Le cours

Résumé en cinq points

Dans un espace normé de dimension finie, absolue convergence entraîne convergence, et tout se teste coordonnée par coordonnée.
Le lien suite-série, c'est-à-dire l'équivalence entre la convergence de $(a_n)$ et celle de la série des écarts, transforme un problème de suite en problème de série et réciproquement.
La comparaison série-intégrale, pour une fonction positive décroissante, donne à la fois la nature de la série et un équivalent des sommes partielles ou des restes.
La sommation des relations de comparaison transmet $O$ , $o$ et équivalent aux restes si la série de référence converge, aux sommes partielles si elle diverge. La suite de référence doit être de signe constant.
La sommabilité est ce qui autorise à sommer dans n'importe quel ordre, donc à intervertir deux signes somme et à faire un produit de Cauchy.

Pourquoi ce chapitre

La première année a donné les critères de convergence des séries numériques. Ce chapitre fait deux choses de plus.

Il étend la notion de série au cas où le terme général est un vecteur, une matrice ou une fonction à valeurs dans un espace de dimension finie, ce qui servira pour l'exponentielle de matrice et pour les séries de fonctions.
Il passe du qualitatif au quantitatif : savoir qu'une série converge ne suffit plus, il faut savoir estimer un reste ou une somme partielle.

Deux outils y répondent :

la comparaison série-intégrale, qui transforme une somme en intégrale ;
la sommation des relations de comparaison, qui permet d'intégrer un équivalent terme à terme.

Aux concours, ces deux techniques sont omniprésentes dans les questions de calcul asymptotique. Le programme insiste sur le caractère instrumental des séries, et écarte l'étude des séries semi-convergentes.

1Rappels de première année

Définition 1.1Convergence d'une série

Pour une suite $(u_n)$ de nombres complexes, la série de terme général $u_n$ converge si la suite des sommes partielles converge.

Le terme général d'une série convergente tend vers 0. Une série dont le terme général ne tend pas vers 0 est dite grossièrement divergente.

Propriété 1.2Séries de référence

La série géométrique de raison $q$ converge si et seulement si $\abs{q} < 1$ , de somme $\frac{1}{1-q}$ quand on part de $n = 0$ .
La série de Riemann de terme général $\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ .
La série exponentielle de terme général $\frac{z^n}{n!}$ converge pour tout complexe $z$ , de somme $\e^z$ .

Propriété 1.3Séries à termes positifs

Une telle série converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.
Si $0 \leqslant u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang, la convergence de $\sum v_n$ entraîne celle de $\sum u_n$ , et la divergence de $\sum u_n$ entraîne celle de $\sum v_n$ .
Si $u_n$ et $v_n$ sont positives et équivalentes, les deux séries sont de même nature.

Théorème 1.4Critère spécial des séries alternées

Hypothèses

$(a_n)$ est positive et décroissante ;
$a_n \to 0$ .

Alors la série de terme général $(-1)^n a_n$ converge, sa somme est du signe de son premier terme, et le reste de rang $n$ est majoré en valeur absolue par $a_{n+1}$ .

Propriété 1.5Formule de Stirling (admise)

$n! \sim \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{\e}\right)^n.$

2Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie

Définition 2.1Série dans un espace normé

Soit $E$ un espace normé de dimension finie et $(u_n)$ une suite d'éléments de $E$ . La série de terme général $u_n$ converge si la suite des sommes partielles converge dans $E$ . On note alors sa somme, et le reste d'ordre $n$ est la différence entre la somme et la somme partielle de rang $n$ . Ce reste tend vers 0.

Propriété 2.2Linéarité de la somme

Si deux séries convergent, toute combinaison linéaire des termes généraux donne une série convergente dont la somme est la combinaison des sommes.

Attention

On ne peut pas séparer une série convergente en deux morceaux dont on ne sait rien.

Le terme général d'une série convergente tend vers 0. La contraposée sert de test de rejet immédiat.

Propriété 2.3Lien suite-série

La suite $(a_n)$ converge si et seulement si la série de terme général $a_{n+1} - a_n$ converge.

C'est une reformulation, puisque la somme partielle de cette série télescopique vaut $a_{n+1} - a_0$ . Pour étudier une suite, on étudie la série des écarts, et réciproquement.

Définition 2.4Convergence absolue

La série de terme général $u_n$ est absolument convergente si la série réelle de terme général $\norm{u_n}$ converge.

Théorème 2.5Absolue convergence

Dans un espace normé de dimension finie, toute série absolument convergente est convergente.

Attention

La réciproque est fausse : la série alternée de terme général $\frac{(-1)^n}{n}$ converge sans converger absolument. Le critère de Cauchy est hors programme, la preuve se fait donc coordonnée par coordonnée en revenant au cas réel.

Comme toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, la nature d'une série et sa somme ne dépendent pas de la norme choisie. Tout se teste coordonnée par coordonnée dans une base fixe.

3Comparaison série-intégrale

Elle consiste à encadrer un terme par des intégrales pour ramener une somme à une intégrale, que l'on sait calculer.

Théorème 3.1Comparaison série-intégrale

Hypothèses

$f$ est continue par morceaux, positive et décroissante sur $[n_0, +\infty[$ ;
$n \geqslant n_0$ est un entier.

Alors la décroissance donne $f(n+1) \leqslant \int_n^{n+1} f(t)\,\dd t \leqslant f(n).$ En sommant, la série de terme général $f(n)$ et l'intégrale de $f$ sur $[n_0, +\infty[$ sont de même nature.

L'encadrement fournit bien plus que la nature. En cas de divergence, il donne un équivalent de la somme partielle. En cas de convergence, il donne un encadrement du reste, donc souvent un équivalent.

