Le cours

Résumé en cinq points

Une norme donne une distance, donc des boules, des ouverts, des fermés, des limites. Deux normes équivalentes donnent exactement la même topologie.
Adhérence et fermeture se testent avec des suites, et la continuité aussi. L'image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une application continue est de même nature, jamais l'image directe.
Une application linéaire est continue si et seulement s'il existe $C$ avec $\norm{u(x)} \leqslant C\norm{x}$ , et le plus petit tel $C$ est la norme d'opérateur, qui est sous-multiplicative.
Compact veut dire que toute suite a une suite extraite convergente dans la partie. Un compact est fermé borné, l'image continue d'un compact est compacte, et une fonction réelle continue sur un compact non vide atteint ses bornes.
En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, les compacts sont les fermés bornés, toute application linéaire est continue, et tout sous-espace de dimension finie est fermé.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre donne le langage commun à toute l'analyse de deuxième année. Il dit ce que veut dire « être proche » quand les objets ne sont plus des nombres mais des vecteurs, des matrices, des polynômes ou des fonctions. Une norme fournit une distance, et tout le vocabulaire suit : boules, ouverts, fermés, adhérence, limites, continuité.

Trois idées le portent.

L'inégalité linéaire, qui gouverne la comparaison des normes et la continuité des applications linéaires.
La compacité, outil d'existence, pour un maximum comme pour une valeur d'adhérence.
La connexité par arcs, qui généralise le théorème des valeurs intermédiaires.

En dimension finie, presque tout devient automatique, ce qui servira pour les fonctions vectorielles et les équations différentielles.

Dans toute la fiche $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ , et $E$ , $F$ désignent des $\K$ -espaces vectoriels normés.

1Normes

1.1Définition

Définition 1.1Norme

Une norme sur $E$ est une application $N$ de $E$ dans $\R_+$ telle que, pour tous $x$ , $y$ de $E$ et tout $\lambda$ de $\K$ :

$N(x) = 0$ entraîne $x = 0$ ;
$N(\lambda x) = \abs{\lambda}\,N(x)$ ;
$N(x + y) \leqslant N(x) + N(y)$ .

On la note en général $\norm{x}$ . Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.

Propriété 1.2Seconde inégalité triangulaire

Pour tous $x$ , $y$ de $E$ : $\big|\,\norm{x} - \norm{y}\,\big| \leqslant \norm{x - y}.$ Elle montre que la norme est 1-lipschitzienne.

Définition 1.3Distance et boules

La distance associée est $d(x, y) = \norm{x - y}$ . Elle définit les boules ouvertes, les boules fermées et les sphères.

Les boules sont convexes, ce qui se lit sur l'inégalité triangulaire. Une partie est bornée si la norme y est majorée. Une suite et une fonction sont bornées si l'ensemble de leurs valeurs l'est.

1.2Exemples à connaître

Exemple 1.4Normes sur $\K^n$

$\begin{aligned} \norm{x}_1 &= \sum_{i=1}^{n} \abs{x_i},\\ \norm{x}_2 &= \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \abs{x_i}^2},\\ \norm{x}_\infty &= \max_{i} \abs{x_i}. \end{aligned}$ Sur un espace préhilbertien réel, la norme associée au produit scalaire est $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ .

Exemple 1.5Normes sur des espaces de fonctions

Sur l'espace des fonctions bornées d'un ensemble $X$ dans $\K$ , la norme de la convergence uniforme est $\norm{f}_\infty = \sup_{t \in X} \abs{f(t)}.$ Sur les fonctions continues sur un segment $\intff{a}{b}$ , on dispose en plus de :

la norme de la convergence en moyenne, $\norm{f}_1 = \int_a^b \abs{f}$ ;
la norme de la convergence en moyenne quadratique, $\norm{f}_2 = \sqrt{\int_a^b \abs{f}^2}$ , associée à un produit scalaire.

Sur un produit fini d'espaces normés, on utilise le maximum des normes des composantes.

2Suites

Définition 2.1Suite convergente

Une suite $(x_n)$ de $E$ converge vers $l$ si $\norm{x_n - l} \to 0$ .

Alors :

la limite est unique ;
la suite est bornée ;
les opérations algébriques passent à la limite ;
dans un produit fini d'espaces normés, une suite converge si et seulement si chacune de ses suites composantes converge.

