Partie A : questions préliminaires

Notations et définitions.

Pour tout $y \in \mathbb{R}$ , $\lfloor y \rfloor$ est l'unique entier tel que $\lfloor y \rfloor \le y < \lfloor y \rfloor + 1$ .

Pour $s \in \mathbb{C}$ , on note $\operatorname{Re}(s)$ et $\operatorname{Im}(s)$ ses parties réelle et imaginaire.

Pour tout $s \in \left]1, +\infty\right[$ , on pose

\zeta(s) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^s}.

Pour tout $k \in \mathbb{N}$ tel que $k \ge 2$ , la fonction $f_k$ est définie sur $\left]0, 1\right]$ par

f_k(t) = \frac{1}{k}\left\lfloor \frac{1}{t} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1}{kt} \right\rfloor.

Le but du problème est de montrer que, si la distance de $\mathbf{1}$ à $\operatorname{Vect}(f_2, \dots, f_n)$ tend vers $0$ , alors $\zeta$ (prolongée) ne s'annule en aucun complexe de partie réelle strictement supérieure à $\frac12$ .

I. La fonction zêta sur l'intervalle ouvert de 1 à l'infini

Notations et définitions.

Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , on note $u_k$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u_k(s) = \dfrac{1}{k^s}$ .

Q1.

Voir le corrigé

Déterminons si la série de fonctions $\sum_{k \ge 1} u_k$ converge normalement sur $\left]1, +\infty\right[$ .

Soit $k \in \mathbb{N}^*$ .

Si $k = 1$ , $u_1 = 1$ .

Si $k \ge 2$ , la fonction $s \mapsto k^{-s} = \mathrm{e}^{-s \ln k}$ est strictement décroissante sur $\left]1, +\infty\right[$ (car $\ln k > 0$ ), de limite $\frac1k$ en $1$ .

Dans les deux cas :

\sup_{s \in \left]1, +\infty\right[} \left\lvert u_k(s) \right\rvert = \frac{1}{k}.

Mathématiques 2

Le sujet complet

Aperçu : Q1

Partie A : questions préliminaires

I. La fonction zêta sur l'intervalle ouvert de 1 à l'infini

Q1.

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