Trois exemples à savoir refaire :

Exemple 3.2Séries de Riemann

Avec $f(t) = \frac{1}{t^\alpha}$ , on retrouve la nature des séries de Riemann sans aucune autre connaissance.

Exemple 3.3Série harmonique

Avec $f(t) = \frac{1}{t}$ , la somme $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ est équivalente à $\ln n$ . La différence entre cette somme et $\ln n$ converge, sa limite est la constante d'Euler.

Exemple 3.4Reste de $\sum 1/k^2$

Avec $f(t) = \frac{1}{t^2}$ , le reste de rang $n$ de la série des $\frac{1}{k^2}$ est encadré entre $\frac{1}{n+1}$ et $\frac{1}{n}$ , donc équivalent à $\frac{1}{n}$ .

MéthodeEstimer un reste ou une somme partielle

Poser $w_n = f(n) - \int_n^{n+1} f(t)\,\dd t$ .
L'encadrement montre que $0 \leqslant w_n \leqslant f(n) - f(n+1)$ .
La série des $f(n) - f(n+1)$ est télescopique donc convergente quand $f$ a une limite.
La série des $w_n$ converge donc, et le lien suite-série donne l'asymptotique cherchée.

C'est exactement le schéma qui produit la constante d'Euler, et c'est aussi celui qui permet d'établir la formule de Stirling à une constante près.

Attention

La monotonie est indispensable, la positivité aussi pour les encadrements. Si $f$ n'est pas monotone, l'encadrement tombe et la comparaison n'a plus lieu d'être.

4Règle de d'Alembert

Théorème 4.1Règle de d'Alembert

Hypothèses

$(u_n)$ est une suite de réels strictement positifs ;
$\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers une limite $l \in [0, +\infty]$ .

Alors :

si $l < 1$ , la série converge ;
si $l > 1$ , le terme général tend vers l'infini, donc la série diverge grossièrement ;
si $l = 1$ , on ne peut rien conclure.

Attention

Le cas $l = 1$ est le piège : les séries de Riemann ont toutes un rapport de limite 1 et changent pourtant de nature selon $\alpha$ .

On réserve la règle de d'Alembert aux termes généraux contenant des factorielles ou des puissances $n$ -ièmes, et on l'évite dans les autres cas. La version pour une série à termes complexes s'applique au module.

5Sommation des relations de comparaison

L'idée est qu'un équivalent du terme général se transmet aux restes ou aux sommes partielles. Dans toute la section, la suite de référence $(v_n)$ est de signe constant à partir d'un certain rang, hypothèse indispensable.

Théorème 5.1Cas où $\sum v_n$ converge

Hypothèse : $\sum v_n$ converge. On compare alors les restes $R_n(u)$ et $R_n(v)$ .

Si $u_n = O(v_n)$ , alors $\sum u_n$ converge et $R_n(u) = O(R_n(v))$ .
Si $u_n = o(v_n)$ , alors $\sum u_n$ converge et $R_n(u) = o(R_n(v))$ .
Si $u_n \sim v_n$ , alors $\sum u_n$ converge et $R_n(u) \sim R_n(v)$ .

Théorème 5.2Cas où $\sum v_n$ diverge

Hypothèse : $\sum v_n$ diverge. On compare alors les sommes partielles $S_n(u)$ et $S_n(v)$ .

Si $u_n = O(v_n)$ , alors $S_n(u) = O(S_n(v))$ .
Si $u_n = o(v_n)$ , alors $S_n(u) = o(S_n(v))$ .
Si $u_n \sim v_n$ , alors $\sum u_n$ diverge et $S_n(u) \sim S_n(v)$ .

Attention

On ne compare jamais un reste avec une somme partielle. Série convergente, on regarde les restes. Série divergente, on regarde les sommes partielles.

Théorème 5.3Théorème de Cesàro

Hypothèse : $(u_n)$ tend vers une limite $l$ , finie ou infinie.

Alors la moyenne arithmétique des $n$ premiers termes tend aussi vers $l$ .

Démonstration

Cas $l$ fini non nul : $u_n \sim l$ , la série de terme général constant égal à $l$ diverge, donc la somme partielle des $u_k$ est équivalente à $ln$ , et on divise par $n$ . Le cas $l = 0$ se traite avec la relation de négligeabilité.

Attention

La réciproque de Cesàro est fausse : la suite de terme général $(-1)^n$ a des moyennes qui tendent vers 0 sans que la suite converge.

6Familles sommables

Remarque

Statut dans le programme : le programme de MP ne comporte pas de section autonome consacrée aux familles sommables. La notion y apparaît dans la partie probabilités, où l'espérance d'une variable aléatoire discrète est définie par la sommabilité d'une famille indexée par un ensemble au plus dénombrable, et le programme signale que le support d'une famille sommable de nombres complexes est dénombrable. Le vocabulaire ci-dessous est donc un outil, non un ensemble de théorèmes à démontrer.

Définition 6.1Famille sommable de réels positifs

Soit $I$ un ensemble au plus dénombrable et $(u_i)$ une famille de réels positifs. La famille est sommable si l'ensemble des sommes sur les parties finies de $I$ est majoré. La somme est alors la borne supérieure de ces sommes finies.

Pour $I = \N$ , cela équivaut à la convergence de la série, et la somme est la même.

Définition 6.2Famille sommable de complexes

La famille $(u_i)$ de nombres complexes est sommable si la famille des $\abs{u_i}$ l'est.

Pour $I = \N$ , sommable équivaut à absolument convergente.

Propriété 6.3Indépendance de l'ordre

La somme d'une famille sommable ne dépend pas de l'ordre dans lequel on somme.

C'est ce que l'absolue convergence apporte de plus que la convergence simple, et ce qui rend la notion utile en probabilités, où il n'y a pas d'ordre naturel sur l'univers.

Théorème 6.4Sommation par paquets

Hypothèses

$I$ est réunion d'une partition au plus dénombrable de parties $I_k$ ;
la famille est sommable.