Définition 2.2Valeur d'adhérence

Une valeur d'adhérence de $(x_n)$ est la limite d'une suite extraite.

Propriété 2.3Divergence par valeurs d'adhérence

Une suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence distinctes diverge.

C'est l'outil standard pour prouver une divergence, par exemple pour la suite de terme général $(-1)^n$ .

Attention

Une suite peut diverger sans avoir aucune valeur d'adhérence, comme la suite de terme général $n$ dans $\R$ .

3Comparaison des normes

Définition 3.1Normes équivalentes

Deux normes $N$ et $N'$ sur $E$ sont équivalentes s'il existe deux réels strictement positifs $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha N \leqslant N' \leqslant \beta N$ sur $E$ entier. C'est une relation d'équivalence.

Deux normes équivalentes donnent :

les mêmes parties bornées ;
les mêmes suites convergentes, avec les mêmes limites ;
plus généralement les mêmes ouverts, les mêmes fermés, les mêmes fonctions continues.

Toutes les notions de ce chapitre sont invariantes par changement de norme équivalente.

MéthodeMontrer que deux normes ne sont pas équivalentes

Exhiber une suite $(f_n)$ .
Montrer que le rapport $N'(f_n)/N(f_n)$ n'est pas borné.

Exemple 3.2Normes $\norm{\cdot}_\infty$ et $\norm{\cdot}_1$ sur $\mathcal{C}(\intff{0}{1}, \R)$

Avec $f_n(t) = t^n$ , on a $\norm{f_n}_\infty = 1$ et $\norm{f_n}_1 = \dfrac{1}{n+1}$ , donc le rapport tend vers l'infini. Ce phénomène est propre à la dimension infinie.

4Topologie d'un espace normé

4.1Ouverts et fermés

Définition 4.1Ouvert, fermé, voisinage

Une partie $U$ de $E$ est ouverte si pour tout $a$ de $U$ il existe $r > 0$ tel que $B(a, r) \subset U$ . Une partie est fermée si son complémentaire est ouvert. Un voisinage de $a$ est une partie contenant une boule ouverte centrée en $a$ .

Une boule ouverte est un ouvert.
Une boule fermée et une sphère sont des fermés.
$\emptyset$ et $E$ sont à la fois ouverts et fermés.

Propriété 4.2Stabilité

Une réunion quelconque et une intersection finie d'ouverts sont des ouverts.
Une intersection quelconque et une réunion finie de fermés sont des fermés.
Un produit fini d'ouverts est ouvert, un produit fini de fermés est fermé.

Attention

« Non ouvert » ne veut pas dire « fermé » : dans $\R$ , $[0, 1[$ n'est ni l'un ni l'autre. Les hypothèses de finitude sont indispensables : l'intersection des $]-1/n, 1/n[$ vaut $\{0\}$ , qui n'est pas ouvert, et la réunion des $[1/n, 1]$ vaut $]0, 1]$ , qui n'est pas fermé.

4.2Intérieur, adhérence, frontière

Définition 4.3Intérieur, adhérence, frontière

Un point $a$ est intérieur à $A$ si $A$ est un voisinage de $a$ . Il est adhérent à $A$ si toute boule ouverte centrée en $a$ rencontre $A$ .

L'intérieur de $A$ est le plus grand ouvert inclus dans $A$ .
L'adhérence de $A$ est le plus petit fermé contenant $A$ .
La frontière est la différence des deux.

$A$ est ouvert si et seulement si $A$ égale son intérieur, fermé si et seulement si $A$ égale son adhérence.

Propriété 4.4Caractérisation séquentielle

Un point $a$ est adhérent à $A$ si et seulement s'il existe une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $a$ .
Une partie $A$ est fermée si et seulement si toute suite d'éléments de $A$ qui converge dans $E$ a sa limite dans $A$ .

C'est la caractérisation la plus utilisée.

Définition 4.5Partie dense

$A$ est dense dans $E$ si son adhérence est $E$ , autrement dit si tout élément de $E$ est limite d'une suite d'éléments de $A$ .

Exemple 4.6

$\Q$ est dense dans $\R$ , et l'ensemble des matrices inversibles est dense dans $\mathcal{M}_n(\C)$ .

