Mathématiques 1

Notations et définitions.

Dans tout le problème, les produits et les sommes indexés par $p$ portent sur les nombres premiers $p$.

Montrons que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, le produit des nombres premiers $p$ tels que $n+2 \le p \le 2n+1$ est inférieur ou égal à $\binom{2n+1}{n}$, et que $\binom{2n+1}{n} \le 4^n$.

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $C = \binom{2n+1}{n}$.

Majoration.

D'après la formule du binôme,

Tous les termes de cette somme sont positifs.

Les termes d'indices $n$ et $n+1$ sont distincts et valent tous les deux $C$ (symétrie $\binom{m}{k} = \binom{m}{m-k}$ avec $m = 2n+1$).

Donc $2C \le 2^{2n+1}$, c'est-à-dire $C \le 4^n$.

Minoration.

Par définition du coefficient binomial,

Soit $p$ un nombre premier tel que $n+2 \le p \le 2n+1$.

Comme $p \le 2n+1$, $p$ est l'un des facteurs de $(2n+1)!$, donc $p$ divise $C \cdot n!\,(n+1)!$.

Le produit $n!\,(n+1)!$ ne contient que des facteurs compris entre $1$ et $n+1$.

Ils sont tous strictement inférieurs à $p$, donc aucun n'est divisible par $p$.

D'après le lemme d'Euclide ($p$ premier), $p$ ne divise pas $n!\,(n+1)!$.

Comme $p$ est premier, $p$ est donc premier avec $n!\,(n+1)!$.

D'après le lemme de Gauss, $p$ divise $C$.

Les nombres premiers compris entre $n+2$ et $2n+1$ sont deux à deux premiers entre eux et divisent tous $C$.

Leur produit divise donc $C$ (si des entiers deux à deux premiers entre eux divisent $C$, leur produit divise $C$).

Comme $C \ge 1$, un diviseur positif de $C$ est inférieur ou égal à $C$.

Ceci vaut aussi quand l'intervalle ne contient aucun nombre premier (le produit vide vaut $1$).

Ainsi :