Le cours

Résumé en cinq points

Dans un référentiel galiléen, $\dfrac{\dd\vec p}{\dd t} = \sum\vec F_{\text{ext}}$ , soit $m\vec a = \sum\vec F_{\text{ext}}$ à masse constante. Un système fermé se ramène à son centre de masse.
Les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. Aucun n'est rigoureusement galiléen, c'est une question de durée et de précision.
Les forces d'un couple action-réaction sont opposées mais s'appliquent à deux systèmes différents, elles ne s'annulent jamais.
Les modèles de forces sont tous approchés : pesanteur uniforme si l'altitude est faible devant le rayon, frottement linéaire ou quadratique selon la vitesse, élasticité linéaire dans un domaine limité.
Avec du frottement solide, on pose une hypothèse de glissement ou de non glissement, on résout, puis on valide avec $\norm{\vec T} \leqslant f\norm{\vec N}$ ou $\norm{\vec T} = f\norm{\vec N}$ .

Pourquoi ce chapitre

C'est le cœur de la mécanique de première année. Le chapitre précédent décrivait les mouvements, celui-ci les explique. Le programme insiste moins sur les théorèmes, courts et connus, que sur trois compétences :

mettre un problème en équations proprement, ce qui suppose un système bien défini, un référentiel précisé, un bilan de forces complet et une projection correcte ;
exploiter une équation différentielle sans la résoudre, en cherchant les positions d'équilibre, les vitesses limites, les temps caractéristiques ;
discuter la validité des modèles de forces, qui sont tous approchés.

Il n'existe pas de modèle de force universellement valable : c'est le vrai fil directeur du chapitre.

1Masse et quantité de mouvement

1.1Masse

Définition 1.1Masse

La masse mesure l'inertie d'un système, c'est-à-dire sa résistance à toute variation de vitesse. Elle est positive et additive. Un système est fermé s'il n'échange pas de matière avec l'extérieur.

Propriété 1.2Conservation de la masse

Hypothèse : le système est fermé.

Alors sa masse est conservée. On l'exploite par exemple pour relier les masses avant et après une fragmentation.

1.2Quantité de mouvement

Définition 1.3Quantité de mouvement

Pour un point matériel de masse $m$ et de vitesse $\vec v$ dans un référentiel donné, la quantité de mouvement est $\vec p = m\vec v$ . C'est un vecteur, colinéaire à la vitesse, d'unité $\unite{kg.m.s^{-1}}$ .

Pour un système de deux points de masses $m_1$ et $m_2$ , la quantité de mouvement totale est $\vec p = m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2$ .

Définition 1.4Centre de masse

Le centre de masse $G$ de deux points $M_1$ et $M_2$ est défini par $(m_1+m_2)\,\vect{OG} = m_1\vect{OM_1} + m_2\vect{OM_2}.$

Propriété 1.5Quantité de mouvement d'un système de deux points

En dérivant la relation précédente dans le référentiel d'étude, on obtient directement $\vec p = (m_1+m_2)\,\vec v(G) = m\,\vec v(G),$ avec $m$ la masse totale.

Un système fermé se comporte, du point de vue de la quantité de mouvement, comme un point matériel unique placé en $G$ et portant toute la masse. C'est ce qui justifie de traiter une balle, une voiture ou une planète comme un point matériel.

2Les trois lois

2.1Première loi, principe d'inertie

Loi 2.1Principe d'inertie

Il existe des référentiels, dits galiléens, dans lesquels tout point matériel isolé, c'est-à-dire soumis à aucune force, a un mouvement rectiligne uniforme ou reste au repos.

Propriété 2.2Référentiels galiléens

Si un référentiel est galiléen, tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à lui est aussi galiléen.
Deux référentiels galiléens sont nécessairement en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre.
Un référentiel en rotation ou en translation accélérée n'est pas galiléen.

Aucun référentiel n'est rigoureusement galiléen :

le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour des expériences de laboratoire de courte durée ;
le référentiel géocentrique convient pour l'étude des satellites terrestres ;
le référentiel héliocentrique convient pour le mouvement des planètes.

La hiérarchie se lit comme une hiérarchie de durées et de précisions. La rotation de la Terre se manifeste sur des expériences longues, comme le pendule de Foucault.

2.2Troisième loi, actions réciproques

Loi 2.3Actions réciproques

Si un corps A exerce sur un corps B une force $\vec F_{A\to B}$ , alors B exerce sur A la force $\vec F_{B\to A} = -\vec F_{A\to B}.$ Ces deux forces ont même droite d'action, celle qui joint les deux corps dans le cas de points matériels.

