Mathématiques B

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et soit $(u_n)_{n \ge 0}$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et, pour tout $n \ge 2$, $u_n = \alpha u_{n-1} - u_{n-2}$.

Exprimons $u_n$ en fonction de $n$ et de $\alpha$ dans les quatre cas $\left\lvert \alpha \right\rvert > 2$, $\left\lvert \alpha \right\rvert < 2$, $\alpha = 2$ et $\alpha = -2$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = \alpha u_{n+1} - u_n$.

C'est une récurrence linéaire d'ordre 2 dont le coefficient de $u_n$ vaut $-1 \ne 0$.

Son équation caractéristique est $r^2 - \alpha r + 1 = 0$, de discriminant $\Delta = \alpha^2 - 4$.

On applique le théorème sur les solutions dans $\mathbb{C}$ (théorème 7.4).

Racines distinctes ($\alpha \ne \pm 2$).

Soient $r_1 \ne r_2$ les racines.

Il existe $(A, B) \in \mathbb{C}^2$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = A r_1^n + B r_2^n$.

Les conditions $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$ donnent $A + B = 0$ et $A(r_1 - r_2) = 1$.

Donc, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

Racine double.

Si $r$ est racine double, il existe $(A, B) \in \mathbb{C}^2$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = (A + Bn) r^n$.