Alors la somme totale est la somme des sommes partielles sur chaque paquet.

Appliqué à $I = \N \times \N$ , cela donne l'interversion des deux signes somme pour une famille doublement indexée sommable.

Propriété 6.5Cas positif

Pour une famille de réels positifs, l'interversion des sommations est toujours licite, avec la convention que la valeur peut être l'infini.

C'est ce qui permet de justifier proprement les calculs de séries doubles à termes positifs.

Attention

Sans sommabilité, l'interversion est fausse. Il existe des familles doublement indexées de réels pour lesquelles les deux sommations itérées donnent deux résultats différents.

7Produit de Cauchy

Définition 7.1Produit de Cauchy

Le produit de Cauchy de deux séries de terme général $a_n$ et $b_n$ est la série de terme général $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}.$

Théorème 7.2Produit de Cauchy

Hypothèses

$\sum a_n$ est absolument convergente ;
$\sum b_n$ est absolument convergente.

Alors $\sum c_n$ est absolument convergente et sa somme est le produit des deux sommes.

Le programme de MP énonce le produit de Cauchy dans la section sur les séries entières. La version pour les séries numériques absolument convergentes est le même résultat et se démontre avec les familles sommables. On l'utilise en signalant l'hypothèse d'absolue convergence, qui est indispensable.

Exemple 7.3Exponentielle

En appliquant ce résultat à la série exponentielle, on obtient $\e^z \e^w = \e^{z+w}$ , la formule du binôme apparaissant dans le calcul de $c_n$ .

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Avant tout, tester la divergence grossière : si le terme général ne tend pas vers 0, c'est fini.
Pour une série à termes positifs, chercher un équivalent simple du terme général et comparer à une série de Riemann ou à une série géométrique.
En présence de factorielles ou de puissances $n$ -ièmes, essayer la règle de d'Alembert.
Pour estimer une somme partielle divergente ou un reste convergent, dessiner les rectangles et écrire l'encadrement de comparaison série-intégrale avec une fonction positive décroissante.
Pour obtenir un développement asymptotique d'une suite, passer à la série des écarts, ou inversement.
Pour intégrer un équivalent, utiliser la sommation des relations de comparaison, en vérifiant d'abord que la suite de référence est de signe constant, et en choisissant restes ou sommes partielles selon la nature de la série de référence.
Pour intervertir deux signes somme, vérifier la sommabilité, ou se placer dans le cas de termes positifs où l'interversion est toujours permise.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer qu'une série absolument convergente à valeurs dans un espace de dimension finie converge.
Utiliser le lien suite-série pour étudier une suite définie par une relation de récurrence.
Établir la nature des séries de Riemann par comparaison série-intégrale.
Montrer que $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)$ , où $\gamma$ est une constante.
Donner un équivalent du reste de la série des $\frac{1}{k^2}$ par encadrement intégral.
Énoncer la règle de d'Alembert avec ses trois cas et expliquer pourquoi le cas limite 1 ne conclut pas.
Énoncer la sommation des relations de comparaison dans les deux cas, et en déduire le théorème de Cesàro.
Énoncer le théorème du produit de Cauchy et l'appliquer à la série exponentielle.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour MP.

HP · HORS PROGRAMME Transformation d’Abel finie et critère de Dirichlet

La transformation d’Abel est une identité finie, non un théorème nommé au programme MP. Le critère de Dirichlet est démontré dans cette fiche à partir de cette identité et de la convergence absolue. À distinguer du lemme d’Abel pour les séries entières et du théorème d’Abel radial.

MP, méthode classique d’analyse des séries

Prérequis

Sommes partielles et somme géométrique complexe
Convergence d’une série absolument convergente dans un espace de dimension finie, au programme MP

Identité finie de sommation par parties

PropositionSomme par parties finie

Soient $a_1,\ldots,a_N$ des scalaires, $A_n = \sum_{k=1}^n a_k$ et $b_1,\ldots,b_N$ . En posant $A_0=0$ , on a $\sum_{k=1}^N a_k b_k = A_N b_N + \sum_{k=1}^{N-1} A_k (b_k-b_{k+1}).$ Cette identité ne demande aucune hypothèse de convergence.

Démonstration

Montrons cette égalité. Écrivons $a_k=A_k-A_{k-1}$ dans la somme, puis séparons les deux sommes. Le changement d'indice fait apparaître le terme de bord $A_Nb_N$ et les différences $b_k-b_{k+1}$ : $\begin{aligned} \sum_{k=1}^N a_k b_k &= \sum_{k=1}^N (A_k-A_{k-1})b_k \\ &= A_Nb_N + \sum_{k=1}^{N-1} A_k(b_k-b_{k+1}). \end{aligned}$ L'identité est établie.

Critère de Dirichlet

ThéorèmeCritère de Dirichlet pour les séries

Supposons que les sommes partielles $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$ soient bornées : $|A_n|\le C$ . Supposons aussi que $b_n\ge 0$ , que $(b_n)$ soit décroissante et que $b_n\to 0$ . Alors la série $\sum_{n\ge1}a_nb_n$ converge.

Démonstration

Montrons que les sommes partielles de $\sum a_nb_n$ convergent. Par l'identité finie, $\sum_{k=1}^N a_k b_k = A_N b_N + \sum_{k=1}^{N-1} A_k (b_k-b_{k+1}).$ Le terme de bord vérifie $|A_N b_N|\le Cb_N\to 0$ . Comme $b_k-b_{k+1}\ge 0$ , $\sum_{k=1}^{\infty} |A_k| (b_k-b_{k+1}) \le C\sum_{k=1}^{\infty}(b_k-b_{k+1}) = Cb_1.$ La série transformée converge donc absolument. L'identité finie montre alors que les sommes partielles de la série initiale tendent vers la somme de cette série transformée. Ainsi, $\sum a_nb_n$ converge.

