Mathématiques 2

Pour $\theta \in \mathbb{R}$, étudions la diagonalisabilité sur $\mathbb{R}$, puis sur $\mathbb{C}$, de

Soit $\theta \in \mathbb{R}$.

Le polynôme caractéristique de $R_\theta$ vaut :

Son discriminant vaut $4\cos^2\theta - 4 = -4\sin^2\theta$.

Ses racines complexes sont donc $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$.

Cas $\theta \in \pi\mathbb{Z}$.

Alors $\sin\theta = 0$, $\cos\theta = \pm 1$ et $R_\theta = \pm I_2$.

Cette matrice est diagonale, donc diagonalisable sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.

Cas $\theta \notin \pi\mathbb{Z}$.

Alors $\sin\theta \ne 0$ et les racines $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\theta}$ ne sont pas réelles.

D'après le théorème 2.3, valeurs propres et racines, les valeurs propres réelles de $R_\theta$ sont les racines réelles de $\chi$ : $R_\theta$ n'a aucune valeur propre réelle.

Elle n'est donc pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$.

Sur $\mathbb{C}$, on a $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \ne \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ car $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta} \ne 1$ (puisque $2\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}$).

La matrice $R_\theta$, de taille 2, a donc deux valeurs propres distinctes.

Elle est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ d'après la condition suffisante de la propriété 3.3.

Conclusion. $R_\theta$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $\theta \in \pi\mathbb{Z}$.

Elle est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ pour tout $\theta \in \mathbb{R}$.