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PCSI · Maths · semaine 24

Espaces de dimension finie

Existence de bases dans un espace de dimension finie et théorème de la base incomplète à partir d'une famille génératrice. Dimension, caractérisation des bases comme familles libres ou génératrices de n vecteurs, rang d'une famille finie de vecteurs. Dimension d'un sous-espace, formule de Grassmann, existence d'un supplémentaire et bases adaptées à une décomposition en somme directe.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un espace est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie. Il possède alors des bases, toutes de même cardinal, et ce cardinal est la dimension.
  2. Base extraite, base incomplète et existence d'un supplémentaire découlent tous du même théorème d'extraction.
  3. En dimension nn, une famille de nn vecteurs est une base dès qu'elle est libre, ou dès qu'elle est génératrice.
  4. Un sous-espace a une dimension plus petite, avec égalité seulement s'il est l'espace entier : pour prouver une égalité de sous-espaces, on montre une inclusion et l'égalité des dimensions.
  5. Grassmann relie somme et intersection. Pour des supplémentaires, intersection nulle plus compte des dimensions suffisent.
Pourquoi ce chapitre

Le paragraphe A a donné le vocabulaire, ce chapitre donne le nombre. La dimension mesure le nombre de degrés de liberté d'un problème linéaire. Elle transforme des questions qualitatives en comptages :

  • cette famille est-elle une base ?
  • ces deux sous-espaces sont-ils supplémentaires ?

Un argument de dimension remplace souvent une page de calculs. Deux façons de décrire un sous-espace reviennent en permanence :

  • la paramétrisation, qui donne directement une famille génératrice ;
  • la description par équations linéaires, qui donne un noyau.

Savoir passer de l'une à l'autre et en déduire une dimension est l'objectif central. Tout le chapitre suivant sur les applications linéaires, puis le théorème du rang, reposent sur ces résultats.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Rang d'une famille 1

Exercice 1. Rang et base extraite ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Dans R4\R^4, on pose u1=(1,1,0,1),u2=(1,0,1,2),u_1 = (1, 1, 0, 1), \qquad u_2 = (1, 0, 1, 2), u3=(2,1,1,3),u_3 = (2, 1, 1, 3), u4=(0,1,−1,−1) et u5=(1,2,0,0).u_4 = (0, 1, -1, -1) \text{ et } u_5 = (1, 2, 0, 0). Déterminer le rang de la famille et extraire une base de son Vect.

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Technique repérer les relations, puis tester la liberté du reste.

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Résultat

rg⁡(u1,…,u5)=3\operatorname{rg}(u_1, \ldots, u_5) = 3, base extraite de Vect⁡(u1,…,u5)\operatorname{Vect}(u_1, \ldots, u_5) : (u1,u2,u5)(u_1, u_2, u_5).

  1. u3=u1+u2u_3 = u_1 + u_2 et u4=u1−u2u_4 = u_1 - u_2, donc Vect⁡(u1,…,u5)=Vect⁡(u1,u2,u5)‾\underline{\operatorname{Vect}(u_1, \ldots, u_5) = \operatorname{Vect}(u_1, u_2, u_5)}.
  2. Soit au1+bu2+cu5=0a u_1 + b u_2 + c u_5 = 0. Troisième coordonnée : b=0b = 0. Quatrième : a+2b=0a + 2b = 0, donc a=0a = 0. Deuxième : 2c=02c = 0, donc c=0c = 0.
  3. Donc (u1,u2,u5)(u_1, u_2, u_5) est libre et génératrice du Vect, c'est une base (définition 1.2, base et coordonnées), et rg⁡(u1,…,u5)=3‾\underline{\operatorname{rg}(u_1, \ldots, u_5) = 3} (définition 3.10, rang).

piège : Retirer u3u_3 et u4u_4 puis conclure sans vérifier la liberté du reste.

Sous-espaces et supplémentaires 2

Exercice 2. Sous-espace défini par équations et supplémentaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit FF l'ensemble des (x,y,z,t)(x, y, z, t) de R4\R^4 tels que x+y+z+t=0x + y + z + t = 0 et x=y,x = y, et soit G=Vect⁡(e1,e4)G = \operatorname{Vect}(e_1, e_4).