Exemple : une série trigonométrique

ExempleSérie sinus

Pour un réel $\theta\notin2\pi\mathbb{Z}$ , la série $\sum_{k\ge1}\sin(k\theta)/k$ converge.

Démonstration

Montrons que les sommes partielles de $\sin(k\theta)$ sont bornées. La somme géométrique donne $\sum_{k=1}^n e^{ik\theta} = e^{i\theta}\frac{1-e^{in\theta}}{1-e^{i\theta}},$ donc son module est majoré par $C_\theta=2/|1-e^{i\theta}|$ . Sa partie imaginaire montre que $A_n=\sum_{k=1}^n\sin(k\theta)$ est bornée par $C_\theta$ . On applique alors le critère de Dirichlet à $a_k=\sin(k\theta)$ et $b_k=1/k$ . La suite $(b_k)$ est positive, décroissante et tend vers zéro. La série converge.

Attention : la borne des sommes partielles seule n’implique pas la convergence de $\sum a_n$ . La décroissance vers zéro de $b_n$ est essentielle dans ce raisonnement.

Aller à l’exercice associé

Sources

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le terme général d'une série convergente tend vers 0. Exigible avec démonstration, par différence de deux sommes partielles consécutives.
Lien suite-série : la suite (a_n) converge si et seulement si la série de terme général a_n+1 − a_n converge. Exigible avec démonstration.
Linéarité de la somme, reste d'ordre n d'une série convergente tendant vers 0. Exigibles.
Dans un espace normé de dimension finie, toute série absolument convergente converge. Exigible avec démonstration. Le critère de Cauchy est hors programme.
Comparaison série-intégrale : si f est continue par morceaux, positive et décroissante sur [n₀, +∞[, la série de terme général f(n) et l'intégrale de f sur [n₀, +∞[ sont de même nature, avec encadrement des sommes partielles et des restes. Exigible avec démonstration.
Séries de Riemann : Σ1/n^α converge si et seulement si α > 1. Exigible avec démonstration par comparaison série-intégrale.
Règle de d'Alembert : si u_n > 0 et u_n+1/u_n tend vers l, convergence si l < 1, divergence grossière si l > 1, aucune conclusion si l = 1. Exigible avec démonstration.
Sommation des relations de comparaison : si la suite de référence (v_n) est de signe constant à partir d'un certain rang, les relations O, o et équivalent entre u_n et v_n se transmettent aux restes si Σv_n converge, aux sommes partielles si Σv_n diverge. Exigible avec démonstration.
Théorème de Cesàro, limite finie ou infinie. Exigible avec démonstration, comme cas particulier du précédent.
Critère spécial des séries alternées, avec signe et majoration du reste. Rappel de première année, exigible avec démonstration par suites adjacentes.
Formule de Stirling. Admise.
Familles sommables : sommation par paquets, interversion des deux sommes pour une famille sommable, ou pour une famille de réels positifs avec valeur éventuellement infinie. Énoncés utilisables, introduits en probabilités, démonstrations non exigibles.
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Énoncé dans la section séries entières, démonstration non exigible.
Hors programme : critère de Cauchy, transformation d'Abel, règle de Raabe-Duhamel, étude systématique des séries semi-convergentes.

Clés de démonstration

Absolue convergence entraîne convergence. Cas réel : u_n = u_n⁺ − u_n⁻ avec u_n⁺ = max(u_n, 0) et u_n⁻ = max(−u_n, 0), deux suites positives majorées par |u_n|, dont les séries convergent par comparaison. En dimension finie, on fixe une base et la norme infinie associée, équivalente à la norme donnée. Chaque coordonnée est majorée en valeur absolue par un multiple de ‖u_n‖, donc chaque série coordonnée converge absolument. Astuce : parties positive et négative, puis coordonnée par coordonnée grâce à l'équivalence des normes.

Comparaison série-intégrale. Pour k ≥ n₀ + 1, la décroissance donne f(k) ≤ f(t) ≤ f(k − 1) sur [k − 1, k], donc l'intégrale de f sur [k, k + 1] ≤ f(k) ≤ l'intégrale de f sur [k − 1, k]. On somme de n₀ + 1 à n. Si l'intégrale converge, les sommes partielles sont majorées et la série à termes positifs converge. Sinon, elles ne sont pas majorées. Astuce : le dessin des rectangles, un seul encadrement, puis on somme.

Règle de d'Alembert. Si l < 1, on choisit q avec l < q < 1. À partir d'un rang N, u_n+1 ≤ q u_n, donc u_n ≤ u_N q^n−N, et on compare à une série géométrique convergente. Si l > 1, à partir d'un certain rang u_n+1 ≥ u_n, la suite est croissante et strictement positive, elle ne tend pas vers 0. Astuce : la limite donne une inégalité stricte pour n grand, que l'on itère.

Sommation des relations de comparaison, cas convergent. Soit ε > 0. Il existe N tel que |u_k| ≤ ε v_k pour k ≥ N. Σ|u_k| converge par comparaison, et pour n ≥ N, |Σ_k>n u_k| ≤ Σ_k>n |u_k| ≤ ε Σ_k>n v_k. C'est exactement R_n(u) = o(R_n(v)). Astuce : on somme l'inégalité sur la queue, le ε sort de la somme. Le cas O est identique avec une constante, le cas équivalent s'obtient en appliquant le cas o à u_n − v_n.

Cas divergent. Même inégalité |u_k| ≤ ε v_k pour k ≥ N. On coupe : |S_n(u)| ≤ |S_N−1(u)| + ε S_n(v) = C + ε S_n(v). Comme S_n(v) tend vers +∞, C ≤ ε S_n(v) à partir d'un certain rang, d'où |S_n(u)| ≤ 2ε S_n(v). Astuce : la partie fixe devient négligeable parce que la somme partielle de référence explose.

