Le cours

Résumé en cinq points

Une intégrale généralisée converge si les intégrales partielles ont une limite finie, borne par borne. Pour une fonction de signe constant, cela équivaut à l'intégrabilité.
Les références sont Riemann ( $\alpha > 1$ en $+\infty$ , $\alpha < 1$ en une borne finie) et l'exponentielle. Tout se ramène à elles par équivalents.
Intégrable signifie convergence absolue, ce qui est strictement plus fort que la convergence, comme le montre $\dfrac{\sin t}{t}$ .
Le théorème de convergence dominée demande convergence simple et domination par une fonction intégrable indépendante de $n$ . Il ne demande aucune uniformité.
Pour les intégrales à paramètre, on vérifie la régularité en $x$ , l'intégrabilité en $t$ , et une domination, valable seulement sur tout segment.

Pourquoi ce chapitre

En première année, l'intégrale était définie sur un segment, pour une fonction continue par morceaux donc bornée. Beaucoup d'objets utiles échappent à ce cadre.

L'intégrale de $\e^{-t^2}$ sur $\R$ , la fonction Gamma, les transformées de Fourier et de Laplace demandent d'intégrer sur un intervalle non borné, ou au voisinage d'un point où la fonction n'est pas bornée.
Ce chapitre définit d'abord ce que veut dire converger dans ces situations, puis distingue convergence et intégrabilité.
Il fournit ensuite deux outils de passage à la limite : le théorème de convergence dominée et le théorème d'intégration terme à terme.
Il se termine par les intégrales à paramètre, pendant continu du chapitre sur les séries de fonctions.

Le programme insiste sur un point de rédaction : on vérifie les hypothèses cruciales (convergence simple, domination, sommabilité), sans détailler la continuité par morceaux en la variable d'intégration.

1Intégrales généralisées sur KXF3FXK

1.1Définition

Définition 1.1Intégrale convergente

Soit $f$ continue par morceaux de $[a, +\infty[$ dans $\K$ . L'intégrale $\int_a^{+\infty} f$ est convergente si la fonction $x \mapsto \int_a^x f$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $+\infty$ . Cette limite est notée $\int_a^{+\infty} f(t)\,\dd t$ .

Propriété 1.2Dérivation du reste

Hypothèses

$f$ est continue sur $[a, +\infty[$ ;
l'intégrale $\int_a^{+\infty} f$ converge.

Alors $x \mapsto \int_x^{+\infty} f$ est dérivable, de dérivée $-f(x)$ .

1.2Cas des fonctions positives

Si $f$ est positive, la fonction $x \mapsto \int_a^x f$ est croissante. Elle a donc une limite finie si et seulement si elle est majorée. Sinon, la limite est $+\infty$ et on écrit $\int_a^{+\infty} f = +\infty$ .

Théorème 1.3Comparaison élémentaire

Hypothèses

$f$ et $g$ sont continues par morceaux sur $[a, +\infty[$ ;
$0 \leqslant f \leqslant g$ .

Alors la convergence de $\int_a^{+\infty} g$ entraîne celle de $\int_a^{+\infty} f$ . Par contraposée, la divergence de l'intégrale de $f$ entraîne celle de l'intégrale de $g$ .

1.3Les deux références à connaître

Propriété 1.4Intégrales de Riemann en $+\infty$

L'intégrale $\int_1^{+\infty} \dfrac{\dd t}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ .

Propriété 1.5Intégrales exponentielles

L'intégrale $\int_0^{+\infty} \e^{-at}\,\dd t$ converge si et seulement si $a > 0$ , et elle vaut alors $\dfrac{1}{a}$ .

Ces deux familles servent de mètre étalon dans presque tous les exercices.

2Intégrabilité

2.1Définition

Définition 2.1Fonction intégrable

Une fonction $f$ est intégrable sur $[a, +\infty[$ si elle y est continue par morceaux et si $\int_a^{+\infty} \abs{f}$ converge. On dit indifféremment que $f$ est intégrable ou que son intégrale converge absolument.

Théorème 2.2Intégrable implique convergente

Si $f$ est intégrable sur $[a, +\infty[$ , alors son intégrale converge. La réciproque est fausse.

Pour une fonction de signe constant, convergence et intégrabilité sont la même chose. La distinction ne prend donc son sens que pour des fonctions changeant de signe.

Exemple 2.3Intégrale semi-convergente

L'intégrale $\int_1^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t}\,\dd t$ converge, par une intégration par parties, alors que la fonction n'est pas intégrable. On parle d'intégrale semi-convergente.

Le programme précise que l'étude de ces intégrales n'est pas un objectif, mais l'existence du phénomène doit être connue.

Remarque

Un calcul montrant que $\int_I \abs{f}$ est finie vaut preuve d'intégrabilité. De même, pour une fonction positive, un calcul aboutissant à un résultat fini vaut preuve de convergence.

2.2Théorème de comparaison

Théorème 2.4Comparaison

Hypothèses

$f$ et $g$ sont continues par morceaux sur $[a, +\infty[$ , à valeurs dans $\K$ .

Alors :

si $f(x) = O(g(x))$ quand $x \to +\infty$ , et en particulier si $f(x) = o(g(x))$ , l'intégrabilité de $g$ entraîne celle de $f$ ;
si $f(x) \sim g(x)$ quand $x \to +\infty$ , alors $f$ est intégrable si et seulement si $g$ l'est.

Attention

Pour les équivalents, l'énoncé porte sur l'intégrabilité, donc sur la convergence absolue. Il ne dit rien sur la simple convergence de deux intégrales d'intégrandes équivalents changeant de signe.

