na. Les zéros sont ceux du numérateur qui ne sont pas ceux du dénominateur, Nφ/2 = kπ avec k non multiple de N. L'astuce est de ne jamais passer à la limite dans la fraction, mais de revenir à la somme.

Formule des réseaux. Deux fentes voisines séparées du vecteur a. Différence de marche égale à la projection de a sur la direction émergente moins sa projection sur la direction incidente, a sin θ − a sin i. Maxima quand cette différence vaut mλ₀. L'astuce est la double projection, en amont et en aval.

Exemples et contre-exemples à connaître

Deux lampes de bureau. Sources indépendantes, intensités additives, aucune frange. Exemple de référence de l'incohérence.
Deux lasers hélium-néon distincts. Même longueur d'onde nominale, mais toujours incohérents entre eux à l'échelle d'une mesure. Contre-exemple à « même λ donc interférences ».
Deux fréquences très proches sur une photodiode rapide. Battement observable à la fréquence différence. Contre-exemple à l'additivité, valable seulement quand la période de battement est courte devant le temps de réponse.
Un laser divisé par une lame semi-réfléchissante puis recombiné. Deux ondes cohérentes, franges de contraste 1 si la lame est équilibrée. Exemple type de cohérence par division d'amplitude.
Rapport d'intensités 4 entre les deux ondes. Contraste 0,8, franges encore très visibles. Le contraste tolère un déséquilibre modéré.
Rapport d'intensités 100. Contraste 0,2, franges à peine visibles. Cas d'une réflexion vitreuse à 4 % comparée à une transmission.
Polarisations orthogonales. Aucun terme d'interférences, même avec une source unique. Limite du modèle scalaire.
N = 2 dans la fonction réseau. sin²φ/sin²(φ/2) = 4 cos²(φ/2), on retrouve Fresnel équilibré. Vérification à faire systématiquement.
Réseau de 600 traits par millimètre en incidence normale à 600 nm. Seuls les ordres 0, ± 1, ± 2 existent. L'ordre 0 ne disperse pas.

Techniques du chapitre

Tester la cohérence avant tout calcul. Sources distinctes ou fréquences différentes, additivité et fin de l'exercice. Mini-exercice : deux diodes laser de même modèle éclairent un écran, I = I₁ + I₂ partout, uniforme.

Chaîne δ, Δφ, Fresnel. Mini-exercice : δ = 1,5 µm, λ₀ = 600 nm, Δφ = 2π × 2,5 = 5π, cos Δφ = − 1, interférences destructives, I = (√I₁ − √I₂)².

Contraste par lecture des extrêmes. Identifier I_max et I_min, puis la définition. Mini-exercice : relevé oscillant entre 9 et 1 unités, C = 8/10 = 0,8, ce qui correspond à I₁/I₂ = 4.

Vecteurs de Fresnel. Représenter chaque onde par un vecteur d'angle égal à sa phase. Mini-exercice : trois vecteurs de même longueur déphasés de 2π/3, ils forment un triangle fermé, résultante nulle, intensité nulle.

Positions des maxima sans calcul. Toutes les ondes en phase quand le déphasage élémentaire est multiple de 2π. Mini-exercice : réseau de pas 2 µm, incidence normale, λ₀ = 500 nm, sin θ = m/4, ordres jusqu'à ± 4 avec θ₄ = 90°, inobservable en pratique, donc ± 3 utiles.

Signe des angles dans la formule des réseaux. Orienter i et θ depuis la normale, dans le même sens. Mini-exercice : i = 20°, m = − 1, pas 1,67 µm, λ₀ = 589 nm, sin θ = 0,342 − 0,353 = − 0,011, l'ordre − 1 sort quasi normalement.

Vérifier par la conservation de l'énergie. La moyenne de I sur une frange vaut la somme des intensités. Mini-exercice : cas équilibré, moyenne de 4I₀cos² vaut 2I₀. Cas N ondes, moyenne NI₀.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Fresnel avec déséquilibre

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Deux ondes cohérentes d'intensités I₁ = 4I₂ se superposent. Exprimer I en fonction de Δφ, ses valeurs extrêmes, le contraste.