Cesàro. Si u_n tend vers l fini, alors u_n − l = o(1), la série de terme constant 1 diverge avec sommes partielles n, donc Σ_k=1ⁿ (u_k − l) = o(n). Si l = +∞, on utilise 1 = o(u_n). Astuce : c'est le cas divergent avec la suite de référence constante égale à 1.

Exemples et contre-exemples à connaître

Σ(−1)ⁿ/n converge par le critère spécial et ne converge pas absolument. L'absolue convergence n'est pas nécessaire.
Les séries de Riemann ont toutes un rapport u_n+1/u_n de limite 1, avec des natures différentes selon α. Le cas l = 1 de d'Alembert est réellement indécis.
Séries de Bertrand : Σ1/(n ln n) diverge et Σ1/(n (ln n)²) converge, par comparaison série-intégrale avec les primitives ln(ln t) et −1/ln t.
u_n = (−1)ⁿ/√n et v_n = u_n + 1/n sont équivalentes, Σu_n converge et Σv_n diverge. Sans signe constant, l'équivalence ne transmet pas la nature.
La suite (−1)ⁿ a des moyennes de Cesàro de limite 0 sans converger. La réciproque de Cesàro est fausse.
La famille a_n,p sur N² définie par a_n,n = 1, a_n,n+1 = −1 et 0 sinon. Pour n fixé, la somme sur p vaut 0, donc Σ_n Σ_p a_n,p = 0. Pour p fixé, la somme sur n vaut 0 si p ≥ 1 et 1 si p = 0, donc Σ_p Σ_n a_n,p = 1. La famille n'est pas sommable et les deux sommes itérées diffèrent.
Le produit de Cauchy de la série de terme général (−1)ⁿ/√(n + 1) par elle-même a un terme général de module au moins 1, car chacun des n + 1 produits a un module ≥ 1/(n + 1). Il diverge grossièrement, l'absolue convergence est indispensable.
f(t) = sin²(πt)/t est positive, continue, non intégrable sur [1, +∞[, alors que f(n) = 0 pour tout entier n. La monotonie est indispensable à la comparaison série-intégrale.

Techniques du chapitre

Technique 1 : équivalent puis Riemann. Mini-exercice : u_n = 1/n − ln(1 + 1/n). Le développement de ln(1 + x) donne u_n ~ 1/(2n²) > 0, donc la série converge.

Technique 2 : somme partielle divergente par comparaison série-intégrale. Mini-exercice : S_n = Σ_k=1ⁿ √k. La fonction racine est croissante, donc l'intégrale de √t sur [k − 1, k] ≤ √k ≤ l'intégrale sur [k, k + 1]. En sommant, (2/3) n^3/2 ≤ S_n ≤ (2/3)((n + 1)^3/2 − 1), donc S_n ~ (2/3) n^3/2. Pour une fonction croissante, l'encadrement est dans l'autre sens.

Technique 3 : reste convergent par comparaison série-intégrale. Mini-exercice : reste R_n de Σ1/k³. Pour t ↦ 1/t³ décroissante, l'intégrale de n + 1 à +∞ ≤ R_n ≤ l'intégrale de n à +∞, soit 1/(2(n + 1)²) ≤ R_n ≤ 1/(2n²), donc R_n ~ 1/(2n²).

Technique 4 : d'Alembert devant une factorielle. Mini-exercice : u_n = n!/nⁿ. Le rapport u_n+1/u_n = (n/(n + 1))ⁿ = (1 + 1/n)⁻ⁿ tend vers 1/e < 1. La série converge.

Technique 5 : lien suite-série pour un développement asymptotique. Mini-exercice : w_n = H_n − ln n, avec H_n = Σ_k=1ⁿ 1/k. On a w_n+1 − w_n = 1/(n + 1) − ln(1 + 1/n) = O(1/n²), série absolument convergente, donc (w_n) converge vers un réel γ, la constante d'Euler, et H_n = ln n + γ + o(1).

Technique 6 : sommation d'équivalents. Mini-exercice : u_n = 1/(n + √n) ~ 1/n > 0. La série harmonique diverge, donc Σ_k=1ⁿ u_k ~ H_n ~ ln n.

Technique 7 : interversion pour une famille positive. Mini-exercice : calculer Σ_k≥2 (ζ(k) − 1), où ζ(k) = Σ_n≥1 1/n^k. Tous les termes 1/n^k avec n ≥ 2 et k ≥ 2 sont positifs, on intervertit : Σ_n≥2 Σ_k≥2 1/n^k = Σ_n≥2 1/(n(n − 1)) = Σ_n≥2 (1/(n − 1) − 1/n) = 1. La somme est finie, donc la famille est sommable et le calcul est justifié.

Technique 8 : série vectorielle par majoration en norme. Mini-exercice : A ∈ M_p(C) et ‖·‖ une norme sous-multiplicative. On a ‖Aⁿ/n!‖ ≤ ‖A‖ⁿ/n!, terme général d'une série convergente, donc ΣAⁿ/n! converge absolument dans M_p(C), de dimension finie. Cela définit exp(A) pour toute matrice.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Séries de Bertrand Classique à maîtriser

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient α et β réels. Déterminer la nature de la série de terme général u_n = 1/(n^α (ln n)^β), n ≥ 2.

Technique comparaison à Riemann hors du cas α = 1, comparaison série-intégrale si α = 1.

Voir le corrigé

1. Cas $\alpha>1$ : comparer à une série de Riemann convergente.

Choisissons $\gamma$ tel que $1<\gamma<\alpha$ . Par croissances comparées,

$n^\gamma u_n=\frac{(\ln n)^{-\beta}}{n^{\alpha-\gamma}}\longrightarrow 0.$

Hypothèses du théorème de comparaison :

$u_n>0$ pour tout $n\ge 2$ ;
$u_n=o(n^{-\gamma})$ ;
la série $\sum n^{-\gamma}$ converge, car $\gamma>1$ .