3Intervalle quelconque

3.1Définitions

Sur un intervalle semi-ouvert $[a, b[$ , avec $b$ fini ou égal à $+\infty$ , la convergence de l'intégrale se définit de la même façon : $x \mapsto \int_a^x f$ a une limite finie quand $x$ tend vers $b$ .

Définition 3.1Intervalle ouvert

Sur un intervalle ouvert $]a, b[$ , on choisit un point $c$ intérieur et l'intégrale converge si les deux intégrales, de $a$ à $c$ et de $c$ à $b$ , convergent. La nature du résultat ne dépend pas du choix de $c$ , et on somme les deux valeurs.

Attention

Il faut traiter les deux bornes séparément : c'est une source d'erreurs fréquente.

Définition 3.2Fonction intégrable sur $I$

Une fonction est intégrable sur l'intervalle $I$ si elle y est continue par morceaux et si son intégrale sur $I$ converge absolument. L'ensemble des fonctions intégrables de $I$ dans $\K$ se note $L^1(I, \K)$ .

C'est un espace vectoriel, et l'intégrale y est linéaire. L'inégalité triangulaire donne $\left|\int_I f\right| \leqslant \int_I \abs{f}$ .

3.2Propriétés

Les intégrales généralisées convergentes vérifient la linéarité, la positivité, la croissance et la relation de Chasles, comme sur un segment.

Propriété 3.3Nullité d'une intégrale

Hypothèses

$f$ est continue et intégrable sur $I$ , à valeurs positives ;
$\int_I f = 0$ .

Alors $f$ est identiquement nulle.

Attention

La continuité est indispensable : le résultat tombe pour une fonction continue par morceaux.

3.3Riemann en une borne finie

Propriété 3.4Riemann en une borne finie

Pour $\alpha$ réel, l'intégrale $\int_a^b \dfrac{\dd x}{\abs{x-a}^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha < 1$ .

Noter l'inversion par rapport au cas en $+\infty$ , où il fallait $\alpha > 1$ .

MéthodeSe ramener à l'étude en 0 ou en $+\infty$

Pour la borne $a$ , étudier $t \mapsto f(a+t)$ en $0$ : $f$ est intégrable en $a$ si et seulement si cette fonction l'est.
Pour la borne $b$ , étudier $t \mapsto f(b-t)$ en $0$ : $f$ est intégrable en $b$ si et seulement si cette fonction l'est.

3.4Intégration par parties et changement de variable

Théorème 3.5Intégration par parties

Hypothèses

$f$ et $g$ sont de classe $C^1$ sur $]a, b[$ ;
le produit $fg$ admet des limites finies aux deux bornes.

Alors les intégrales de $fg'$ et de $f'g$ sont de même nature, et en cas de convergence : $\int_a^b f g' = \big[fg\big]_a^b - \int_a^b f' g.$

Théorème 3.6Changement de variable

Hypothèses

$f$ est continue sur $]a, b[$ ;
$\varphi : ]\alpha, \beta[ \to ]a, b[$ est bijective, strictement croissante et de classe $C^1$ .

Alors $\int_a^b f(t)\,\dd t$ et $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,\dd u$ sont de même nature et égales en cas de convergence. Le résultat s'adapte au cas où $\varphi$ est strictement décroissante, en échangeant les bornes.

Pour les changements de variable usuels, le programme dispense de justifier les hypothèses.

3.5Intégration des relations de comparaison

On peut intégrer des relations de comparaison (domination, négligeabilité, équivalence), soit sur les restes quand l'intégrale converge, soit sur les intégrales partielles quand elle diverge. La fonction de référence doit être réelle de signe constant. C'est l'analogue continu de la sommation des relations de comparaison pour les séries.

4Théorème de convergence dominée

Théorème 4.1Convergence dominée

Hypothèses

$(f_n)$ est une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\K$ ;
$(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux ;
il existe $\varphi$ positive et intégrable sur $I$ telle que $\abs{f_n} \leqslant \varphi$ sur $I$ , pour tout $n$ .

Alors chaque $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$ , et $\int_I f_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_I f.$

La démonstration est hors programme. Trois points de vigilance :

l'hypothèse de domination doit être indépendante de $n$ : une majoration du type $\abs{f_n(t)} \leqslant n\varphi(t)$ ne sert à rien ;
la fonction dominante doit être intégrable : sur un intervalle non borné, la fonction constante égale à $1$ ne convient pas ;
il n'y a aucune hypothèse de convergence uniforme. C'est la supériorité de ce théorème sur ceux du chapitre des suites de fonctions, qui exigeaient l'uniformité et se limitaient aux segments.

Exemple 4.2Contre-exemple sans domination

Sur $[0, +\infty[$ , soit $f_n$ valant $1/n$ sur $[0, n]$ et $0$ ailleurs. La suite converge simplement vers $0$ , l'intégrale vaut $1$ pour tout $n$ . Aucune fonction dominante intégrable n'existe.

Remarque

Le théorème s'étend à une famille à paramètre réel $(f_\lambda)$ indexée par un intervalle $J$ , la conclusion portant sur la limite quand $\lambda$ tend vers une borne de $J$ . En pratique on peut aussi utiliser la caractérisation séquentielle des limites.

5Intégration terme à terme

Deux énoncés, à ne pas confondre. Dans les deux cas les $f_n$ sont continues par morceaux et intégrables sur $I$ , la série de fonctions $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ , et sa somme est continue par morceaux. Les démonstrations sont hors programme.

Théorème 5.1Version positive

Hypothèses

les $f_n$ sont à valeurs dans $\R_+$ ;
les hypothèses communes ci-dessus.