Technique Fresnel puis définition du contraste.

Voir le corrigé

√(I₁I₂) = 2I₂, donc I = 5I₂ + 4I₂ cos Δφ.
I_max = 9I₂, I_min = I₂. Les franges sombres ne sont pas noires.
C = 8/10 = 0,8.
Vérification, 2√(I₁I₂)/(I₁ + I₂) = 4I₂/5I₂ = 0,8.

piège : Écrire I_min = 0 par réflexe du cas équilibré.

Exercice 2. Déphasages particuliers

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Deux ondes de même intensité I₀, déphasées de π/2, puis de 2π/3, puis de π. Intensité dans chaque cas.

Technique I = 2I₀(1 + cos Δφ).

Voir le corrigé

Δφ = π/2, cos = 0, I = 2I₀, comme si les ondes étaient incohérentes.
Δφ = 2π/3, cos = − 1/2, I = I₀, moins que chaque onde seule ne donne en moyenne à deux.
Δφ = π, I = 0, extinction totale.
Interprétation, l'énergie manquante ici est présente ailleurs, là où Δφ est multiple de 2π et I = 4I₀.

piège : Utiliser 4I₀cos²(Δφ) au lieu de 4I₀cos²(Δφ/2).

Exercice 3. Pourquoi deux lasers n'interfèrent pas

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Deux lasers hélium-néon indépendants, de même longueur d'onde nominale 633 nm, éclairent le même écran. Observe-t-on des franges ? Que change une photodiode de temps de réponse 1 ns si les fréquences diffèrent de 10 MHz ?

Technique Analyse des échelles de temps.

Voir le corrigé

Les deux lasers émettent des trains d'ondes indépendants, leur déphasage relatif est aléatoire et se renouvelle en un temps de l'ordre de τ_c, au plus quelques microsecondes pour un laser courant.
L'œil moyenne sur 0,1 s, le terme d'interférences s'annule, écran uniforme, I = I₁ + I₂.
Avec un écart de 10 MHz, le terme croisé oscille à 10 MHz, période 0,1 µs, plus longue que 1 ns. Pendant une durée inférieure à τ_c, la photodiode enregistre un battement.
Ce battement disparaît dès que la phase relative saute, il n'est stable que sur la durée de cohérence. On peut donc observer des interférences fugitives, jamais des franges fixes.

piège : Confondre même longueur d'onde nominale et cohérence mutuelle.

Exercice 4. Trois ondes en progression arithmétique

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Trois ondes cohérentes de même amplitude, déphasées successivement de φ. Intensité en fonction de φ, maxima, zéros, valeur en φ = π.

Technique Fonction réseau avec N = 3, contrôle par vecteurs de Fresnel.

Voir le corrigé

I = I₀ sin²(3φ/2)/sin²(φ/2).
Maxima principaux pour φ = 2mπ, I = 9I₀.
Zéros pour 3φ/2 = kπ avec k non multiple de 3, soit φ = 2π/3 et 4π/3 modulo 2π. Les trois vecteurs forment alors un triangle fermé.
En φ = π, I = I₀ sin²(3π/2)/sin²(π/2) = I₀. C'est le maximum secondaire, deux vecteurs s'annulent, le troisième reste.
Moyenne sur φ égale à 3I₀, conservation de l'énergie.

piège : Chercher les zéros en annulant sin(φ/2), ce qui donne les maxima principaux, pas les zéros.

Exercice 5. Ordres observables d'un réseau

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Réseau de 600 traits par millimètre éclairé à 589 nm. Ordres observables et angles correspondants en incidence normale, puis sous une incidence de 30°.

Technique Formule des réseaux et contrainte |sin θ| ≤ 1.