Donc la série $\sum u_n$ converge.

2. Cas $\alpha<1$ : comparer à la série harmonique.

Par croissances comparées,

$nu_n=n^{1-\alpha}(\ln n)^{-\beta}\longrightarrow +\infty.$

Les termes sont positifs et $u_n\ge 1/n$ à partir d'un certain rang. La série harmonique diverge : par comparaison, $\sum u_n$ diverge.

3. Cas $\alpha=1$ : appliquer la comparaison série-intégrale.

Posons $f(t)=1/[t(\ln t)^\beta]$ pour $t\ge 2$ .

Vérifions les hypothèses avant d'appliquer le théorème :

$f$ est continue sur $[2,+\infty[$ ;
$f$ est strictement positive sur cet intervalle ;
$f$ est décroissante à partir d'un certain rang, car

$f'(t)=-\frac{\ln t+\beta}{t^2(\ln t)^{\beta+1}}<0 \quad\text{pour }t>\max(2,e^{-\beta}).$

Par comparaison série-intégrale, la série et l'intégrale de $f$ sont de même nature. Pour $X>2$ , le changement de variable $u=\ln t$ donne

$\int_2^X\frac{dt}{t(\ln t)^\beta} =\int_{\ln 2}^{\ln X}\frac{du}{u^\beta}.$

Cette intégrale de Riemann converge en $+\infty$ si et seulement si $\beta>1$ .

Conclusion. La série converge si et seulement si

$\boxed{\alpha>1\quad\text{ou}\quad(\alpha=1\text{ et }\beta>1).}$

piège : Oublier de justifier la décroissance de f quand β < 0, ou croire que le logarithme peut changer la nature quand α ≠ 1.

Exercice 2. Terme général d'une série convergente à termes décroissants Classique à maîtriser

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit (u_n) une suite positive décroissante telle que Σu_n converge. Montrer que n u_n tend vers 0.

Technique minorer un bloc de termes consécutifs par le dernier, puis utiliser les restes.

Voir le corrigé

Pour n ≥ 1, la décroissance donne Σ_k=n+1²ⁿ u_k ≥ n u_2n. Le membre de gauche vaut R_n − R_2n, différence de deux restes, et tend vers 0. Donc 2n u_2n tend vers 0.
Pour les rangs impairs, (2n + 1) u_2n+1 ≤ (2n + 1) u_2n = (2n u_2n)(2n + 1)/(2n), qui tend vers 0.
Les deux sous-suites tendent vers 0, donc n u_n tend vers 0.

piège : Oublier la décroissance. Avec u_n = 1/n si n est un carré parfait et 0 sinon, la série converge et n u_n = 1 pour une infinité de n.

Exercice 3. Série divergente et sommes partielles

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit (u_n) à termes strictement positifs avec Σu_n divergente, et S_n sa somme partielle de rang n. Montrer que Σu_n/S_n² converge et que Σu_n/S_n diverge.

Technique télescopage pour la convergence, minoration d'un bloc pour la divergence.

Voir le corrigé

Pour n ≥ 1, u_n/S_n² = (S_n − S_n−1)/S_n² ≤ (S_n − S_n−1)/(S_n S_n−1) = 1/S_n−1 − 1/S_n. La série télescopique converge car 1/S_n tend vers 0, donc Σu_n/S_n² converge par comparaison de séries à termes positifs.
Pour m > n, Σ_k=n+1^m u_k/S_k ≥ (1/S_m) Σ_k=n+1^m u_k = 1 − S_n/S_m, qui tend vers 1 quand m tend vers +∞ à n fixé.
Si Σu_k/S_k convergeait, son reste R_n majorerait chacune de ces sommes de blocs, donc R_n ≥ 1 pour tout n, ce qui contredit R_n → 0. La série diverge.

piège : Chercher un équivalent explicite de u_n/S_n. Le résultat tient sans information sur la vitesse de divergence.

Exercice 4. Développement de la série harmonique Classique à maîtriser

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que H_n = ln n + γ + 1/(2n) + o(1/n).

Technique série des écarts de w_n = H_n − ln n, puis sommation des relations de comparaison sur les restes.

Voir le corrigé

w_n+1 − w_n = 1/(n + 1) − ln(1 + 1/n). Avec 1/(n + 1) = 1/n − 1/n² + o(1/n²) et ln(1 + 1/n) = 1/n − 1/(2n²) + o(1/n²), on obtient w_n+1 − w_n ~ −1/(2n²).
La suite de référence 1/(2n²) est positive et sa série converge, donc Σ(w_n+1 − w_n) converge, (w_n) converge vers γ, et γ − w_n = Σ_k≥n (w_k+1 − w_k) ~ −Σ_k≥n 1/(2k²).
Par comparaison série-intégrale, Σ_k≥n 1/k² ~ 1/n. Donc γ − w_n ~ −1/(2n), soit H_n = ln n + γ + 1/(2n) + o(1/n).

piège : Sommer l'équivalent de 1 à n, ce qui compare des sommes partielles alors que la série converge. Il faut comparer les restes.

Exercice 5. Suite définie par u_n+1 = u_n + 1/u_n Classique à maîtriser

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit u₀ = 1 et u_n+1 = u_n + 1/u_n. Montrer que u_n tend vers +∞, que u_n ~ √(2n), puis que u_n² = 2n + (1/2) ln n + o(ln n).

Technique passer au carré pour obtenir un écart de limite constante, Cesàro, puis sommation d'équivalents.