Alors, sans hypothèse supplémentaire, dans $[0, +\infty]$ : $\int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n.$ En particulier, la somme est intégrable sur $I$ si et seulement si la série des $\int_I f_n$ converge.

Théorème 5.2Version générale

Hypothèses

les $f_n$ sont à valeurs dans $\K$ ;
$\sum \int_I \abs{f_n}$ converge ;
les hypothèses communes ci-dessus.

Alors la somme de la série est intégrable sur $I$ et l'intégrale de la somme est la somme des intégrales.

L'hypothèse de la version générale est une hypothèse de sommabilité, pas une hypothèse de domination. C'est elle qui fait l'analogie annoncée par le programme avec la théorie des familles sommables.

Quand cette hypothèse échoue, il reste une porte de sortie : on applique le théorème de convergence dominée à la suite des sommes partielles, à condition de trouver une domination de ces sommes partielles.

Exemple 5.3Exemple classique

Pour $x > 1$ et $t > 0$ , on écrit $\dfrac{1}{\e^t - 1}$ comme somme de la série géométrique de terme général $\e^{-nt}$ pour $n \geqslant 1$ . Tous les termes sont positifs, donc la version positive s'applique et donne $\int_0^{+\infty} \dfrac{t^{x-1}}{\e^t - 1}\,\dd t$ comme somme d'une série.

6Intégrales à paramètre

Dans toute cette section, $I$ est un intervalle de $\R$ et $f$ est définie sur $A \times I$ à valeurs dans $\K$ . La fonction étudiée est $g(x) = \int_I f(x, t)\,\dd t$ .

6.1Continuité

Théorème 6.1Continuité sous l'intégrale

Hypothèses

$A$ est une partie d'un espace normé de dimension finie ;
pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x, t)$ est continue sur $A$ ;
pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
il existe $\varphi$ positive intégrable sur $I$ telle que $\abs{f(x, t)} \leqslant \varphi(t)$ pour tout $x \in A$ et tout $t \in I$ .

Alors $g$ est définie et continue sur $A$ .

6.2Classe $C^1$

Théorème 6.2Dérivation sous l'intégrale

Hypothèses

$A$ et $I$ sont deux intervalles de $\R$ ;
pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f(x, t)$ est de classe $C^1$ sur $A$ ;
pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $I$ ;
pour tout $x \in A$ , $t \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
il existe $\varphi$ positive intégrable sur $I$ telle que $\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t)\right| \leqslant \varphi(t)$ pour tout $x \in A$ .

Alors $g$ est de classe $C^1$ sur $A$ et $g'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,\dd t.$

Attention

L'intégrabilité est demandée sur $f$ elle-même, la domination sur sa dérivée partielle. C'est l'erreur classique.

6.3Classe $C^k$

Propriété 6.3Extension à $C^k$

Hypothèses

les dérivées partielles $\dfrac{\partial^j f}{\partial x^j}(x, \cdot)$ sont intégrables sur $I$ pour $j$ de $0$ à $k-1$ ;
la dérivée partielle d'ordre $k$ est dominée par une fonction intégrable indépendante de $x$ .

Alors $g$ est de classe $C^k$ et on dérive $k$ fois sous le signe intégrale.

6.4Domination locale

La domination globale sur $A$ est rarement vraie. Le programme autorise à vérifier la domination sur tout segment de $A$ , ou sur des intervalles adaptés. Comme continuité et dérivabilité sont des propriétés locales, cela suffit pour conclure sur $A$ tout entier.

6.5Exemple complet, la fonction Gamma

Exemple 6.4Fonction Gamma

Pour $x > 0$ , on pose $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}\e^{-t}\,\dd t$ .

Existence. En $0$ , l'intégrande est équivalent à $t^{x-1}$ , intégrable puisque $1 - x < 1$ . En $+\infty$ , il est négligeable devant $1/t^2$ , par croissance comparée. Donc l'intégrale converge pour tout $x > 0$ .

Régularité. Sur un segment $[\alpha, \beta]$ inclus dans $]0, +\infty[$ , on domine la dérivée partielle par rapport à $x$ , qui vaut $\ln(t)\,t^{x-1}\e^{-t}$ , par $\abs{\ln t}\,(t^{\alpha-1} + t^{\beta-1})\,\e^{-t},$ intégrable sur $]0, +\infty[$ . Le théorème de dérivation sous l'intégrale s'applique sur tout segment, donc $\Gamma$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$ . En itérant, $\Gamma$ est de classe $C^\infty$ .

Relation fonctionnelle. Une intégration par parties donne $\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)$ . Comme $\Gamma(1) = 1$ , on en déduit $\Gamma(n+1) = n!$ pour tout entier naturel $n$ .

Méthodes

MéthodeÉtudier la nature d'une intégrale

Lister les bornes à problème (bornes infinies, points où la fonction n'est pas définie ou pas bornée) et traiter chaque borne séparément.
En chaque borne, chercher un équivalent simple de l'intégrande et comparer à une intégrale de Riemann.
Pour une fonction changeant de signe, tenter d'abord l'intégrabilité en majorant le module. Ne passer à une intégration par parties que si l'intégrabilité échoue.

MéthodeLimite d'intégrales

Chercher la limite simple de l'intégrande.
Chercher une majoration indépendante du paramètre, par une fonction intégrable.
Conclure par convergence dominée.

MéthodeÉchanger une somme et une intégrale

Tester d'abord la version positive du théorème d'intégration terme à terme, plus simple à justifier.
Sinon, vérifier la sommabilité de la version générale.