AttentionAction et réaction ne se compensent jamais

Elles s'appliquent à deux systèmes différents. Le poids d'un livre posé sur une table et la réaction de la table ne sont pas un couple action-réaction : ils s'appliquent tous les deux au livre. La réaction au poids du livre est l'attraction que le livre exerce sur la Terre.

2.3Deuxième loi, théorème de la quantité de mouvement

Loi 2.4Théorème de la quantité de mouvement

Hypothèses

le référentiel est galiléen ;
le système est fermé.

Alors la dérivée de sa quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures : $\frac{\dd\vec p}{\dd t} = \sum \vec F_{\text{ext}}.$ Si la masse est constante, ce qui est le cas usuel, on obtient $m\vec a = \sum \vec F_{\text{ext}}$ .

Si la somme des forces extérieures est nulle, la quantité de mouvement se conserve. Cette lecture est souvent plus rapide qu'une résolution complète, notamment pour un système qui se fragmente.

2.4Méthode de mise en équation

MéthodeMettre un problème en équations

Définir le système : un point matériel, ou un système dont on suit le centre de masse.
Préciser le référentiel et le supposer galiléen, en justifiant.
Choisir le système de coordonnées et dessiner la base locale.
Faire le bilan des forces extérieures et les représenter sur un schéma.
Écrire la deuxième loi de Newton, puis la projeter sur les vecteurs de base.
Exploiter, en résolvant ou en analysant.

3Modèles de forces

3.1Gravitation

Loi 3.1Loi de gravitation

Hypothèses

deux points matériels de masses $m_1$ et $m_2$ ;
distants de $r$ .

Alors ils s'attirent avec une force de norme $G m_1 m_2/r^2$ , portée par la droite qui les joint, avec $G = 6{,}67\times 10^{-11}$ en unités du système international. La force exercée sur le point 2 s'écrit $\vec F_{1\to 2} = -\frac{G m_1 m_2}{r^2}\,\vec u,$ où $\vec u$ est le vecteur unitaire dirigé du point 1 vers le point 2. Le signe moins traduit le caractère toujours attractif.

Définition 3.2Champ de pesanteur uniforme

Au voisinage de la surface d'une planète de masse $M$ et de rayon $R$ , la force de gravitation sur une masse $m$ vaut environ $GMm/R^2$ , dirigée vers le centre. On pose $g = GM/R^2$ : le poids s'écrit $m\vec g$ , avec $\vec g$ un vecteur constant.

RemarqueValidité

Le modèle est valable tant que l'altitude $h$ reste très petite devant $R$ , puisque la correction relative est de l'ordre de $2h/R$ . Pour $h = 10\unite{km}$ sur Terre, cela fait $0{,}3\,\%$ , négligeable dans la plupart des problèmes. Valeur numérique : $g = 9{,}81\unite{m.s^{-2}}$ au niveau de la mer.

RemarqueHors programme, pour la culture.

Le poids réel inclut aussi un terme lié à la rotation terrestre, qui explique la variation de $g$ avec la latitude et le fait que la verticale ne passe pas exactement par le centre de la Terre.

3.2Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme sans frottement

C'est exactement le mouvement à accélération constante étudié en cinématique.

Propriété 3.3Chute libre

La deuxième loi donne $m\vec a = m\vec g$ , donc $\vec a = \vec g$ , indépendamment de la masse. La trajectoire est une parabole.

Exemple 3.4Tir depuis le sol

Avec une vitesse initiale $v_0$ inclinée de $\alpha$ sur l'horizontale :

la flèche, atteinte au sommet, vaut $\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$ ;
la portée vaut $\dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$ , maximale pour $\alpha = 45^\circ$ .

Ces résultats se retrouvent vite à partir des équations horaires : il vaut mieux savoir les redémontrer que les apprendre.

3.3Frottement fluide

Un solide en mouvement dans un fluide subit une force de résistance opposée à sa vitesse relative au fluide. Deux modèles sont au programme.

Définition 3.5Frottement linéaire

Le modèle linéaire est $\vec F = -\lambda\vec v$ . Il décrit les mouvements lents ou les objets petits, quand l'écoulement reste laminaire. Exemples : une bille qui tombe dans du glycérol, une poussière dans l'air.

Définition 3.6Frottement quadratique

Le modèle quadratique est une force de norme $\tfrac12\rho C_x S v^2$ opposée à la vitesse, où $\rho$ est la masse volumique du fluide, $S$ la section frontale et $C_x$ un coefficient sans dimension de l'ordre de $0{,}3$ à $1$ . Il décrit les mouvements rapides, quand l'écoulement devient turbulent. Exemples : une voiture, un parachutiste, une balle de sport.

