Mathématiques 1

Montrons que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $\varphi^{(n)}(x) = P_n(1/x)\,\mathrm{e}^{-1/x}$.

Régularité.

Sur $\mathbb{R}_+^*$, $\varphi = \exp \circ u$ avec $u(x) = -1/x$.

Or $u$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et $\exp$ l'est sur $\mathbb{R}$.

Donc $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$ (composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$, propriété 4.2, opérations sur les fonctions de classe $C^k$).

Récurrence.

Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $H_n$ : « il existe un polynôme $P_n$ tel que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $\varphi^{(n)}(x) = P_n(1/x)\,\mathrm{e}^{-1/x}$ ».

$H_0$ est vraie avec $P_0 = 1$.

Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $H_n$ soit vraie.

Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.

La dérivée de $x \mapsto P_n(1/x)$ est $x \mapsto -\frac{1}{x^2}P_n'(1/x)$ (dérivée d'une composée), celle de $x \mapsto \mathrm{e}^{-1/x}$ est $x \mapsto \frac{1}{x^2}\mathrm{e}^{-1/x}$.

Par la formule de dérivation d'un produit :

Posons $P_{n+1} = X^2(P_n - P_n')$, qui est un polynôme.

Alors, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $\varphi^{(n+1)}(x) = P_{n+1}(1/x)\,\mathrm{e}^{-1/x}$, donc $H_{n+1}$ est vraie.

Ainsi $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $\varphi^{(n)}(x) = P_n(1/x)\,\mathrm{e}^{-1/x}$.