MéthodeIntégrale à paramètre

Écrire les quatre hypothèses dans l'ordre : régularité en $x$ , continuité par morceaux en $t$ , intégrabilité, domination.
Ne pas chercher une domination valable sur tout le domaine : se placer sur un segment.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner la nature des intégrales de Riemann en $+\infty$ et en une borne finie, et ne pas confondre les deux conditions.
Étudier la convergence et l'intégrabilité d'une intégrale du type $\dfrac{\ln t}{1+t^2}$ ou $\dfrac{t^a}{1+t^b}$ sur $]0, +\infty[$ .
Expliquer la différence entre intégrale convergente et fonction intégrable, avec l'exemple de $\dfrac{\sin t}{t}$ .
Énoncer le théorème de convergence dominée avec ses hypothèses exactes, et donner un contre-exemple sans domination.
Calculer une limite d'intégrales par convergence dominée, par exemple $\int_0^1 n t^n f(t)\,\dd t$ .
Énoncer les deux versions du théorème d'intégration terme à terme et dire laquelle s'applique sur un exemple donné.
Justifier la continuité puis le caractère $C^1$ d'une intégrale à paramètre, avec domination sur tout segment.
Mener l'étude complète de $\Gamma$ : existence, régularité, relation $\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)$ .

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour MP.

APPLICATION DU COURS Intégrales de Wallis et de Gauss

La récurrence de Wallis, son équivalent et l’intégrale de Gauss sont établis dans la fiche. Ces résultats classiques sont mobilisés dans des sujets officiels de Centrale-Supélec; ils ne sont pas utilisés ici comme des résultats admis.

MP, intégration et convergence

Prérequis

Intégration par parties
Théorème de convergence dominée
Équivalents de suites

PropositionRécurrence de Wallis

$W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n,\qquad W_0=\frac{\pi}{2},\quad W_1=1.$

Démonstration

Pour $n\in\N$ , posons $W_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\,\dd t$ . Une intégration par parties fournit $W_{n+2}=(n+1)(W_n-W_{n+2})$ , donc, pour tout $n\in\N$ ,

ThéorèmeÉquivalent de Wallis

$W_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}.$

Démonstration

Comme $0\le\cos t\le1$ , la suite $(W_n)$ est décroissante. La récurrence entraîne que $(n+1)W_nW_{n+1}$ est constante; sa valeur en $n=0$ donne

$(n+1)W_nW_{n+1}=\frac{\pi}{2}.$

De plus, $1\ge W_{n+1}/W_n\ge W_{n+2}/W_n=(n+1)/(n+2)$ , donc $W_{n+1}/W_n\to1$ . L’identité précédente fournit alors

ThéorèmeIntégrale de Gauss

$I=\lim_{n\to+\infty}\sqrt n\,W_{2n+1}=\frac{\sqrt\pi}{2}.$

Par parité, $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,\dd x=\sqrt\pi$ .

Démonstration

Calculons ensuite $I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\dd x$ . Pour $n\ge1$ , prolongeons par zéro à $[0,+\infty[$ la fonction $f_n(x)=(1-x^2/n)^n$ définie sur $[0,\sqrt n]$ . Pour tout $x\ge0$ , $f_n(x)\to e^{-x^2}$ . L’inégalité $\ln(1-u)\le-u$ pour $0\le u<1$ donne $f_n(x)\le e^{-x^2}$ ; aux extrémités et hors du support, cette majoration reste vraie. Sur $[0,1]$ , $0\le f_n\le1$ ; pour $x\ge1$ , $0\le f_n(x)\le e^{-x^2}\le e^{-x}$ . Le théorème de convergence dominée s’applique avec le majorant intégrable $\mathbf1_{[0,1]}+e^{-x}\mathbf1_{[1,+\infty[}$ .

Le changement de variable $x=\sqrt n\sin t$ donne $\int_0^{+\infty}f_n(x)\,\dd x=\sqrt n\,W_{2n+1}$ . En passant à la limite et en utilisant l’équivalent de Wallis,

Aller à l’exercice associé

Sources

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Pour f positive continue par morceaux sur [a, +∞[, l'intégrale converge si et seulement si x ↦ ∫ de a à x de f est majorée. Démonstration exigible.
Comparaison positive : si 0 ≤ f ≤ g, la convergence de ∫ g entraîne celle de ∫ f. Démonstration exigible.
Riemann en +∞ : ∫ de 1 à +∞ de dt/t^α converge si et seulement si α > 1. Riemann en une borne finie a : ∫ de a à b de dx/|x − a|^α converge si et seulement si α < 1. Exponentielle : ∫ de 0 à +∞ de e^−at dt converge si et seulement si a > 0. Démonstrations exigibles.
Une fonction intégrable a une intégrale convergente. La réciproque est fausse. Démonstration exigible.
Comparaison par O, o et équivalent, en une borne quelconque, pour l'intégrabilité. Démonstration exigible.
L¹(I, K) est un espace vectoriel, l'intégrale y est linéaire, et |∫ f| ≤ ∫ |f|. Exigible.
Une fonction f continue, positive, intégrable sur I et d'intégrale nulle est nulle. Démonstration exigible. L'hypothèse de continuité est indispensable.
Intégration par parties et changement de variable sur un intervalle quelconque. Exigibles. Pour les calculs pratiques, on ne rappelle pas les hypothèses de régularité.
Intégration des relations de comparaison sur les restes ou sur les intégrales partielles, avec une fonction de référence réelle de signe constant. Exigible.
Théorème de convergence dominée, avec son extension à un paramètre réel. Démonstration hors programme.
Intégration terme à terme, version positive dans [0, +∞] et version générale sous l'hypothèse Σ ∫ |f_n| < +∞. Démonstrations hors programme.
Continuité, classe C¹ et classe C^k d'une intégrale à paramètre, avec domination sur tout segment. Ce sont des conséquences de la convergence dominée. Savoir en donner l'idée.
Hors programme : l'intégrale de Lebesgue, le critère d'Abel pour les intégrales. L'étude systématique des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif. Les intégrales de Bertrand ne sont pas des références du cours et doivent être redémontrées.