Donner une base de FF, puis montrer que R4=F⊕G\R^4 = F \oplus G.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9. Supplémentaire commun ★★★

Approfondissement · 45 min · D'après un oral X-ENS

Soit EE de dimension nn.

Montrer que deux sous-espaces F1F_1 et F2F_2 de même dimension admettent un supplémentaire commun.

Voir le début du corrigé
  1. Lemme : si F1≠EF_1 \neq E et F2≠EF_2 \neq E, il existe x∉F1∪F2x \notin F_1 \cup F_2. …

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Dimension de sous-espaces 3

Exercice 3. Polynômes qui s'annulent en 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit FF l'ensemble des PP de R3[X]\R_3[X] tels que P(1)=0.P(1) = 0. Déterminer dim⁡F\dim F et une base de FF, puis montrer que R3[X]=F⊕R0[X]\R_3[X] = F \oplus \R_0[X].

Voir le début du corrigé
  1. FF est un sous-espace (P↦P(1)P \mapsto P(1) est linéaire).

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4. Matrices de trace nulle ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP

Soit n≥1n \geq 1 et TT l'ensemble des matrices de Mn(K)M_n(K) de trace nulle.

Calculer dim⁡T\dim T et montrer que Mn(K)=T⊕K⋅InM_n(K) = T \oplus K \cdot I_n.

Voir le début du corrigé
  1. TT est un sous-espace (la trace est linéaire).

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Exercice 5. Minorer une intersection ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit EE de dimension nn, FF et GG de dimensions pp et qq.

Montrer que dim⁡(F∩G)≥p+q−n.\dim(F \cap G) \geq p + q - n.

En déduire que deux plans distincts de R3\R^3 se coupent selon une droite.

Voir le début du corrigé
  1. dim⁡(F∩G)=p+q−dim⁡(F+G)⩾p+q−n‾\underline{\dim(F \cap G) = p + q - \dim(F + G) \geqslant p + q - n} (théorème 4.2, formule de Grassmann, dim⁡(F+G)⩽n\dim(F + G) \leqslant n).

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Suites récurrentes 1

Exercice 6. Récurrence linéaire d'ordre 2 ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Soit EE l'espace des suites réelles telles que un+2=un+1+2unu_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n pour tout nn.

Trouver une base de EE, puis la suite de EE telle que u0=0u_0 = 0 et u1=3u_1 = 3.

Voir le début du corrigé
  1. r2=r+2r^2 = r + 2 a pour racines 22 et −1-1, donc (2n),((−1)n)∈E(2^n), ((-1)^n) \in E.

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Liberté de familles 2

Exercice 7. Polynômes de Bernstein ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP

Pour 0≤k≤n0 \leq k \leq n, on pose Bk=Xk(1−X)n−k.B_k = X^k (1 - X)^{n-k}.

Montrer que (B0,…,Bn)(B_0, \dots, B_n) est une base de Rn[X]\R_n[X].

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8. Exponentielles libres et dimension infinie ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale

Soient λ1<⋯<λp\lambda_1 < \dots < \lambda_p des réels et fk:x↦eλkx.f_k : x \mapsto e^{\lambda_k x}.

Montrer que (f1,…,fp)(f_1, \dots, f_p) est libre dans l'espace des fonctions de R\R dans R\R, et en déduire que cet espace n'est pas de dimension finie.

Voir le début du corrigé
  1. p=1p = 1 : f1f_1 ne s'annule pas, donc (f1)(f_1) est libre.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), deuxième semestre, section « Espaces vectoriels et applications linéaires », paragraphe B « Espaces de dimension finie ».

Au concours

Les questions des sujets corrigés qui travaillent ce chapitre. La première question de chaque sujet est en accès libre.

Centrale-Supélec 2025, PC, Mathématiques 1

  • Q29 à Q31 Polynôme caractéristique et sous-espace propre

Mines-Ponts 2026, PC, Mathématiques 1

  • Q17 et Q18 Base de Krylov et similitude à un bloc de Jordan nilpotent