Voir le corrigé

Pas a = 1/600 mm = 1,667 µm, λ₀/a = 0,353.
Incidence normale, sin θ = 0,353 m. m = 0, ± 1 à 20,7°, ± 2 à 45,0°. Pour m = 3, sin θ = 1,06, impossible. Cinq ordres.
Incidence 30°, sin θ = 0,5 + 0,353 m. m = 1 donne 0,853 soit 58,6°, m = 2 dépasse 1. m = − 1 donne 0,147 soit 8,4°, m = − 2 donne − 0,207, m = − 3 donne − 0,56, m = − 4 donne − 0,914 soit − 66,1°, m = − 5 dépasse − 1.
Six ordres, de − 4 à + 1. L'incidence oblique déplace la fenêtre des ordres accessibles sans en changer le nombre total possible.

piège : Compter l'ordre m = 2 parce que « 1,2 c'est presque 1 ». Un sinus supérieur à 1 signifie que l'ordre n'existe pas.

Exercice 6. Minimum de déviation

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP, d'après les travaux pratiques

Réseau de pas a éclairé à λ₀ sous l'incidence i, on observe l'ordre m. Montrer que la déviation D = θ − i passe par un minimum quand θ = − i. Exprimer λ₀ en fonction de D_min et application avec 600 traits par millimètre, m = 1, D_min = 20,4°.

Technique Différentier la formule des réseaux à m fixé.

Voir le corrigé

a(sin θ − sin i) = mλ₀. À m fixé, a cos θ dθ = a cos i di, donc dθ/di = cos i/cos θ.
dD/di = cos i/cos θ − 1, nul pour cos θ = cos i, soit θ = i, ordre 0 sans intérêt, ou θ = − i.
Configuration symétrique, θ = − i = D_min/2 en valeur absolue, formule 2a sin(D_min/2) = |m| λ₀.
Application, λ₀ = 2 × 1,667 × sin(10,2°) µm = 2 × 1,667 × 0,177 = 0,590 µm.
Intérêt expérimental, le minimum se repère au goniomètre sans connaître i ni la normale au réseau.

piège : Oublier que la déviation est une différence d'angles orientés, une erreur de signe fait disparaître le minimum.

Exercice 7. Séparer le doublet du sodium

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Réseau de 600 traits par millimètre, ordre 1. Combien de traits doivent être éclairés pour que les deux raies du sodium, 589,0 nm et 589,6 nm, donnent des pics distincts ? Largeur de faisceau correspondante.

Technique Comparer l'écart d'ordre entre les deux raies à la largeur 1/N d'un pic.

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Pour une direction θ fixée, l'ordre vaut p = a sin θ/λ₀. Entre les deux raies, Δp = p Δλ/λ₀ en valeur absolue.
Le pic de la raie 1 s'étend sur un demi-intervalle 1/N autour de son maximum. On sépare les raies si le maximum de l'autre tombe hors de ce demi-intervalle, Δp ≥ 1/N.
Au maximum d'ordre m, p = m, donc N ≥ λ₀/(m Δλ) = 589/(1 × 0,6) ≈ 980 traits.
Largeur de faisceau 980/600 mm ≈ 1,6 mm. Un réseau de travaux pratiques éclairé sur 1 cm sépare très largement le doublet à l'ordre 1.
Le produit mN est ce que les spectroscopistes appellent pouvoir de résolution, il n'est pas exigible mais se retrouve en trois lignes.

piège : Chercher un critère sur les angles au lieu d'un critère sur l'ordre d'interférences. Le résultat 1/N s'exprime en ordre.

Exercice 10. Contraste et lumière parasite

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Deux ondes cohérentes équilibrées d'intensité I₀ chacune, auxquelles s'ajoute une lumière ambiante incohérente d'intensité I_f. Exprimer le contraste. Valeur pour I_f = 4I₀.

Technique Additivité pour la lumière parasite, Fresnel pour le reste.