Clés de démonstration

Critère de majoration pour une fonction positive. Si f ≥ 0, la fonction F(x) = ∫ de a à x de f est croissante. Le théorème de la limite monotone donne une limite finie si F est majorée, et la limite +∞ sinon. Astuce : tout le cas positif repose sur la limite monotone.

Intégrable implique convergente. Pour f réelle, on écrit f = f⁺ − f⁻ avec 0 ≤ f⁺ ≤ |f| et 0 ≤ f⁻ ≤ |f|. La comparaison positive fait converger les deux intégrales, puis on conclut par linéarité. Pour f complexe, on applique ce résultat aux parties réelle et imaginaire, toutes deux majorées par |f|. Astuce : se ramener au positif par la décomposition f⁺, f⁻.

Comparaison par O. Si f = O(g) en +∞, il existe M et A tels que |f| ≤ M|g| sur [A, +∞[. On applique la comparaison positive sur [A, +∞[, et le segment [a, A] ne pose aucun problème. Pour un équivalent, au voisinage de la borne on a |g|/2 ≤ |f| ≤ 2|g|, ce qui donne les deux sens. Astuce : une relation de comparaison ne sert que sur un voisinage de la borne, on coupe par Chasles.

Nullité d'une fonction continue positive d'intégrale nulle. On note F(x) l'intégrale de f entre un point fixe c et x. F est croissante, et la positivité avec l'intégrale totale nulle forcent F à être constante. Comme f est continue, F′ = f, donc f est nulle. Astuce : le théorème fondamental de l'analyse, qui exige la continuité.

Intégration par parties et changement de variable. On écrit la formule sur un segment [x, y] contenu dans ]a, b[, puis on fait tendre x vers a et y vers b. L'existence de limites finies pour le crochet donne l'égalité de nature. Astuce : tout se démontre sur un segment puis se prolonge par passage à la limite.

Intégration des relations de comparaison. Si f = o(g) en +∞ avec g ≥ 0 intégrable, on fixe ε > 0, puis A tel que |f| ≤ εg au-delà de A. Pour x ≥ A, le reste de f en x est majoré par ε fois le reste de g. Astuce : c'est la même preuve que pour les séries, avec la définition de o par ε.

Continuité d'une intégrale à paramètre. Soit x_n → x dans A. La suite t ↦ f(x_n, t) converge simplement vers f(x, t), et elle est dominée par φ. La convergence dominée donne g(x_n) → g(x). Astuce : la caractérisation séquentielle transforme le paramètre en indice n.

Classe C¹. On écrit le taux d'accroissement (g(x_n) − g(x))/(x_n − x) comme une intégrale. L'inégalité des accroissements finis majore l'intégrande par φ(t). La convergence dominée donne la limite, puis la continuité de la dérivée vient du théorème précédent. Astuce : la domination de la dérivée partielle, via les accroissements finis, domine les taux d'accroissement.

Relation Γ(x + 1) = xΓ(x). On intègre par parties t^x e^−t en dérivant t^x. Le crochet t^x e^−t tend vers 0 en 0 car x > 0, et en +∞ par croissance comparée. Astuce : vérifier les limites du crochet avant de séparer les intégrales.

Exemples et contre-exemples à connaître

∫ de 0 à +∞ de dt/t^α diverge pour tout α. Il faudrait α < 1 en 0 et α > 1 en +∞. C'est l'exemple qui montre qu'on traite les bornes séparément.
t ↦ ln t est intégrable sur ]0, 1] bien que non bornée, d'intégrale −1. Intégrabilité et bornitude sont indépendantes.
sin(t)/t sur [1, +∞[ a une intégrale convergente sans être intégrable. C'est le contre-exemple à la réciproque de « intégrable implique convergente ».
Une fonction continue, positive, intégrable sur [0, +∞[ ne tend pas forcément vers 0. Des triangles de hauteur 1 et de base 1/n² centrés en chaque entier n ≥ 2 en donnent une.
f(t) = sin(t)/√t et g(t) = f(t) + sin²(t)/t sont équivalentes en +∞. Pourtant ∫ f converge et ∫ g diverge. Les équivalents ne transmettent pas la simple convergence.
La fonction valant 1 en 0 et 0 ailleurs sur [0, 1] est positive, continue par morceaux, d'intégrale nulle, et non nulle. La continuité est indispensable dans le résultat de nullité.
f_n(t) = n² t e^−nt sur [0, +∞[ tend simplement vers 0, mais son intégrale vaut 1 pour tout n. Toute la masse se concentre près de 0 et aucune domination intégrable n'est possible.
Γ(1/2) = √π, par le changement t = u² qui ramène à l'intégrale de Gauss ∫ de 0 à +∞ de e^−u² du = √π/2.

Techniques du chapitre

Technique 1 : isoler les bornes et chercher un équivalent. Mini-exercice : ∫ de 0 à 1 de dt/√(t(1 − t)). En 0, l'intégrande est équivalent à 1/√t, et en 1 à 1/√(1 − t). Riemann avec α = 1/2 < 1 aux deux bornes, donc la fonction est intégrable.