Voir le corrigé

La suite est strictement positive et croissante. Si elle convergeait vers l > 0, on aurait l = l + 1/l, absurde. Donc u_n tend vers +∞.
u_n+1² = u_n² + 2 + 1/u_n², donc u_n+1² − u_n² tend vers 2. Par Cesàro, (u_n² − u_0²)/n tend vers 2, donc u_n² ~ 2n et u_n ~ √(2n).
En sommant la relation de récurrence, u_n² − 2n − 1 = Σ_k=0ⁿ⁻¹ 1/u_k². Or 1/u_k² ~ 1/(2k), terme positif d'une série divergente, donc par sommation d'équivalents Σ_k=1ⁿ⁻¹ 1/u_k² ~ (1/2) H_n−1 ~ (1/2) ln n. D'où u_n² = 2n + (1/2) ln n + o(ln n).

piège : Écrire u_n ~ √(2n) puis « donc u_n − √(2n) tend vers 0 ». Un équivalent ne donne rien sur la différence.

Exercice 6. Somme partielle de (ln k)/k

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit S_n = Σ_k=1ⁿ (ln k)/k. Donner un équivalent de S_n, puis montrer que S_n − (ln n)²/2 converge.

Technique comparaison série-intégrale avec une fonction décroissante seulement à partir d'un rang, puis série des écarts.

Voir le corrigé

f(t) = (ln t)/t a pour dérivée (1 − ln t)/t², négative pour t ≥ e. Donc f est positive et décroissante sur [3, +∞[, et une primitive est (ln t)²/2.
Pour k ≥ 4, l'intégrale de f sur [k, k + 1] ≤ f(k) ≤ l'intégrale de f sur [k − 1, k]. En sommant de 4 à n, S_n − S₃ est encadré par ((ln(n + 1))² − (ln 4)²)/2 et ((ln n)² − (ln 3)²)/2. Donc S_n ~ (ln n)²/2.
Posons w_n = f(n) − intégrale de f sur [n, n + 1], pour n ≥ 3. L'encadrement donne 0 ≤ w_n ≤ f(n) − f(n + 1), série télescopique convergente car f(n) tend vers 0. Donc Σw_n converge.
Σ_k=3ⁿ w_k = S_n − S₂ − ((ln(n + 1))² − (ln 3)²)/2, donc S_n − (ln(n + 1))²/2 converge. Enfin (ln(n + 1))² − (ln n)² = ln(1 + 1/n)(ln(n + 1) + ln n) tend vers 0, d'où le résultat.

piège : Appliquer l'encadrement dès k = 2 alors que f croît sur [1, e]. Un encadrement faux reste faux, même sur les premiers termes.

Exercice 7. Série géométrique de matrices

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit A ∈ M_p(C) et ‖·‖ une norme sous-multiplicative sur M_p(C) telle que ‖A‖ < 1. Montrer que ΣAⁿ converge, que I − A est inversible et calculer son inverse.

Technique absolue convergence en dimension finie, puis télescopage et continuité du produit.

Voir le corrigé

‖Aⁿ‖ ≤ ‖A‖ⁿ, terme général d'une série géométrique convergente. ΣAⁿ converge absolument, donc converge puisque M_p(C) est de dimension finie. Notons S sa somme et S_n ses sommes partielles.
(I − A) S_n = Σ_k=0ⁿ (A^k − A^k+1) = I − Aⁿ⁺¹, et ‖Aⁿ⁺¹‖ ≤ ‖A‖ⁿ⁺¹ tend vers 0.
L'application X ↦ (I − A)X est linéaire en dimension finie, donc continue. En passant à la limite, (I − A) S = I, et de même S (I − A) = I. Donc I − A est inversible d'inverse S.

piège : Passer à la limite dans un produit sans invoquer la continuité.

Exercice 8. Une série double à termes positifs

Approfondissement · Type oral Centrale

Pour x ∈ [0, 1[, montrer que Σ_n≥1 xⁿ/(1 − xⁿ) = Σ_m≥1 d(m) x^m, où d(m) est le nombre de diviseurs positifs de m.

Technique développer chaque terme en série géométrique, puis sommer par paquets une famille positive.

Voir le corrigé

Pour n ≥ 1, xⁿ/(1 − xⁿ) = Σ_k≥1 x^nk, série géométrique de raison xⁿ ∈ [0, 1[.
La famille (x^nk) indexée par (n, k) ∈ (N*)² est à termes positifs. Sa somme se calcule dans n'importe quel ordre, avec une valeur dans [0, +∞].
On regroupe par paquets selon m = nk. Le paquet d'indice m contient autant de couples (n, k) que de diviseurs n de m, soit d(m) termes égaux à x^m.
Donc Σ_n≥1 Σ_k≥1 x^nk = Σ_m≥1 d(m) x^m. Le membre de gauche est fini, car xⁿ/(1 − xⁿ) ≤ xⁿ/(1 − x), terme général d'une série convergente. La famille est sommable et l'égalité a lieu dans R.

piège : Intervertir sans le dire. Ici la positivité suffit, mais il faut l'énoncer, puis vérifier la finitude pour conclure dans R.

Exercice 9. Équivalent d'une suite définie par le rapport de ses termes

Approfondissement · Type oral Mines

Soit (u_n) strictement positive telle que u_n+1/u_n = 1 − α/n + O(1/n²), avec α réel. Montrer qu'il existe C > 0 tel que u_n ~ C/n^α. En déduire la nature de Σu_n, puis un équivalent à une constante près de (2n)!/(4ⁿ (n!)²).

Technique passer au logarithme, série des écarts, comparaison à 1/n².