4.3Topologie relative

Définition 4.7Ouvert et fermé relatifs

Soit $A$ une partie de $E$ . Une partie $U$ de $A$ est un ouvert relatif de $A$ si $U$ est voisinage relatif dans $A$ de chacun de ses points, ce qui équivaut à dire que $U$ est l'intersection de $A$ avec un ouvert de $E$ .

Les fermés relatifs de $A$ sont les complémentaires dans $A$ des ouverts relatifs. Ce sont aussi les intersections de $A$ avec un fermé de $E$ .

Propriété 4.8Caractérisation séquentielle des fermés relatifs

Une partie $B \subset A$ est un fermé relatif de $A$ si et seulement si toute suite de $B$ convergeant vers un point de $A$ a sa limite dans $B$ .

Exemple 4.9

Dans $\R$ , $[0, 1[$ n'est pas ouvert, mais c'est un ouvert relatif de $\intff{0}{2}$ .

5Limites et continuité

5.1Limite

Définition 5.1Limite en un point

Hypothèses

$A$ est une partie de $E$ et $f$ une application de $A$ dans $F$ ;
$a$ est un point adhérent à $A$ .

Alors $f$ tend vers $l$ en $a$ si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que, pour tout $x$ de $A$ vérifiant $\norm{x - a} \leqslant \delta$ , on ait $\norm{f(x) - l} \leqslant \varepsilon$ . La limite, si elle existe, est unique.

Propriété 5.2Caractérisation séquentielle

Avec les mêmes hypothèses, $f$ tend vers $l$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de $A$ convergeant vers $a$ , $(f(x_n))$ converge vers $l$ .

C'est l'outil principal pour montrer qu'une limite n'existe pas, en exhibant deux suites donnant deux limites différentes.

On étend la définition :

au cas où $\norm{x}$ tend vers l'infini ;
au cas où $A$ est une partie de $\R$ et $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ;
au cas d'une fonction réelle de limite infinie.

Opérations algébriques et composition se comportent comme en première année. Une application à valeurs dans un produit fini admet une limite si et seulement si chaque composante en admet une.

5.2Continuité

Définition 5.3Continuité

$f$ est continue en $a$ si $f$ admet en $a$ une limite, nécessairement égale à $f(a)$ . Elle est continue sur $A$ si elle l'est en tout point.

La caractérisation séquentielle est identique. Somme, produit par un scalaire, produit, quotient quand il a un sens, et composée d'applications continues sont continues.

Théorème 5.4Image réciproque

Hypothèse : $f$ est continue de $E$ dans $F$ .

Alors l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert, et celle d'un fermé est un fermé.

MéthodeMontrer qu'une partie est ouverte ou fermée

L'écrire comme image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une application continue.
Pour un fermé, on peut aussi utiliser la caractérisation séquentielle.

Exemple 5.5

$\mathrm{GL}_n(\K)$ est ouvert dans $\mathcal{M}_n(\K)$ , comme image réciproque de $\K$ privé de $0$ par le déterminant, qui est continu.

Attention

L'image directe d'un ouvert n'a aucune raison d'être ouverte : l'image de $]-1, 1[$ par $x \mapsto x^2$ vaut $[0, 1[$ .

Théorème 5.6Prolongement

Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales.

5.3Continuité uniforme, applications lipschitziennes

Définition 5.7Continuité uniforme, lipschitzienne

$f$ est uniformément continue sur $A$ si le $\delta$ de la définition peut être choisi indépendamment du point. $f$ est $k$ -lipschitzienne si $\norm{f(x) - f(y)} \leqslant k\norm{x - y}$ sur $A$ .

Lipschitzienne entraîne uniformément continue, qui entraîne continue.

Attention

Les réciproques sont fausses : la racine carrée est uniformément continue sur $\intff{0}{1}$ sans être lipschitzienne, et $x \mapsto x^2$ est continue sur $\R$ sans y être uniformément continue.

Exemple 5.8Distance à une partie

Si $A$ est une partie non vide de $E$ , l'application qui à $x$ associe $d(x, A) = \inf_{a \in A} \norm{x - a}$ est 1-lipschitzienne sur $E$ , et $d(x, A) = 0$ si et seulement si $x$ est adhérent à $A$ .

6Applications linéaires et multilinéaires continues

Théorème 6.1Continuité d'une application linéaire

Hypothèse : $u$ est linéaire de $E$ dans $F$ .

Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

$u$ est continue ;
$u$ est continue en $0$ ;
$u$ est lipschitzienne ;
$u$ est bornée sur la boule unité ;
il existe $C \geqslant 0$ tel que $\norm{u(x)} \leqslant C\norm{x}$ pour tout $x$ .

On note $\mathcal{L}_c(E, F)$ l'ensemble de ces applications. C'est l'idée d'inégalité linéaire du programme : pour prouver la continuité d'une application linéaire, on cherche une majoration $\norm{u(x)} \leqslant C\norm{x}$ .

Définition 6.2Norme d'opérateur

Pour $u$ continue, la norme d'opérateur est $\norm{u}_{\mathrm{op}} = \sup_{\norm{x} \leqslant 1} \norm{u(x)}.$

Propriété 6.3Propriétés de la norme d'opérateur

C'est le plus petit $C$ valable ci-dessus, et $\norm{u(x)} \leqslant \norm{u}_{\mathrm{op}}\,\norm{x}$ pour tout $x$ .
C'est une norme sur $\mathcal{L}_c(E, F)$ .
Elle est sous-multiplicative : $\norm{v \circ u}_{\mathrm{op}} \leqslant \norm{v}_{\mathrm{op}}\,\norm{u}_{\mathrm{op}}$ .

Cela s'adapte aux matrices.

Exemple 6.4Contre-exemple en dimension infinie

Sur l'espace des polynômes muni de la norme $\norm{P} = \sup_{t \in [0,1]} \abs{P(t)}$ , la dérivation n'est pas continue. En effet $P_n = X^n$ vérifie $\norm{P_n} = 1$ et $\norm{P_n'} = n$ .

Propriété 6.5Applications multilinéaires

Une application multilinéaire est continue si et seulement s'il existe $C \geqslant 0$ majorant la norme de l'image par $C$ fois le produit des normes des arguments. La démonstration n'est pas exigible.

7Compacité

Définition 7.1Partie compacte

Une partie $A$ de $E$ est compacte si toute suite d'éléments de $A$ admet une suite extraite convergeant vers un élément de $A$ : c'est la propriété de Bolzano-Weierstrass. La propriété de Borel-Lebesgue est hors programme.

Propriété 7.2Propriétés des compacts

Une partie compacte est fermée et bornée.
Un fermé relatif d'un compact est compact.
Un produit fini de compacts est compact.
Une suite à valeurs dans un compact converge si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence.

Attention

La réciproque de « compact entraîne fermé borné » est fausse en dimension infinie. La boule unité fermée de l'espace des fonctions continues sur $\intff{0}{1}$ muni de la norme uniforme n'est pas compacte, comme le montre la suite des $t \mapsto t^n$ , dont aucune suite extraite ne converge uniformément.

Théorèmes sur les fonctions continues :

l'image d'un compact par une application continue est compacte ;
théorème de Heine : une application continue sur un compact y est uniformément continue ;
théorème des bornes atteintes : une application continue d'un compact non vide dans $\R$ est bornée et atteint ses bornes.

Ce dernier point est le principal outil d'existence en optimisation.

MéthodeProuver l'existence d'un extremum sur un domaine non compact

Montrer que la fonction continue tend vers l'infini à l'infini.
Se restreindre à une boule fermée assez grande, qui est un compact non vide.
Appliquer le théorème des bornes atteintes sur ce compact.

8Connexité par arcs

Définition 8.1Chemin, connexité par arcs

Un chemin joignant $a$ à $b$ dans une partie $A$ est une application continue $\gamma$ de $\intff{0}{1}$ dans $A$ avec $\gamma(0) = a$ et $\gamma(1) = b$ . $A$ est connexe par arcs si deux points quelconques de $A$ sont joints par un chemin tracé dans $A$ .

La relation « être joignable par un chemin dans $A$ » est une relation d'équivalence sur $A$ , dont les classes sont les composantes connexes par arcs de $A$ .

Propriété 8.2Cas simples

Toute partie convexe est connexe par arcs, le segment convient.
Toute partie étoilée par rapport à un point est connexe par arcs. Étoilée signifie que tout point se joint à ce centre par un segment inclus dans $A$ .
Les parties connexes par arcs de $\R$ sont exactement les intervalles.