Technique 2 : la règle t²f(t) → 0. Mini-exercice : ∫ de 1 à +∞ de t¹⁰⁰ e^−t dt. Par croissance comparée, t² × t¹⁰⁰ e^−t tend vers 0, donc l'intégrande est o(1/t²). Il est intégrable en +∞.

Technique 3 : majorer le module avant tout. Mini-exercice : ∫ de 1 à +∞ de cos(t)/t² dt. On a |cos(t)/t²| ≤ 1/t², intégrable. La fonction est intégrable, donc l'intégrale converge, sans aucune intégration par parties.

Technique 4 : changer de variable pour simplifier. Mini-exercice : ∫ de 0 à +∞ de e^−√t dt. Avec t = u², on obtient ∫ de 0 à +∞ de 2u e^−u du = 2Γ(2) = 2. Le calcul fini vaut preuve de convergence, puisque l'intégrande est positif.

Technique 5 : convergence dominée sur un segment. Mini-exercice : ∫ de 0 à π/2 de sinⁿ(t) dt. La limite simple est nulle sur [0, π/2[ et vaut 1 en π/2. Elle est continue par morceaux. La domination par 1 est intégrable sur ce segment, donc la limite de l'intégrale est 0.

Technique 6 : terme à terme en version positive. Mini-exercice : ∫ de 0 à +∞ de t/(e^t − 1) dt. Pour t > 0, l'intégrande vaut la somme sur n ≥ 1 de t e^−nt, termes positifs d'intégrale 1/n². L'intégrale vaut Σ 1/n² = π²/6, en admettant cette valeur.

Technique 7 : domination sur un segment ou une demi-droite. Mini-exercice : continuité de F(x) = ∫ de 0 à +∞ de e^−xt² dt sur ]0, +∞[. Pour a > 0 et x ≥ a, on a e^−xt² ≤ e^−at², intégrable et indépendant de x. F est continue sur chaque [a, +∞[, donc sur ]0, +∞[.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Intégrabilité d'une fraction de puissances

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit a réel et b > 0. Pour quelles valeurs la fonction t ↦ t^a/(1 + t^b) est-elle intégrable sur ]0, +∞[ ?

Technique équivalent à chaque borne et Riemann, avec des conditions opposées.

Voir le corrigé

En 0, comme b > 0, t^b → 0, donc l'intégrande est équivalent à t^a = 1/t^−a. Il est intégrable en 0 si et seulement si −a < 1, soit a > −1.
En +∞, comme b > 0, l'intégrande est équivalent à t^{a − b}. Il est intégrable en +∞ si et seulement si b − a > 1.
La fonction est positive, donc intégrable sur ]0, +∞[ si et seulement si −1 < a < b − 1. Cet intervalle est non vide puisque b > 0.

piège : Écrire une seule condition, ou inverser les sens des inégalités entre 0 et +∞.

Exercice 2. Une intégrale nulle par symétrie

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que t ↦ ln(t)/(1 + t²) est intégrable sur ]0, +∞[ et calculer son intégrale.

Technique croissance comparée, puis changement de variable u = 1/t.

Voir le corrigé

En 0, l'intégrande est équivalent à ln t, et |ln t| = o(1/√t). Il est donc intégrable en 0.
En +∞, t^3/2 ln(t)/(1 + t²) → 0, donc l'intégrande est o(1/t^3/2). Il est intégrable en +∞.
On coupe en 1. Sur ]0, 1], on pose t = 1/u, dt = −du/u². On obtient ∫ de 0 à 1 de ln(t)/(1 + t²) dt = −∫ de 1 à +∞ de ln(u)/(1 + u²) du.
Les deux morceaux se compensent : l'intégrale vaut 0.

piège : Faire le changement de variable sur ]0, +∞[ entier. On retombe sur I = −I, ce qui ne donne I = 0 qu'une fois la convergence établie.

Exercice 3. Le sinus cardinal

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que ∫ de 0 à +∞ de sin(t)/t dt converge, mais que la fonction n'est pas intégrable.

Technique intégration par parties pour la convergence, minoration par sin² pour la non-intégrabilité.

Voir le corrigé

En 0, la fonction se prolonge par continuité par 1. Il n'y a pas de problème.
Sur [1, x], une intégration par parties donne ∫ sin(t)/t dt = [−cos(t)/t] de 1 à x − ∫ de 1 à x de cos(t)/t² dt. Le crochet a une limite finie et cos(t)/t² est intégrable. L'intégrale converge.
Comme |sin t| ≤ 1, on a |sin t| ≥ sin² t = (1 − cos 2t)/2. Donc |sin t|/t ≥ 1/(2t) − cos(2t)/(2t).
∫ de 1 à x de cos(2t)/(2t) dt a une limite finie, par la même intégration par parties. ∫ de 1 à x de dt/(2t) tend vers +∞. Donc ∫ de 1 à x de |sin t|/t dt tend vers +∞.

piège : Minorer |sin t| par une constante, ce qui est faux près des multiples de π.

Exercice 4. Une limite qui ne se traite pas directement

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f continue sur [0, 1]. Déterminer la limite de ∫ de 0 à 1 de n tⁿ f(t) dt.

Technique changement de variable pour faire apparaître une domination.

Voir le corrigé

La limite simple de n tⁿ f(t) est nulle sur [0, 1[. Si f(1) ≠ 0, aucune domination intégrable n'existe : sinon la convergence dominée donnerait 0, et non f(1).
On pose t = u^1/n, dt = (1/n) u^{1/n − 1} du. On obtient ∫ de 0 à 1 de u^1/n f(u^1/n) du.
Pour u ∈ ]0, 1], u^1/n → 1, donc l'intégrande tend vers f(1) par continuité de f. Il est dominé par le maximum de |f|, intégrable sur [0, 1].
La limite vaut f(1).

piège : Conclure 0 à partir de la limite simple de l'intégrande initial.

