Partie A : sous-groupes finis de $\mathrm O_n(\mathbb{R})$

Notations et définitions.

Un groupe $G$ de neutre $e$ est d'exposant fini s'il existe $m \in \mathbb{N}^*$ tel que, pour tout $x \in G$ , $x^m = e$ .

Pour un sous-groupe $G$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , la trace du groupe est l'ensemble $\operatorname{tr} G = \{\operatorname{tr} A \,;\, A \in G\}$ .

I. Généralités

Notations et définitions.

Dans les questions Q1 à Q3, $G$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

Q1.

Sous-groupe fini, théorème de Lagrange, exposant fini

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Résultat

Donc $\left\lvert \operatorname{tr} G \right\rvert \le \left\lvert G \right\rvert$ , et $\operatorname{tr} G$ est fini.

Montrons que, si $G$ est fini, alors $G$ est d'exposant fini et $\operatorname{tr} G$ est fini.

Supposons $G$ fini et posons $N = \left\lvert G \right\rvert \in \mathbb{N}^*$ .

Soit $A \in G$ .

D'après le théorème de Lagrange (théorème 1.9, ordre et cardinal), appliqué au groupe fini $G$ de cardinal $N$ , l'ordre $d$ de $A$ divise $N$ .

Or $A^d = I_n$ (propriété 1.8, caractérisation de l'ordre), donc $A^N = (A^d)^{N/d} = I_n$ .

Ainsi, pour tout $A \in G$ , $A^N = I_n$ avec $N \in \mathbb{N}^*$ : $G$ est d'exposant fini.

De plus, $\operatorname{tr} G$ est l'image de l'ensemble fini $G$ par l'application $A \mapsto \operatorname{tr} A$ .

Donc $\left\lvert \operatorname{tr} G \right\rvert \le \left\lvert G \right\rvert$ , et $\operatorname{tr} G$ est fini.

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Aperçu : Q1

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I. Généralités

Q1.

Q2 et Q3

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Q11

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