Théorème 8.3Image d'un connexe par arcs

Hypothèse : $f$ est continue sur une partie $A$ connexe par arcs.

Alors l'image $f(A)$ est connexe par arcs.

Cas particulier à valeurs réelles : on retrouve le théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple 8.4 $\mathrm{GL}_n(\R)$ n'est pas connexe par arcs

Le déterminant est continu et ne s'annule pas sur $\mathrm{GL}_n(\R)$ , donc il garderait un signe constant le long d'un chemin. Sur ce point, le programme autorise une justification graphique quand la figure est claire.

9Espaces normés de dimension finie

On suppose ici $E$ de dimension finie.

Théorème 9.1Équivalence des normes

Hypothèse : $E$ est de dimension finie.

Alors toutes les normes sur $E$ sont équivalentes. La démonstration n'est pas exigible.

Conséquences, toutes exigibles :

Les notions d'ouvert, de fermé, de borné, de limite, de continuité, de compacité ne dépendent pas de la norme choisie. On parle de la topologie naturelle.
Une suite converge si et seulement si chacune de ses coordonnées dans une base converge. Même chose pour les limites de fonctions.
Une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
Une suite bornée converge si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence. Et toute suite bornée admet une valeur d'adhérence.
Tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé quelconque est fermé dans cet espace.
Toute application linéaire définie sur un espace de dimension finie est continue, autrement dit $\mathcal{L}(E, F) = \mathcal{L}_c(E, F)$ .
Les applications polynomiales en les coordonnées sont continues, ainsi que les applications multilinéaires sur un produit d'espaces de dimension finie. Exemples : le déterminant, le produit matriciel, la composition des applications linéaires, la trace.

À retenir

En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, les compacts sont les fermés bornés et toute application linéaire est continue.

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une partie est ouverte ou fermée

L'écrire comme image réciproque d'un fermé ou d'un ouvert par une application continue.
Pour les fermés, utiliser sinon la caractérisation séquentielle.

MéthodeMontrer que deux normes ne sont pas équivalentes

Construire une suite dont le rapport des normes explose.

MéthodeMontrer qu'une application linéaire est continue

Chercher une inégalité $\norm{u(x)} \leqslant C\norm{x}$ .
En dimension finie, il n'y a rien à démontrer.

MéthodeProuver l'existence d'un extremum

Exhiber un compact non vide sur lequel la fonction continue atteint ses bornes.
Si besoin, se restreindre à une boule fermée.

MéthodeMontrer qu'une suite diverge

Exhiber deux valeurs d'adhérence distinctes.