Propriété 3.7Vitesse limite

Hypothèse : chute verticale avec frottement, vers un régime où l'accélération s'annule.

Alors la vitesse limite s'obtient en écrivant l'équilibre du poids et de la force de frottement : $\begin{aligned} v_{\text{lim}} &= \frac{mg}{\lambda} \quad \text{(linéaire)},\\ v_{\text{lim}} &= \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_x S}} \quad \text{(quadratique)}. \end{aligned}$ On l'obtient sans résoudre l'équation différentielle, ce que le programme demande explicitement.

Exemple 3.8Ordres de grandeur

Goutte de pluie de $1\unite{mm}$ de rayon : vitesse limite de quelques mètres par seconde.
Parachutiste en chute libre : environ $50\unite{m.s^{-1}}$ .
Parachutiste voile ouverte : environ $5\unite{m.s^{-1}}$ .

MéthodeExploiter sans résoudre

Sur l'équation $m\dfrac{\dd v}{\dd t} = mg - \lambda v$ , on lit trois choses :

la vitesse limite $mg/\lambda$ , obtenue en annulant la dérivée ;
le temps caractéristique $\tau = m/\lambda$ , obtenu par identification à la forme canonique du premier ordre ;
le comportement initial, où le frottement est négligeable et l'accélération vaut $g$ .

Définition 3.9Équation adimensionnée

On pose $u = v/v_{\text{lim}}$ et $T = t/\tau$ , ce qui transforme l'équation en $\frac{\dd u}{\dd T} = 1 - u,$ sans aucun paramètre. C'est une équation adimensionnée.

Toutes les chutes se ramènent ainsi à une courbe unique, et les seuls paramètres physiques sont les échelles de vitesse et de temps. C'est une capacité exigible.

3.4Élasticité linéaire

Loi 3.10Force de rappel d'un ressort

Un ressort de longueur à vide $l_0$ et de raideur $k$ exerce sur le point auquel il est attaché une force de norme $k\,\abs{l - l_0}$ , dirigée selon l'axe du ressort, tendant à ramener la longueur à $l_0$ . La force est de rappel : elle tire si le ressort est étiré et pousse s'il est comprimé.

Unité de $k$ : $\unite{N.m^{-1}}$ . Ordres de grandeur : quelques $\unite{N.m^{-1}}$ pour un ressort souple de travaux pratiques, quelques dizaines de milliers pour une suspension de véhicule.

MéthodeDéterminer $k$ expérimentalement

Suspendre des masses connues et relever l'allongement à l'équilibre, où $k(l - l_0) = mg$ .
Tracer $mg$ en fonction de $l$ .
La pente de la droite donne $k$ , l'ordonnée à l'origine donne $l_0$ .

AttentionLimites du modèle

La linéarité n'est valable que dans un domaine d'allongement limité. Au delà apparaît une déformation plastique, non réversible, puis la rupture. Repérer la fin du domaine linéaire sur une courbe de traction fait partie des capacités attendues, avec un microcontrôleur et un capteur de force.

3.5Tension d'un fil et pendule simple

Définition 3.11Tension d'un fil

Un fil inextensible et de masse négligeable exerce une force, la tension, dirigée selon le fil, toujours vers le point d'attache. Un fil ne peut que tirer, jamais pousser. La norme de la tension est une inconnue du problème, elle se détermine par projection.

Pendule simple : une masse $m$ au bout d'un fil de longueur $l$ , fixé en $O$ , oscille dans un plan vertical. On repère l'angle $\theta$ avec la verticale descendante et on travaille en coordonnées polaires centrées en $O$ , avec $r = l$ constant.

Propriété 3.12Équation du pendule simple

Les forces sont le poids et la tension. La tension est portée par $\vec e_r$ , elle disparaît donc de la projection sur $\vec e_\theta$ . Cette projection donne $ml\ddot\theta = -mg\sin\theta$ , soit $\ddot\theta + \frac{g}{l}\sin\theta = 0.$

C'est une équation non linéaire.

Propriété 3.13Petites oscillations

Hypothèse : $\theta$ petit, donc $\sin\theta \approx \theta$ .

Alors $\ddot\theta + \dfrac{g}{l}\theta = 0$ : oscillateur harmonique de pulsation propre et de période $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}, \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.$ La période est indépendante de la masse et, dans cette approximation, de l'amplitude.