Exercice 5. Γ comme limite d'intégrales

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit x > 0. Montrer que ∫ de 0 à n de (1 − t/n)ⁿ t^x−1 dt tend vers Γ(x).

Technique prolonger par 0 pour intégrer sur un intervalle fixe, puis dominer grâce à ln(1 − u) ≤ −u.

Voir le corrigé

On pose f_n(t) = (1 − t/n)ⁿ t^x−1 si 0 < t ≤ n, et f_n(t) = 0 si t > n. L'intégrale étudiée est celle de f_n sur ]0, +∞[.
Pour t > 0 fixé et n > t, n ln(1 − t/n) → −t, donc f_n(t) → e^−t t^x−1.
Pour 0 < t < n, ln(1 − t/n) ≤ −t/n, donc (1 − t/n)ⁿ ≤ e^−t. Ainsi 0 ≤ f_n(t) ≤ t^x−1 e^−t pour tout t > 0.
Ce dominant est intégrable sur ]0, +∞[ car x > 0. La convergence dominée donne la limite Γ(x).

piège : Oublier le prolongement par 0 et appliquer le théorème sur l'intervalle ]0, n], qui dépend de n.

Exercice 6. Une série de Riemann par intégration

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Montrer que ∫ de 0 à 1 de −ln(t)/(1 − t) dt = Σ pour n ≥ 1 de 1/n².

Technique série géométrique, version positive de l'intégration terme à terme.

Voir le corrigé

Pour t ∈ ]0, 1[, −ln(t)/(1 − t) = Σ pour n ≥ 0 de −tⁿ ln t. Chaque terme est positif.
Une intégration par parties donne ∫ de 0 à 1 de tⁿ ln t dt = −1/(n + 1)². Le crochet tⁿ⁺¹ ln(t)/(n + 1) tend vers 0 en 0.
La version positive donne, dans [0, +∞], ∫ de 0 à 1 de −ln(t)/(1 − t) dt = Σ pour n ≥ 0 de 1/(n + 1)².
Cette somme est finie, ce qui prouve au passage l'intégrabilité. En admettant la valeur de Σ 1/n², l'intégrale vaut π²/6.

piège : Chercher une domination ou vérifier Σ ∫ |f_n| < +∞ alors que la positivité suffit.

Exercice 7. Série alternée et convergence dominée

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Montrer que Σ pour n ≥ 0 de (−1)ⁿ/(n + 1) = ln 2.

Technique la version générale échoue, on applique la convergence dominée aux sommes partielles.

Voir le corrigé

Sur [0, 1[, 1/(1 + t) = Σ (−t)ⁿ. Or ∫ de 0 à 1 de tⁿ dt = 1/(n + 1), dont la série diverge. La version générale ne s'applique pas.
On pose S_N(t) = Σ pour n de 0 à N de (−t)ⁿ = (1 − (−t)^N+1)/(1 + t). Elle converge simplement vers 1/(1 + t) sur [0, 1[.
|S_N(t)| ≤ 2/(1 + t) ≤ 2, fonction intégrable sur [0, 1[ et indépendante de N.
La convergence dominée donne ∫ S_N → ∫ de 0 à 1 de dt/(1 + t) = ln 2. Or ∫ S_N = Σ pour n de 0 à N de (−1)ⁿ/(n + 1).

piège : Conclure qu'on ne peut pas intégrer terme à terme parce que la version générale échoue.

Exercice 8. Une transformée de Laplace et son équation différentielle

Classiques de khôlle et concours · Type oral CCINP

Pour x ≥ 0, on pose F(x) = ∫ de 0 à +∞ de e^−xt/(1 + t²) dt. Montrer que F est continue sur [0, +∞[ et de limite nulle en +∞. Montrer que F est de classe C² sur ]0, +∞[ et que F″ + F = 1/x.

Technique domination globale pour la continuité, domination sur [a, +∞[ pour la dérivation.

Voir le corrigé

|e^−xt/(1 + t²)| ≤ 1/(1 + t²), intégrable et indépendant de x. F est continue sur [0, +∞[.
Pour x_n → +∞ et t > 0, l'intégrande tend vers 0, avec la même domination. La convergence dominée donne F(x_n) → 0.
Les dérivées partielles valent (−t)^k e^−xt/(1 + t²). Pour x > 0, celles d'ordre 0 et 1 sont intégrables en t, car majorées par e^−xt.
Pour a > 0 et x ≥ a, la dérivée d'ordre 2 est majorée par e^−at, intégrable. F est C² sur chaque [a, +∞[, donc sur ]0, +∞[.
F″(x) + F(x) = ∫ de 0 à +∞ de (t² + 1) e^−xt/(1 + t²) dt = 1/x.

piège : Affirmer F dérivable en 0. La dérivée partielle en x = 0 vaut −t/(1 + t²), qui n'est pas intégrable.

Exercice 9. Transformée de Fourier de la gaussienne

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Pour x réel, on pose F(x) = ∫ de 0 à +∞ de e^−t² cos(xt) dt. On admet que ∫ de 0 à +∞ de e^−t² dt = √π/2 (exercice 10). Calculer F(x).

Technique dérivation sous l'intégrale, puis intégration par parties pour obtenir une équation différentielle.