MéthodeMontrer une identité entre applications continues

La vérifier sur une partie dense.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Vérifier qu'une application donnée est une norme, et démontrer la seconde inégalité triangulaire.
Montrer que $\norm{\cdot}_1$ et $\norm{\cdot}_\infty$ ne sont pas équivalentes sur les fonctions continues de $\intff{0}{1}$ dans $\R$ .
Démontrer la caractérisation séquentielle des fermés et l'utiliser sur un exemple.
Montrer qu'une partie est ouverte ou fermée par image réciproque, par exemple $\mathrm{GL}_n(\K)$ et l'ensemble des matrices de trace nulle.
Démontrer l'équivalence entre continuité et existence d'une constante $C$ pour une application linéaire, et donner un exemple d'application linéaire non continue.
Démontrer qu'une partie compacte est fermée et bornée, et donner un fermé borné non compact en dimension infinie.
Énoncer et utiliser le théorème des bornes atteintes pour un problème d'existence d'extremum.
Montrer que $\mathrm{GL}_n(\R)$ n'est pas connexe par arcs et rappeler que les connexes par arcs de $\R$ sont les intervalles.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Seconde inégalité triangulaire | ‖x‖ − ‖y‖ | ≤ ‖x − y‖, donc la norme est 1-lipschitzienne. Exigible avec démonstration.
Les boules sont convexes. Exigible.
Une suite convergente a une limite unique et elle est bornée. Dans un produit fini, elle converge si et seulement si chaque composante converge. Exigible.
Une suite ayant deux valeurs d'adhérence distinctes diverge. Exigible.
Deux normes équivalentes ont les mêmes bornés, les mêmes suites convergentes et la même topologie. Exigible.
Une boule ouverte est ouverte. Une boule fermée et une sphère sont fermées. Les produits finis d'ouverts ou de fermés conservent leur nature. Exigible avec démonstration.
Caractérisation séquentielle des points adhérents et des fermés. Exigible avec démonstration.
Ouverts relatifs de A : les A ∩ U, avec U ouvert. Fermés relatifs : les A ∩ F, avec F fermé, et caractérisation séquentielle. Exigible.
Caractérisations séquentielles de la limite et de la continuité. Exigible.
Pour f continue sur E, l'image réciproque d'un ouvert est ouverte, celle d'un fermé est fermée. Pour f continue sur A, on obtient un ouvert ou un fermé relatif de A. Exigible.
Deux applications continues égales sur une partie dense sont égales. Exigible avec démonstration.
Pour A non vide, x ↦ d(x, A) est 1-lipschitzienne. Exigible avec démonstration.
Une application linéaire est continue si et seulement s'il existe C ≥ 0 tel que ‖u(x)‖ ≤ C‖x‖. Exigible avec démonstration.
La norme d'opérateur est une norme sur L_c(E, F), sous-multiplicative. Exigible.
Critère de continuité des applications multilinéaires. Démonstration non exigible.
Un compact est fermé borné. Un fermé relatif d'un compact est compact. Un produit fini de compacts est compact. Exigible avec démonstration.
Une suite d'un compact converge si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence. Exigible avec démonstration.
Image continue d'un compact, théorème de Heine, bornes atteintes sur un compact non vide. Exigible avec démonstration.
Convexes et étoilées sont connexes par arcs. Les connexes par arcs de R sont les intervalles. L'image continue d'un connexe par arcs l'est aussi. Exigible.
Équivalence des normes en dimension finie. Démonstration non exigible.
En dimension finie : compacts égaux aux fermés bornés, suite bornée convergente si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence, sous-espaces de dimension finie fermés, L(E, F) = L_c(E, F), continuité des applications polynomiales et multilinéaires. Exigible.
Hors programme : espaces métriques, suites de Cauchy, Banach, Borel-Lebesgue, point fixe de Banach, théorème de Riesz, connexité générale.

Clés de démonstration

Seconde inégalité triangulaire. On écrit x = (x − y) + y, d'où ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x − y‖, puis on échange x et y. Astuce : ajouter et retrancher le bon vecteur.

Boule ouverte ouverte. Pour b dans B(a, r), on pose r' = r − ‖b − a‖ > 0. Pour x dans B(b, r'), ‖x − a‖ < r' + ‖b − a‖ = r. Astuce : le rayon restant.

Caractérisation séquentielle. Si a est adhérent à A, chaque boule B(a, 1/(n + 1)) contient un point x_n de A, et x_n tend vers a. Réciproquement, une suite de A tendant vers a entre dans toute boule centrée en a. A est fermé si et seulement s'il contient ses points adhérents. Astuce : des rayons en 1/(n + 1).

Critère linéaire. Si u est continue en 0, avec ε = 1 on obtient δ > 0 tel que ‖y‖ ≤ δ entraîne ‖u(y)‖ ≤ 1. Pour x ≠ 0, on prend y = δx/‖x‖, et la linéarité donne ‖u(x)‖ ≤ ‖x‖/δ. Astuce : l'homogénéité ramène tout vecteur sur une sphère.

Compact entraîne fermé borné. Si A n'est pas borné, on choisit x_n dans A avec ‖x_n‖ ≥ n, et aucune extraite ne converge. Si une suite de A tend vers l, une extraite converge dans A, vers l par unicité. Astuce : unicité de la limite.

Unique valeur d'adhérence dans un compact. Si (x_n) ne tend pas vers l, une extraite reste hors de B(l, ε). Elle possède une extraite convergente, dont la limite est une valeur d'adhérence différente de l. Astuce : extraire deux fois.

Heine. En niant la continuité uniforme, on obtient ε > 0 et deux suites avec ‖x_n − y_n‖ ≤ 1/(n + 1) et ‖f(x_n) − f(y_n)‖ > ε. On extrait de (x_n) une suite convergeant vers a, la sous-suite correspondante de (y_n) tend aussi vers a, et la continuité en a donne une contradiction. Astuce : une seule extraction commune.