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I = 4I₀cos²(Δφ/2) + I_f, la lumière parasite s'ajoute en intensité.
I_max = 4I₀ + I_f, I_min = I_f.
C = 4I₀/(4I₀ + 2I_f) = 2I₀/(2I₀ + I_f).
Pour I_f = 4I₀, C = 1/3. D'où l'obscurité en salle de travaux pratiques.

piège : Faire interférer la lumière parasite avec les deux ondes. Elle est incohérente avec elles.

Exercice 8. Recouvrement des ordres en lumière blanche

Approfondissement · Type écrit Centrale

Un réseau est éclairé en lumière blanche, de 400 à 800 nm, en incidence normale. Montrer que les spectres d'ordres différents se recouvrent à partir d'un certain ordre.

Technique Comparer les intervalles de sin θ occupés par chaque ordre.

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sin θ = mλ₀/a, l'ordre m occupe l'intervalle [400m/a, 800m/a] en nanomètres.
Ordre 1, de 400/a à 800/a. Ordre 2, de 800/a à 1 600/a. Ils se touchent en 800/a sans se recouvrir.
Ordre 2 et ordre 3, celui-ci commence à 1 200/a, avant la fin de l'ordre 2. Le violet de l'ordre 3 se superpose au rouge de l'ordre 2.
Généralement, l'ordre m + 1 recouvre l'ordre m dès que 400(m + 1) < 800m, soit m > 1. Seul le spectre d'ordre 1 est pur.
Pour analyser une raie inconnue à l'ordre 2 ou 3, on filtre la source ou on lève l'ambiguïté par une autre mesure.

piège : Croire que le recouvrement est dû à la diffraction. Il vient uniquement de la formule des réseaux.

Exercice 9. Énergie et finesse des franges d'un réseau

Approfondissement · Type oral Mines

N ondes cohérentes de même intensité I₀, phases en progression arithmétique de raison φ. Montrer sans calcul de somme que l'intensité s'annule pour φ = 2π/N. Montrer que la moyenne de I sur une période en φ vaut NI₀ et en déduire que la largeur des pics doit décroître en 1/N.

Technique Vecteurs de Fresnel et conservation de l'énergie.

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Pour φ = 2π/N, les N vecteurs de Fresnel, de même longueur et tournés successivement de 2π/N, forment un polygone régulier fermé. La résultante est nulle.
L'intensité développée contient N termes I₀ et des termes croisés en cos(kφ), k entier non nul, tous de moyenne nulle sur une période. Donc ⟨I⟩ = NI₀.
Le maximum vaut N²I₀. Un pic de hauteur N²I₀ et de largeur Δφ contribue environ N²I₀ Δφ/(2π) à la moyenne.
Pour que cela reste égal à NI₀, il faut Δφ de l'ordre de 2π/N. La finesse en 1/N est imposée par la conservation de l'énergie.
Cas limite N = 2, le pic est large comme une frange entière, on retrouve Fresnel.

piège : Penser que l'intensité N²I₀ viole la conservation de l'énergie. Elle est compensée par l'étroitesse du pic.

Erreurs fréquentes

Additionner les amplitudes de sources indépendantes. Seules les intensités s'ajoutent, et seulement pour des ondes incohérentes.
Confondre Δφ et Δφ/2 dans 4I₀cos². Une frange complète correspond à une variation de Δφ de 2π.
Contraste calculé avec des amplitudes. La définition porte sur des intensités, et le terme croisé fait intervenir la racine du produit.
Chercher les zéros de la fonction réseau en annulant le dénominateur. Ce sont les maxima principaux.
Signe de l'incidence dans la formule des réseaux. Angles orientés dans le même sens depuis la normale, sinon le sens de la dispersion est faux.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie PC (arrêté du 5 janvier 2021, applicable à la rentrée 2022), partie « 1. Optique », paragraphe « 1.2. Superposition d'ondes lumineuses ». Elle traite la superposition de deux ondes, cohérentes ou non, la formule de Fresnel, le contraste, puis la superposition de N ondes et le réseau.