RemarqueValidité

Pour $l = 1\unite{m}$ , $T_0 \approx 2{,}0\unite{s}$ . L'approximation linéaire donne une période correcte à $1\,\%$ près tant que l'amplitude reste inférieure à environ $20^\circ$ . Au delà, la période augmente avec l'amplitude, ce que la résolution numérique de l'équation complète met en évidence.

3.6Lois de Coulomb du frottement de glissement

Le contact entre deux solides se décrit par une force de réaction décomposée en une composante normale $\vec N$ , perpendiculaire au support, et une composante tangentielle $\vec T$ , dans le plan de contact. Les lois de Coulomb sont fournies par l'énoncé, mais leur exploitation est exigible.

Loi 3.14Lois de Coulomb

Soit $f$ le coefficient de frottement.

Non glissement (équilibre ou entraînement sans glissement) : $\norm{\vec T} \leqslant f\norm{\vec N}$ . La valeur de $\vec T$ est déterminée par les équations du problème, pas par cette relation, qui n'est qu'une condition à vérifier.
Glissement : $\norm{\vec T} = f\norm{\vec N}$ exactement, et $\vec T$ est opposée à la vitesse de glissement du solide par rapport au support.

MéthodeFrottement solide : hypothèse puis validation

On ne peut pas savoir a priori s'il y a glissement. On formule une hypothèse, on résout, puis on la valide.

Hypothèse de non glissement : résoudre avec une vitesse relative nulle, calculer $T$ et $N$ , vérifier $\norm{\vec T} \leqslant f\norm{\vec N}$ . Si l'inégalité est violée, l'hypothèse est fausse.
Hypothèse de glissement : imposer $\norm{\vec T} = f\norm{\vec N}$ avec le bon sens, résoudre, vérifier que la vitesse de glissement obtenue est bien du sens supposé.

Exemple 3.15Bloc sur un plan incliné

Plan incliné d'angle $\alpha$ . À l'équilibre, la projection donne $\norm{\vec T} = mg\sin\alpha$ et $\norm{\vec N} = mg\cos\alpha$ . La condition de non glissement s'écrit $\tan\alpha \leqslant f$ . L'angle limite vérifie $\tan\alpha_{\text{lim}} = f$ , ce qui fournit une mesure expérimentale simple de $f$ .

Solide posé sur un plan incliné : poids P, réaction normale N, frottement T

Ordres de grandeur de $f$ :

environ $0{,}2$ entre deux métaux lubrifiés ;
$0{,}5$ à $0{,}8$ entre bois et bois ou pneu et route sèche ;
moins de $0{,}1$ sur la glace.

4Capacités numériques et expérimentales

Résolution numérique. Le programme s'appuie sur l'utilisation d'un langage de programmation pour intégrer une équation différentielle du mouvement, notamment quand le frottement quadratique ou la non-linéarité du pendule empêchent une résolution analytique. On compare alors la solution numérique au modèle simplifié pour quantifier l'écart.

Étude expérimentale d'une loi de force :

mesurer un frottement fluide en filmant la chute d'une bille dans un liquide visqueux, relever la vitesse limite pour plusieurs rayons et tester la dépendance prévue ;
mesurer une raideur par pesées successives ;
réaliser un test de traction instrumenté avec un microcontrôleur pour repérer la limite du domaine linéaire.

Méthodes

MéthodeRédiger une mise en équation

Écrire en tête de copie le système, le référentiel supposé galiléen et le repère choisi.
Faire un schéma avec toutes les forces représentées au point d'application, et vérifier que chaque force a une source extérieure identifiée.
Projeter sur la base la mieux adaptée. Pour un pendule, la projection sur $\vec e_\theta$ élimine la tension et donne directement l'équation du mouvement.

MéthodeExploiter une équation avant de la résoudre

Chercher les informations gratuites : position d'équilibre, vitesse limite, temps caractéristique, comportement initial.
Adimensionner l'équation pour comparer des situations différentes et dégager les paramètres qui comptent vraiment.