Bornes atteintes. f(K) est un compact non vide de R, donc borné. Sa borne supérieure est adhérente à f(K), qui est fermé, donc elle est atteinte. Astuce : sup adhérent plus fermé.

Distance à une partie. Pour a dans A, d(x, A) ≤ ‖x − a‖ ≤ ‖x − y‖ + ‖y − a‖. On passe à la borne inférieure en a. Astuce : minorer à gauche avant de passer à l'inf.

Sous-espace de dimension finie fermé. Une suite de F convergeant dans E vers l est bornée. Dans F de dimension finie, elle a une extraite convergeant dans F, vers l par unicité. Astuce : compacité des fermés bornés de F.

Linéaire en dimension finie. Dans une base (e_i), ‖u(x)‖ ≤ (Σ ‖u(e_i)‖)‖x‖∞, et l'équivalence des normes conclut. Astuce : la norme infinie dans une base.

Connexes par arcs de R. Si a < c < b avec a, b dans I et γ un chemin de a à b dans I, le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à γ donne c dans I. Astuce : revenir à la première année.

Exemples et contre-exemples à connaître

Sur K[X], N₁(P) = Σ |a_k| et N∞(P) = max |a_k| ne sont pas équivalentes : P_n = 1 + X + … + Xⁿ donne N∞(P_n) = 1 et N₁(P_n) = n + 1.
Dans C([0, 1], R), H = {f : f(0) = 0} est fermé pour ‖·‖∞, noyau de f ↦ f(0) continue. Il est dense pour ‖·‖₁ : f_n(t) = min(nt, 1) vérifie ‖f_n − 1‖₁ = 1/(2n). Être fermé dépend de la norme.
GL_n(K) est ouvert et dense dans M_n(K). Il n'est pas connexe par arcs pour K = R, mais l'est pour K = C (exercice 8).
Pour n ≥ 2, les diagonalisables de M_n(C) sont denses mais pas fermées. La matrice de lignes (1/k, 1) et (0, 0) a deux valeurs propres distinctes et tend vers le bloc nilpotent de lignes (0, 1) et (0, 0), non diagonalisable.
Les nilpotentes de M_n(K) forment un fermé, image réciproque de {0} par A ↦ Aⁿ, polynomiale.
La sphère unité de R, égale à {−1, 1}, n'est pas connexe par arcs. Celle de Rⁿ, n ≥ 2, l'est : pour y ≠ −x on normalise le segment de x à y, pour y = −x on passe par un troisième point.
f(x, y) = x²y/(x⁴ + y²), prolongée par 0, tend vers 0 sur toute droite passant par l'origine, mais f(t, t²) = 1/2. Tester les droites ne suffit jamais.
t ↦ e^2iπt est continue et bijective de [0, 1[ sur le cercle U. Sa réciproque n'est pas continue, sinon [0, 1[ serait image continue du compact U.

Techniques du chapitre

Technique 1 : vérifier une norme, la séparation étant le vrai travail. Sur R_n[X], N(P) = Σ_k=0ⁿ |P(k)|. Si N(P) = 0, P a n + 1 racines et un degré au plus n, donc P = 0. Le reste se vérifie terme à terme.

Technique 2 : fermé par image réciproque. Les projecteurs de M_n(K) forment l'image réciproque de {0} par A ↦ A² − A, polynomiale donc continue. C'est un fermé.

Technique 3 : non-existence d'une limite avec deux suites. Pour f(x, y) = xy/(x² + y²), f(1/n, 0) = 0 et f(1/n, 1/n) = 1/2. Pas de limite en (0, 0), donc pas de prolongement continu.

Technique 4 : norme d'opérateur en deux temps. Pour φ(f) = ∫₀¹ f sur C([0, 1]) muni de ‖·‖∞, |φ(f)| ≤ ‖f‖∞, et f = 1 réalise l'égalité. Donc ‖φ‖ = 1.

Technique 5 : non-continuité par une suite. Pour φ(P) = P(2) sur R[X] muni de ‖P‖ = sup sur [0, 1] de |P|, P_n = Xⁿ donne ‖P_n‖ = 1 et φ(P_n) = 2ⁿ. Aucune constante C ne convient.

Technique 6 : minimum via un compact. Si f est continue sur Rⁿ et tend vers +∞ à l'infini, on choisit R avec f(x) > f(0) pour ‖x‖ > R. Sur la boule fermée B(0, R), compacte non vide, f atteint un minimum, au plus f(0), donc global.

