Mathématiques A

Préliminaires

• Sur $\mathbb{C}^n$, on pose $\langle x \mid y\rangle = \sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i}$ et $\left\lVert x \right\rVert = \sqrt{\langle x \mid x\rangle}$. L'énoncé admet que $\langle \cdot \mid y\rangle$ est linéaire, que $\langle x \mid \cdot\rangle$ est semi-linéaire ($\langle x \mid y + \alpha y'\rangle = \langle x \mid y\rangle + \overline{\alpha}\langle x \mid y'\rangle$), que $\left\lVert \cdot \right\rVert$ est une norme et que $\left\lvert \langle x \mid y\rangle \right\rvert \le \left\lVert x \right\rVert\left\lVert y \right\rVert$ (Cauchy-Schwarz). Une famille $(u_1, \dots, u_n)$ telle que $\langle u_i \mid u_j\rangle = 0$ pour $i \ne j$ et $\left\lVert u_i \right\rVert = 1$ est une base orthonormale. On note $(e_1, \dots, e_n)$ la base canonique de $\mathbb{C}^n$.
• Pour $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$, $A^* = {}^t\overline{A}$. On identifie $\mathbb{C}^n$ à $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$, et l'énoncé admet que, pour tous $x, y \in \mathbb{C}^n$, $\langle x \mid y\rangle = {}^tx\,\overline{y}$ et $\langle Ax \mid y\rangle = \langle x \mid A^*y\rangle$.
• Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $|\!|\!|A|\!|\!| = \sup_{\left\lVert x \right\rVert = 1} \left\lVert Ax \right\rVert$, admise comme norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Pour $P$ inversible, $\mathrm{cond}(P) = |\!|\!|P|\!|\!| \cdot |\!|\!|P^{-1}|\!|\!|$.
• $A$ est unitaire si $A^*A = I_n$, hermitienne si $A^* = A$. L'énoncé admet : $A$ est unitaire $\iff$ pour tout $x \in \mathbb{C}^n$, $\left\lVert Ax \right\rVert = \left\lVert x \right\rVert$ $\iff$ les colonnes de $A$ forment une base orthonormale.
• Théorème admis (réduction). Si $A$ est unitaire (respectivement hermitienne), il existe $U$ unitaire telle que $A = U\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\,U^{-1}$, les $\lambda_i$ étant les valeurs propres de $A$, toutes de module $1$ (respectivement réelles).
• Pour $p = \sum_{i=0}^r p_i X^i \in \mathbb{C}[X]$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $p(A) = \sum_{i=0}^r p_i A^i$. Pour $S \subset \mathbb{C}$ compact non vide, $\left\lVert p \right\rVert_S = \sup_{\alpha \in S} \left\lvert p(\alpha) \right\rvert$. On note $\sigma(A)$ l'ensemble des valeurs propres de $A$.