MéthodeFace à un frottement solide

Poser une hypothèse explicite de glissement ou de non glissement.
Résoudre.
Valider l'hypothèse à la fin.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Établir $\vec p = m\vec v(G)$ pour un système de deux points et expliquer pourquoi ce résultat autorise le modèle du point matériel.
Énoncer les trois lois de Newton et expliquer pourquoi deux forces d'un couple action-réaction ne se compensent jamais.
Justifier le modèle du champ de pesanteur uniforme à partir de la loi de gravitation et donner sa condition de validité.
Traiter un tir balistique sans frottement, établir l'équation de la trajectoire, la flèche et la portée.
Sur l'équation de chute avec frottement linéaire, déterminer la vitesse limite et le temps caractéristique sans la résoudre, puis l'adimensionner.
Établir l'équation du pendule simple, justifier l'analogie avec l'oscillateur harmonique et donner la période des petites oscillations.
Exploiter les lois de Coulomb sur un bloc placé sur un plan incliné, établir la condition de non glissement et l'angle limite.
Décrire un protocole de mesure d'une constante de raideur et d'un coefficient de frottement.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Conservation de la masse d'un système fermé. Postulat, exploitation exigible, par exemple lors d'une fragmentation.
p = m v(G) pour un système de deux points, m masse totale. Exigible avec démonstration.
Première loi de Newton. Postulat qui définit les référentiels galiléens, énoncé exigible.
Corollaire. Deux référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre. Justification qualitative exigible.
Troisième loi. Forces opposées, de même droite d'action. Postulat exigible.
Deuxième loi, dp/dt = Σ F_ext dans un référentiel galiléen, pour un système fermé. Postulat exigible. À masse constante, m a = Σ F_ext.
Conservation de p si Σ F_ext = 0, système isolé ou pseudo-isolé. Conséquence exigible.
Loi de la gravitation universelle. Admise, expression vectorielle exigible.
Champ de pesanteur uniforme, g = G M / R², valable si h ≪ R. Justification exigible.
Chute libre dans la pesanteur uniforme. Équations horaires, trajectoire parabolique, flèche et portée exigibles avec démonstration.
Frottement fluide linéaire et quadratique. Vitesse limite, temps caractéristique et forme adimensionnée exigibles, sans résolution analytique.
Force élastique linéaire, de norme k |l − l₀|. Exigible, avec extraction de k et l₀ à partir de mesures.
Tension d'un fil idéal, portée par le fil, dirigée vers le point d'attache, de norme inconnue. Exigible.
Équation du pendule simple, θ̈ + (g/l) sin θ = 0, et T₀ = 2π √(l/g) aux petites oscillations. Exigibles avec démonstration.
Lois de Coulomb. Fournies par l'énoncé, exploitation exigible en équilibre, mise en mouvement et freinage.
Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : forces d'inertie, correction de g due à la rotation terrestre, période du pendule en fonction de l'amplitude, formule de Stokes, qui doit être fournie.

Clés de démonstration

p = m v(G). On part de (m₁ + m₂) OG = m₁ OM₁ + m₂ OM₂, avec O fixe dans le référentiel d'étude. On dérive, les masses étant constantes pour un système fermé. L'astuce est la linéarité : la dérivée du barycentre est le barycentre des vitesses.

Référentiels galiléens entre eux. Un point isolé a une vitesse v constante dans R galiléen. Si R' est en translation de vitesse u(t) par rapport à R, sa vitesse dans R' vaut v − u(t). Elle n'est constante que si u l'est. L'astuce est de tester la première loi sur un point isolé dans les deux référentiels.

Pesanteur uniforme. À l'altitude h, la force vaut G M m / (R + h)², soit environ (G M m / R²)(1 − 2h/R). L'écart relatif est 2h/R. En direction, deux verticales distantes de d font entre elles un angle d/R. L'astuce est de quantifier les deux écarts.

Tir balistique. On projette m a = m g sur une base cartésienne fixe, on intègre deux fois, puis on élimine t. La flèche s'obtient en annulant v_z, la portée par la racine non nulle de z(x) = 0. L'astuce est de refaire ces trois lignes plutôt qu'apprendre les formules.

Vitesse limite et adimensionnement. La vitesse limite est la solution constante, obtenue en annulant la dérivée. On pose u = v / v_lim, puis on choisit l'échelle de temps qui fait disparaître tous les coefficients. L'équation désigne elle-même son temps caractéristique.

Pendule simple. En polaires de centre O avec r = l, a = − l θ̇² e_r + l θ̈ e_θ. La projection sur e_θ élimine la tension inconnue. Comme sin θ = θ − θ³/6 + ..., l'erreur relative de l'approximation linéaire est de l'ordre de θ²/6.

Angle limite. On suppose le non-glissement et on projette sur la pente et sur la normale : ‖T‖ = m g sin α et ‖N‖ = m g cos α. La condition ‖T‖ ≤ f ‖N‖ devient tan α ≤ f, indépendante de la masse.

