Matrices et applications linéaires

Exercice 1. Un endomorphisme de polynômes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Sur $\R_n[X]$, on pose $$u(P) = P + P'.$$ Écrire la matrice de $u$ dans la base canonique, montrer que $u$ est bijectif, exprimer $u^{-1}$ et résoudre $P + P' = X^n$.

Exercice 2. Rang avec paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Pour $a$ réel, $A$ a pour lignes $$(1, 1, a), \qquad (1, a, 1), \qquad (a, 1, 1).$$ Déterminer $\operatorname{rg} A$ et $\dim \operatorname{Ker} A$.

Exercice 3. Inverse de I − A pour A nilpotente ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Soit $A$ dans $\mathcal{M}_n(K)$ avec $A^k = 0$ pour un $k \geq 1$.

Montrer que $I - A$ est inversible et donner son inverse.

Application à $A$ de lignes $$(0, 1, 2), \qquad (0, 0, 3), \qquad (0, 0, 0).$$

Exercice 4. Un projecteur dans une base adaptée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $$M = I_3 - \frac{J}{3},$$ où $J$ remplie de $1$.

Montrer que $M^2 = M$, déterminer image et noyau, trouver $P$ inversible telle que $$P^{-1}MP = \operatorname{diag}(1, 1, 0).$$

Exercice 5. Puissances et suites couplées ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP PC

$A$ a pour lignes $(2, 1)$ et $(1, 2)$.

Calculer $A^n$ à l'aide des vecteurs $(1, 1)$ et $(1, -1)$.

En déduire $u_n$ et $v_n$ si $$u_{n+1} = 2u_n + v_n$$ et $$v_{n+1} = u_n + 2v_n.$$

Exercice 6. Nilpotent d'indice 3 en dimension 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $u$ dans $\mathcal{L}(E)$, $\dim E = 3$, avec $u^3 = 0$ et $u^2 \neq 0$.

Trouver une base où la matrice de $u$ a des $1$ juste au-dessus de la diagonale et des $0$ ailleurs.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 7. Discussion d'un système ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP PC

Résoudre, selon $a$ réel, $$\begin{aligned} x + y + az &= 1, \\ x + ay + z &= 1, \\ ax + y + z &= 1. \end{aligned}$$

Exercice 8. Rang d'un produit ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP PC

Soient $A$ dans $\mathcal{M}_{n,q}(K)$ et $B$ dans $\mathcal{M}_{q,p}(K)$.

Montrer que $$\operatorname{rg}(AB) \leq \min(\operatorname{rg} A, \operatorname{rg} B).$$ En déduire que si $n = p > q$, $AB$ n'est pas inversible.

Montrer que $\operatorname{rg}(QAP) = \operatorname{rg} A$ pour $P$ et $Q$ inversibles.

Exercice 9. Matrices de rang 1 ★★★

Approfondissement · 30 min · Type oral Centrale

Montrer que $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est de rang 1 si et seulement s'il existe des colonnes non nulles $X$ et $Y$ avec $$A = X\,{}^t Y.$$ Montrer que $A^2 = \lambda A$ avec $\lambda = {}^t Y X$, puis que $I + A$ est inversible si et seulement si $\lambda \neq -1$.

Exercice 10. Matrices de carré nul ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau écrit Mines ou Centrale

Soit $u$ dans $\mathcal{L}(E)$, $\dim E = n$, avec $u^2 = 0$ et $r = \operatorname{rg} u$.

Montrer que $2r \leq n$ et qu'il existe une base où la matrice de $u$ a $I_r$ dans le coin supérieur droit et $0$ ailleurs.

En déduire que deux matrices de carré nul sont semblables si et seulement si elles ont le même rang.