Voir le corrigé

L'intégrande est C¹ en x et majoré par e^−t², intégrable. La dérivée partielle vaut −t e^−t² sin(xt), majorée par t e^−t², intégrable et indépendante de x. Donc F est C¹ sur R.
F′(x) = −∫ t e^−t² sin(xt) dt. On intègre par parties avec (e^−t²/2)′ = −t e^−t². Le crochet e^−t² sin(xt)/2 est nul en 0 et tend vers 0 en +∞.
On obtient F′(x) = −(x/2) F(x).
Donc F(x) = F(0) e^−x²/4 = (√π/2) e^−x²/4.

piège : Majorer |sin(xt)| par |xt|, ce qui introduit x dans la domination.

Exercice 10. L'intégrale de Gauss

Approfondissement · D'après un écrit Mines

Pour x réel, on pose G(x) = (∫ de 0 à x de e^−t² dt)² et F(x) = ∫ de 0 à 1 de e^{−x²(1 + t²)}/(1 + t²) dt. Montrer que F + G est constante sur [0, +∞[. En déduire ∫ de 0 à +∞ de e^−t² dt.

Technique dérivation sous l'intégrale sur un segment, domination locale en x.

Voir le corrigé

L'intégrale de Gauss converge : pour t ≥ 1, e^−t² ≤ e^−t.
La dérivée partielle vaut −2x e^{−x²(1 + t²)}. Pour |x| ≤ A, elle est majorée par 2A, intégrable sur le segment [0, 1]. F est C¹ sur R.
F′(x) = −2x e^−x² ∫ de 0 à 1 de e^−x²t² dt. Pour x > 0, le changement u = xt donne F′(x) = −2 e^−x² ∫ de 0 à x de e^−u² du. C'est exactement −G′(x). En x = 0, les deux dérivées sont nulles.
F + G est constante, égale à F(0) + G(0) = ∫ de 0 à 1 de dt/(1 + t²) = π/4.
0 ≤ F(x) ≤ e^−x² → 0. Donc G(x) → π/4. L'intégrale positive vaut √π/2.

piège : Faire le changement u = xt en x = 0, ou oublier que la racine carrée demande de savoir l'intégrale positive.

Exercice classique. Calculs et encadrement des intégrales de Wallis

Classique du chapitre

À l’aide de la récurrence, calculer $W_6$ et $W_7$ .
Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ , $\sqrt{\frac{\pi}{2(n+1)}}\le W_n\le\sqrt{\frac{\pi}{2n}}.$ En déduire directement l’équivalent de $W_n$ .

Voir le corrigé

On a $W_2=\frac12W_0=\frac\pi4$ , puis $W_4=\frac34W_2=\frac{3\pi}{16}$ et $W_6=\frac56W_4=\frac{5\pi}{32}$ . De même, $W_3=\frac23W_1=\frac23$ , $W_5=\frac45W_3=\frac{8}{15}$ et $W_7=\frac67W_5=\frac{16}{35}$ .
La décroissance et l’identité de Wallis donnent $\frac\pi2=(n+1)W_nW_{n+1}\le(n+1)W_n^2$ , d’où la borne inférieure. En appliquant l’identité à $n-1$ , on obtient $\frac\pi2=nW_{n-1}W_n\ge nW_n^2$ , d’où la borne supérieure. Le quotient des deux bornes tend vers $1$ ; par encadrement, $W_n\sim\sqrt{\frac\pi{2n}}$ .

Erreurs fréquentes

Traiter une intégrale sur ]a, b[ d'un seul bloc. Chaque borne est étudiée séparément, et une seule divergence suffit à tout faire diverger.
Inverser les conditions de Riemann : α > 1 en +∞, α < 1 en une borne finie.
Déduire la convergence d'une intégrale d'un équivalent de signe variable. Les équivalents ne valent que pour l'intégrabilité, ou pour des fonctions de signe constant.
Donner une domination qui dépend de n ou de x, ou une domination par une constante sur un intervalle non borné.
Dans le théorème C¹, mettre la domination sur f et l'intégrabilité sur la dérivée, ou chercher une domination globale au lieu de se placer sur un segment.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP (arrêté du 5 janvier 2021), section « Intégration sur un intervalle quelconque ». Les fonctions considérées sont continues par morceaux et à valeurs dans $\K$ , corps des réels ou des complexes.

Intégration sur un intervalle quelconque

Résumé en cinq points

1Intégrales généralisées sur KXF3FXK

1.1Définition

1.2Cas des fonctions positives

1.3Les deux références à connaître

2Intégrabilité

2.1Définition

2.2Théorème de comparaison

3Intervalle quelconque

3.1Définitions

3.2Propriétés

3.3Riemann en une borne finie

3.4Intégration par parties et changement de variable

3.5Intégration des relations de comparaison

4Théorème de convergence dominée

5Intégration terme à terme

6Intégrales à paramètre

6.1Continuité

6.2Classe C1C^1C1

6.3Classe CkC^kCk

6.4Domination locale

6.5Exemple complet, la fonction Gamma

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Classiques et HP

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Intégrabilité d'une fraction de puissances

Exercice 2. Une intégrale nulle par symétrie

Exercice 3. Le sinus cardinal

Exercice 4. Une limite qui ne se traite pas directement

Exercice 5. Γ comme limite d'intégrales

Exercice 6. Une série de Riemann par intégration

Exercice 7. Série alternée et convergence dominée

Exercice 8. Une transformée de Laplace et son équation différentielle

Exercice 9. Transformée de Fourier de la gaussienne

Exercice 10. L'intégrale de Gauss

Exercice classique. Calculs et encadrement des intégrales de Wallis

Erreurs fréquentes

Au concours

6.2Classe $C^1$

6.3Classe $C^k$