Exemples et contre-exemples à connaître

Livre sur une table. Poids et réaction s'appliquent au même système. Ils se compensent par la deuxième loi, pas par la troisième.
Voiture qui démarre. Elle est propulsée par le frottement de la route sur les pneus, dirigé vers l'avant. Le frottement ne s'oppose donc pas toujours au mouvement.
Bloc posé sur un sol horizontal, sans autre sollicitation. La composante tangentielle est nulle, pas égale à f ‖N‖.
Obus qui explose en vol. Sans frottement, le centre de masse poursuit la parabole tant qu'aucun fragment ne touche le sol.
Deux patineurs qui se repoussent. Leurs vitesses sont opposées, dans le rapport inverse des masses. C'est la conservation de p à l'état pur.
Goutte tombant de 1 km. Sans frottement, elle arriverait à √(2 g h) ≈ 140 m/s. On observe quelques m/s : le modèle sans frottement est faux ici.
Pendule lâché à 90°. Sa période dépasse T₀ d'environ 18 %, et tend vers l'infini près de 180°. L'isochronisme n'est qu'une approximation.
Masse tournant au bout d'un fil dans un plan vertical. Si elle est trop lente en haut, le calcul donne une tension négative. Un fil ne pousse pas : il se détend et le modèle cesse de s'appliquer.
Train qui freine. Un objet posé sans frottement part vers l'avant sans force horizontale. Ce référentiel n'est pas galiléen.

Techniques du chapitre

Choisir le système pour éliminer les forces intérieures. Deux blocs m₁ et m₂ reliés par un fil, sur un plan horizontal sans frottement, force F sur m₁. Pour {1 + 2}, la tension est intérieure : a = F / (m₁ + m₂). Pour 2 seul : T = m₂ F / (m₁ + m₂).

Projeter sur l'axe qui élimine l'inconnue. Bloc sur un plan incliné d'angle α sans frottement. La réaction est normale au plan, on projette sur la pente : a = g sin α. N ne sert que si on la demande.

Conserver p plutôt que résoudre. Patineurs de 60 kg et 40 kg immobiles, le second part à 3 m/s. Forces verticales compensées, frottement négligé, donc 60 v₁ + 40 × 3 = 0, soit v₁ = − 2 m/s.

Lire la stabilité sur l'équation. Pour dv/dt = g − (λ/m) v, si v > v_lim la dérivée est négative et v diminue, si v < v_lim, v augmente. La vitesse limite est stable, quelle que soit la vitesse initiale.

Adimensionner le cas quadratique. Pour m dv/dt = m g − k v² en chute, on pose v_lim = √(m g / k), u = v / v_lim et T = t g / v_lim. On obtient du/dT = 1 − u². Le temps caractéristique est v_lim / g.

Remonter d'un ordre de grandeur à un paramètre. Parachutiste de 80 kg, vitesse limite 50 m/s. Alors k = m g / v² ≈ 0,31 kg/m. Avec ρ = 1,2 kg/m³, C_x S = 2k/ρ ≈ 0,5 m², plausible à plat ventre.

Poser une hypothèse de contact puis la valider. Bloc de 2 kg, f = 0,5, poussé horizontalement par 5 N. Sans glissement, ‖T‖ = 5 N et ‖N‖ = 19,6 N. Comme f ‖N‖ = 9,8 N ≥ 5 N, l'hypothèse est validée.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Obus qui explose au sommet

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un obus tiré du sol aurait une portée P sans frottement. Au sommet, il explose en deux morceaux de même masse, l'un ayant une vitesse nulle juste après. Où tombe l'autre ?

Technique Conservation de p pendant un phénomène bref.

Voir le corrigé

Au sommet, d'abscisse P/2, la vitesse est horizontale et vaut v = v₀ cos α.
L'explosion est très brève, le poids, fini, y communique une impulsion négligeable. Donc m v = (m/2) v₂, d'où v₂ = 2v.
Le premier morceau tombe verticalement, en x = P/2.
Le second tombe en une durée égale à la durée de montée t_S. Il parcourt 2 v t_S = P et tombe en x = 3P/2.
Vérification : le centre de masse des points de chute est en P.

piège : Refuser la conservation de p parce que le poids n'est pas nul. L'argument porte sur la brièveté.

Exercice 2. Le chasseur et le singe

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un chasseur vise un singe suspendu, qui se lâche à l'instant du tir. Montrer que la balle le touche, sans frottement, et donner la condition pour que ce soit en l'air.

Technique Mouvement relatif de deux points de même accélération.

Voir le corrigé

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, balle et singe ont l'accélération g.
OB = v₀ t + ½ g t² et OS = OS₀ + ½ g t².
Donc SB = v₀ t − OS₀ : mouvement relatif rectiligne uniforme selon la ligne de visée.
Comme v₀ est colinéaire à OS₀, SB s'annule à t₁ = OS₀ / v₀.
Si le singe est lâché d'une hauteur H, il faut ½ g t₁² < H.

piège : Chercher l'intersection des trajectoires. Il faut la même position au même instant.