Voir le corrigé

Posons v_n = ln(n^α u_n). Alors v_n+1 − v_n = α ln(1 + 1/n) + ln(1 − α/n + O(1/n²)).
Avec ln(1 + x) = x + O(x²), le premier terme vaut α/n + O(1/n²) et le second −α/n + O(1/n²). Donc v_n+1 − v_n = O(1/n²).
Σ1/n² converge, donc Σ(v_n+1 − v_n) converge absolument, (v_n) converge vers un réel L, et n^α u_n tend vers e^L. D'où u_n ~ C/n^α avec C = e^L > 0.
Par équivalence de séries à termes positifs, Σu_n converge si et seulement si α > 1.
Pour u_n = (2n)!/(4ⁿ (n!)²), le rapport vaut (2n + 1)(2n + 2)/(4(n + 1)²) = (2n + 1)/(2n + 2) = 1 − 1/(2(n + 1)) = 1 − 1/(2n) + O(1/n²). Donc u_n ~ C/√n et Σu_n diverge. Stirling précise C = 1/√π.

piège : Conclure « d'Alembert donne 1, on ne sait rien » et s'arrêter. Le terme suivant du développement du rapport contient toute l'information.

Exercice HP. Critère de Dirichlet et série trigonométrique

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en MP

Soit $(a_n)$ une suite de scalaires dont les sommes partielles $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$ vérifient $|A_n|\le C$ . Soit $(b_n)$ une suite positive décroissante qui tend vers zéro. En utilisant l’identité finie de sommation par parties, montrer que $\sum a_n b_n$ converge.
Pour un réel $\theta\notin2\pi\mathbb{Z}$ , calculer une expression de $\sum_{k=1}^n e^{ik\theta}$ et en déduire que $\sum_{k=1}^n \sin(k\theta)$ est bornée indépendamment de $n$ .
Conclure que la série $\sum_{k\ge 1} \sin(k\theta)/k$ converge.

Voir le corrigé

1. Critère de Dirichlet.

L’identité finie donne $\sum_{k=1}^N a_kb_k=A_Nb_N+\sum_{k=1}^{N-1}A_k(b_k-b_{k+1}).$ Le premier terme tend vers zéro puisque $|A_Nb_N|\le Cb_N$ . La série transformée converge absolument, car $\sum |A_k|(b_k-b_{k+1})\le C\sum (b_k-b_{k+1})=Cb_1.$ La somme partielle initiale tend donc vers la somme de cette série transformée.

2. Sommes trigonométriques.

La formule géométrique donne $\sum_{k=1}^n e^{ik\theta}=e^{i\theta}(1-e^{in\theta})/(1-e^{i\theta}).$ Son module est au plus $2/|1-e^{i\theta}|$ ; sa partie imaginaire est donc uniformément bornée.

3. Série sinus.

Appliquons la question 1 avec $a_k=\sin(k\theta)$ et $b_k=1/k$ . La suite $(b_k)$ est positive, décroissante et tend vers zéro. La série converge.

Erreurs fréquentes

Utiliser un équivalent ou la sommation des relations de comparaison avec une suite de référence qui change de signe.
Comparer un reste à une somme partielle. Série convergente, on regarde les restes. Série divergente, les sommes partielles.
Appliquer la comparaison série-intégrale sans monotonie, ou avec un encadrement dans le mauvais sens pour une fonction croissante.
Intervertir deux signes somme sans sommabilité ni positivité, ou faire un produit de Cauchy sans absolue convergence.
Déduire d'un équivalent u_n ~ v_n que u_n − v_n tend vers 0, ou déduire de u_n → 0 la convergence de la série.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP, section « Séries numériques et vectorielles ». Elle couvre les séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie, la comparaison série-intégrale, la règle de d'Alembert et la sommation des relations de comparaison. Les familles sommables et le produit de Cauchy sont traités en fin de fiche, avec indication de leur statut exact dans le programme. Les résultats de première année sur les séries numériques sont rappelés sans démonstration.

Séries numériques et familles sommables

Résumé en cinq points

1Rappels de première année

2Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie

3Comparaison série-intégrale

4Règle de d'Alembert

5Sommation des relations de comparaison

6Familles sommables

7Produit de Cauchy

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Classiques et HP

Identité finie de sommation par parties

Critère de Dirichlet

Exemple : une série trigonométrique

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Séries de Bertrand Classique à maîtriser

Exercice 2. Terme général d'une série convergente à termes décroissants Classique à maîtriser

Exercice 3. Série divergente et sommes partielles

Exercice 4. Développement de la série harmonique Classique à maîtriser

Exercice 5. Suite définie par u_n+1 = u_n + 1/u_n Classique à maîtriser

Exercice 6. Somme partielle de (ln k)/k

Exercice 7. Série géométrique de matrices

Exercice 8. Une série double à termes positifs

Exercice 9. Équivalent d'une suite définie par le rapport de ses termes

Exercice HP. Critère de Dirichlet et série trigonométrique

Erreurs fréquentes

Au concours

Séries numériques et familles sommables

Résumé en cinq points

1Rappels de première année

2Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie

3Comparaison série-intégrale

4Règle de d'Alembert

5Sommation des relations de comparaison

6Familles sommables

7Produit de Cauchy

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Classiques et HP

Identité finie de sommation par parties

Critère de Dirichlet

Exemple : une série trigonométrique

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Séries de Bertrand Classique à maîtriser

Exercice 2. Terme général d'une série convergente à termes décroissants Classique à maîtriser

Exercice 3. Série divergente et sommes partielles

Exercice 4. Développement de la série harmonique Classique à maîtriser

Exercice 5. Suite définie par un+1 = un + 1/un Classique à maîtriser

Exercice 6. Somme partielle de (ln k)/k

Exercice 7. Série géométrique de matrices

Exercice 8. Une série double à termes positifs

Exercice 9. Équivalent d'une suite définie par le rapport de ses termes

Exercice HP. Critère de Dirichlet et série trigonométrique

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 5. Suite définie par u_n+1 = u_n + 1/u_n Classique à maîtriser