Séries numériques

Exercice classique. Partie entière de n!e et approximation rationnelle ★★★

Classique du chapitre

On admet l’identité $e=\sum_{k=0}^{+\infty}1/k!$, où $e=\exp(1)$ et $0!=1$. Pour tout entier $n\geq 1$, on pose $S_n=\sum_{k=0}^{n}1/k!$, $A_n=n!S_n$ et $u_n=n!(e-S_n)$. Pour un réel $x$, sa partie entière $\lfloor x\rfloor$ est l’unique entier $m$ tel que $m\leq x<m+1$, et sa partie fractionnaire est $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

1. Prouver que $A_n$ est entier et que $\frac{1}{n+1}<u_n<\frac{1}{n}$.
2. En déduire $\lfloor n!e\rfloor$ et $\{n!e\}$ en fonction de $A_n$ et $u_n$. Déterminer la limite de $\{n!e\}$ quand $n$ tend vers l’infini.
3. Calculer $A_3$ et encadrer $e-\frac83$ par deux rationnels explicites.
4. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $A_{n+1}=(n+1)A_n+1$. En déduire $A_4$ à partir de $A_3$.

Voir le corrigé offert

Intégralité et encadrement

Pour $0\leq k\leq n$, le quotient $n!/k!$ est entier. Par sommation, $A_n=\sum_{k=0}^{n}n!/k!$ est entier.

L’identité admise donne $$u_n=\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots(n+j)}.$$ Son premier terme vaut $1/(n+1)$ et tous les suivants sont strictement positifs. Donc $$u_n>\frac{1}{n+1}.$$ Pour chaque $j\geq 1$, le terme d’indice $j$ est au plus égal à $1/(n+1)^j$, avec une inégalité stricte pour $j=2$. La série géométrique converge puisque $1/(n+1)<1$, et la différence des deux sommes est strictement positive. Par conséquent, $$u_n<\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^j}=\frac1n.$$

Parties entière et fractionnaire

On a $n!e=A_n+u_n$, avec $A_n$ entier et $0<u_n<1/n\leq 1$. Ainsi, $$A_n<n!e<A_n+1.$$ Par définition, $$\lfloor n!e\rfloor=A_n,\qquad \{n!e\}=u_n.$$ Comme $0<u_n<1/n$ et $1/n\longrightarrow 0$, le théorème d’encadrement donne $$\lim_{n\to+\infty}\{n!e\}=0.$$ Chaque partie fractionnaire reste pourtant strictement positive.

Calcul au rang 3

On trouve $$S_3=1+1+\frac12+\frac16=\frac83,\qquad A_3=6\times\frac83=16.$$ L’encadrement de la première question devient $1/4<u_3<1/3$. Puisque $u_3=6(e-8/3)$, une division par $6>0$ donne $$\frac1{24}<e-\frac83<\frac1{18}.$$ La fraction $8/3$ approche donc $e$ par défaut, avec une erreur strictement inférieure à $1/18$.

Relation de récurrence

La définition des sommes partielles donne $$S_{n+1}=S_n+\frac1{(n+1)!}.$$ En multipliant cette égalité par $(n+1)!$, on obtient $$A_{n+1}=(n+1)!S_n+1=(n+1)A_n+1.$$ En particulier, $$A_4=4A_3+1=4\times16+1=65.$$ On retrouve ainsi $\lfloor24e\rfloor=65$.

Exercice classique. Un facteur à rationaliser avant de reconnaître une série de Bertrand ★★★

Classique du chapitre

Soient $a,b\in\R$. Pour tout entier $n\geq2$, on pose $$v_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{n^a(\log n)^b}.$$ Les logarithmes sont népériens et toutes les puissances réelles sont prises sur des bases strictement positives.

1. Rationaliser $\sqrt{n+1}-\sqrt n$, puis établir, pour tout $n\geq2$, $$\frac{1}{3\sqrt n}\leq\sqrt{n+1}-\sqrt n\leq\frac{1}{2\sqrt n}.$$
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $(a,b)$ pour que $\sum_{n=2}^{+\infty}v_n$ converge. Justifier le critère de Bertrand utilisé : comparaison de puissances hors du seuil, puis encadrement des blocs dyadiques au seuil.
3. Déterminer la nature de cette série pour chacun des couples $(a,b)=(1/2,2)$, $(1/2,1)$ et $(0,100)$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice classique. Calcul de ζ(4) = π⁴/90 par la même méthode ★★★

Classique du chapitre

Soit $m\ge2$ un entier. On reprend $P_m(X)=\sum_{j=0}^m(-1)^j\binom{2m+1}{2j+1}X^{m-j}$, dont les racines sont les $y_k=\cot^2\!\big(\frac{k\pi}{2m+1}\big)$, $1\le k\le m$ (résultat admis ici). On note $e_1=\sum_k y_k$, $e_2=\sum_{k<l}y_ky_l$ et $T_m=\sum_{k=1}^m\frac1{k^4}$.

1. Exprimer $e_1$ et $e_2$ à l'aide de coefficients binomiaux, puis montrer que $\displaystyle\sum_{k=1}^m y_k^2=\frac{m(2m-1)(4m^2+10m-9)}{45}$. Vérifier pour $m=2$.
2. Montrer que pour $x\in\,]0,\pi/2[$ : $\cot^4x<\dfrac1{x^4}<1+2\cot^2x+\cot^4x$.
3. En déduire un encadrement de $T_m$, puis la limite de $T_m$ quand $m\to+\infty$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.