Exercice 3. Bloc tiré par une masse pendante

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un bloc m₁ = 2,0 kg est posé sur une table, f = 0,50 au repos comme en glissement. Un fil idéal passant sur une poulie idéale porte m₂ = 1,5 kg. Le système part-il ? Calculer a et la tension.

Technique Hypothèse de non-glissement puis de glissement.

Voir le corrigé

Poulie idéale : on admet la même norme T de tension des deux côtés.
Non-glissement : T = m₂ g, composante tangentielle m₂ g, normale m₁ g. Il faudrait m₂ ≤ f m₁, soit 1,5 ≤ 1,0 : faux, le système part.
Glissement : T − f m₁ g = m₁ a et m₂ g − T = m₂ a.
En sommant, a = g (m₂ − f m₁)/(m₁ + m₂) = 1,40 m/s², positif, le sens supposé est cohérent.
T = m₂ (g − a) = 12,6 N, inférieure à m₂ g puisque m₂ descend en accélérant.

piège : Écrire T = m₂ g alors que m₂ accélère.

Exercice 4. Mesure de k et oscillations d'un ressort vertical

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un ressort suspendu mesure 24 cm avec 100 g et 28 cm avec 200 g. En déduire k et l₀, puis la période des oscillations verticales avec 100 g.

Technique Exploitation de l'équilibre, puis changement d'origine.

Voir le corrigé

À l'équilibre, k (l − l₀) = m g. Par différence, k = 0,981/0,04 = 24,5 N/m.
Alors l₀ = 24 − 4 = 20 cm.
Axe z descendant, z longueur du ressort : m z̈ = m g − k (z − l₀).
Avec Z = z − z_éq et z_éq = l₀ + m g/k, le poids disparaît : Z̈ + (k/m) Z = 0.
T = 2π √(m/k) = 0,40 s. Deux points ne valident pas la linéarité, il faut une série de mesures alignées.

piège : Garder le poids autour de l'équilibre et trouver une période dépendant de g.

Exercice 5. Viscosimètre à chute de bille

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Une bille d'acier, r = 1,0 mm, ρ_s = 7,8 × 10³ kg/m³, tombe dans du glycérol, ρ_f = 1,26 × 10³ kg/m³, η = 1,4 Pa·s. On donne le frottement − 6π η r v et la poussée ρ_f V g vers le haut. Déterminer v_lim et τ, puis proposer un protocole.

Technique Lecture de l'équation sans résolution, ordres de grandeur.

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m dv/dt = (ρ_s − ρ_f) V g − 6π η r v, avec V = 4π r³/3 et m = ρ_s V.
En annulant la dérivée, v_lim = 2 (ρ_s − ρ_f) g r² / (9η) ≈ 1,0 cm/s.
Par identification, τ = m / (6π η r) = 2 ρ_s r² / (9η) ≈ 1,2 ms.
Le transitoire est imperceptible : on chronomètre la traversée entre deux repères loin du point de lâcher.
On filme des billes de rayons différents et on trace ln v_lim en fonction de ln r. On attend une droite de pente 2.

piège : Oublier la poussée, ce qui surestime v_lim d'environ 20 %.

Exercice 6. Ouverture d'un parachute

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Un parachutiste de 80 kg chute à v₁ = 50 m/s. La voile s'ouvre, la nouvelle vitesse limite vaut v₂ = 5 m/s. Le coefficient du frottement quadratique change instantanément. Calculer la décélération initiale, adimensionner et critiquer le modèle.

Technique Analyse d'une équation non linéaire sans la résoudre.

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Après ouverture, m dv/dt = m g − k₂ v² avec k₂ = m g / v₂².
À l'ouverture, dv/dt = g (1 − v₁²/v₂²) = − 99 g ≈ − 970 m/s².
Avec u = v/v₂ et T = t g / v₂, du/dT = 1 − u² et u(0) = 10.
u décroît vers 1, atteint en quelques v₂/g ≈ 0,5 s.
Une centaine de g serait mortelle. En réalité la voile se déploie en quelques secondes. Une simulation avec k(t) croissant ramène le pic à quelques g.

piège : Ne pas confronter le résultat à un ordre de grandeur physiologique.

Exercice 7. Tension du fil d'un pendule

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Un pendule simple est lâché sans vitesse depuis θ₀. Exprimer θ̇² en fonction de θ, puis la tension, et la calculer au point bas pour θ₀ = 90°.

Technique Intégrale première, puis projection radiale.

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On multiplie l'équation du pendule par θ̇ et on intègre : θ̇²/2 − (g/l) cos θ = constante.
Avec θ̇ nul en θ₀, θ̇² = (2g/l)(cos θ − cos θ₀).
Sur e_r : − m l θ̇² = m g cos θ − T.
Donc T = m g cos θ + m l θ̇² = m g (3 cos θ − 2 cos θ₀).
Au point bas avec θ₀ = 90°, T = 3 m g.

piège : Écrire T = m g cos θ en oubliant le terme centripète.

Exercice 8. Bloc lancé vers le haut d'un plan incliné

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Un bloc est lancé à v₀ vers le haut d'une pente d'angle α, coefficient f. Calculer la distance d'arrêt. Le bloc redescend-il, et avec quelle accélération ?

Technique Les trois situations de Coulomb.

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Montée : T est dirigée vers le bas de la pente, ‖T‖ = f m g cos α.
L'accélération selon la pente vers le haut vaut − g (sin α + f cos α), d'où d = v₀² / (2g (sin α + f cos α)).
À l'arrêt, l'équilibre est possible si tan α ≤ f, et le bloc reste immobile.
Sinon il redescend, T est dirigée vers le haut, et l'accélération vers le bas vaut g (sin α − f cos α), positive.
La décélération à la montée dépasse l'accélération à la descente.

piège : Garder le même sens pour T à la montée et à la descente.

Exercice 9. Palet sur un plateau tournant

Approfondissement · Type oral Centrale

Un palet est posé à la distance r de l'axe d'un plateau horizontal tournant à ω constante, coefficient f. Trouver ω maximale sans glissement. Application avec f = 0,4 et r = 20 cm.

Technique Référentiel terrestre, coordonnées polaires, Coulomb.

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Dans le référentiel terrestre galiléen, sans force d'inertie, le palet non glissant a un mouvement circulaire uniforme : a = − r ω² e_r.
Verticalement, N = m g.
Horizontalement, T = − m r ω² e_r : le frottement est centripète.
Non-glissement si m r ω² ≤ f m g, soit ω ≤ √(f g / r) = 4,4 rad/s, environ 42 tours par minute.
Si ω varie, T gagne une composante orthoradiale m r ω̇ et le glissement survient plus tôt.

piège : Croire le frottement tangent à la trajectoire.

Exercice 10. Tir avec frottement linéaire

Approfondissement · Type écrit Mines-Ponts

Un projectile est lancé à v₀ sous l'angle α et subit − λ v. Établir x(t) et v_z(t), montrer l'existence d'une asymptote verticale et vérifier la limite sans frottement.

Technique Découplage des projections dans le cas linéaire.

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Avec τ = m/λ, x horizontal et z ascendant : dv_x/dt = − v_x/τ et dv_z/dt = − g − v_z/τ.
v_x = v₀ cos α e^−t/τ, d'où x = v₀ τ cos α (1 − e^−t/τ).
v_z = − g τ + (v₀ sin α + g τ) e^−t/τ, qui tend vers − g τ.
x reste inférieur à v₀ τ cos α : asymptote verticale.
Si τ tend vers l'infini, x ≈ v₀ cos α t, on retrouve la parabole.
En quadratique, v_x et v_z sont couplés par ‖v‖ : il faut une résolution numérique.

piège : Écrire − k v_x² au lieu de − k ‖v‖ v_x en quadratique.

Erreurs fréquentes

Ajouter une force « du mouvement » ou centrifuge dans un référentiel galiléen. Chaque force doit avoir un auteur extérieur identifié.
Écrire ‖T‖ = f ‖N‖ sans glissement. Ce n'est alors qu'une inégalité à vérifier.
Écrire le frottement quadratique − k v² e_z pour un mouvement qui change de sens. La forme correcte est − k ‖v‖ v.
Faire se compenser les deux forces d'un couple action-réaction, alors qu'elles s'appliquent à deux systèmes différents.
Oublier les conditions de validité : référentiel galiléen justifié, h ≪ R, petits angles en radians, fil tendu, domaine linéaire du ressort.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique de PCSI (2021), premier semestre, thème 2 « mouvements et interactions », partie 2.2 « Lois de Newton ». Elle couvre la quantité de mouvement, les trois lois de Newton, et les modèles de forces au programme, gravitation, pesanteur uniforme, frottement fluide, élasticité linéaire, tension d'un fil et frottement de glissement.