Technique 7 : connexité contre une propriété discrète. Si f de R dans R est continue à valeurs dans Q, f(R) est un intervalle inclus dans Q, donc un point. f est constante.

Technique 8 : identité par densité. Montrons χ_AB = χ_BA. Si A est inversible, AB = A(BA)A⁻¹ est semblable à BA. À B et x fixés, A ↦ χ_AB(x) − χ_BA(x) est polynomiale, nulle sur GL_n(K) dense, donc nulle.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Une norme sur C¹ plus forte que la norme uniforme

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Sur E = C¹([0, 1], R), on pose N(f) = |f(0)| + ‖f'‖∞. Montrer que N est une norme, que ‖f‖∞ ≤ N(f), et que N et ‖·‖∞ ne sont pas équivalentes.

Technique séparation par intégration, puis rapport qui explose.

Voir le corrigé

Si N(f) = 0, alors f' = 0, donc f est constante égale à f(0) = 0. Homogénéité et inégalité triangulaire viennent de celles de |·| et de ‖·‖∞.
f(x) = f(0) + ∫₀^x f', donc |f(x)| ≤ |f(0)| + x‖f'‖∞ ≤ N(f).
Pour f_n(t) = tⁿ, ‖f_n‖∞ = 1 et N(f_n) = n. Le rapport n'est pas borné.

piège : Conclure l'équivalence à partir de la seule inégalité du point 2.

Exercice 2. Matrices de rang au plus r

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que l'ensemble F_r des matrices de M_n,p(K) de rang au plus r est fermé. En déduire que si A_k tend vers A, alors rg A_k ≥ rg A pour k assez grand.

Technique image réciproque par des applications polynomiales.

Voir le corrigé

rg A ≤ r si et seulement si tous les mineurs d'ordre r + 1 sont nuls, car le rang est la taille maximale d'une sous-matrice carrée inversible.
Chaque mineur est polynomial, donc continu. F_r est une intersection finie d'images réciproques de {0}, donc fermé.
Soit s = rg A, le cas s = 0 étant trivial. Le complémentaire de F_s−1 est un ouvert contenant A, donc une boule B(A, ε), où A_k finit par entrer. D'où rg A_k ≥ s.

piège : Croire le rang continu : (1/k)I_n tend vers 0 avec un rang égal à n. À la limite, le rang peut chuter, jamais augmenter.

Exercice 3. Norme d'une primitivation

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Sur E = C([0, 1], R), on pose u(f)(x) = ∫₀^x f. Calculer la norme d'opérateur de u pour ‖·‖∞, puis pour ‖·‖₁, et montrer que dans le second cas elle n'est pas atteinte.

Technique majoration, puis suite qui approche la borne.

Voir le corrigé

|u(f)(x)| ≤ x‖f‖∞ ≤ ‖f‖∞, et f = 1 donne l'égalité. Donc ‖u‖ = 1 pour ‖·‖∞.
|u(f)(x)| ≤ ∫₀^x |f| ≤ ‖f‖₁, et en intégrant, ‖u(f)‖₁ ≤ ‖f‖₁.
Soit f_n(t) = 2n(1 − nt) sur [0, 1/n] et 0 ensuite. Alors ‖f_n‖₁ = 1, u(f_n) ≥ 0 et u(f_n) = 1 sur [1/n, 1]. Donc ‖u(f_n)‖₁ ≥ 1 − 1/n, et ‖u‖ = 1.
Si ‖u(f)‖₁ = ‖f‖₁, la fonction continue x ↦ ∫₀^x |f| est majorée par ‖f‖₁ et d'intégrale au moins ‖f‖₁. Elle vaut donc ‖f‖₁ partout. En x = 0, ‖f‖₁ = 0, donc f = 0.

piège : Croire la borne supérieure toujours atteinte. En dimension infinie, la sphère unité n'est pas compacte.

Exercice 4. Le groupe orthogonal

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que O_n(R) est compact et n'est pas connexe par arcs.

Technique fermé borné en dimension finie, puis image continue d'un connexe par arcs.

Voir le corrigé

O_n(R) est l'image réciproque de {I_n} par A ↦ AᵀA, continue car le produit matriciel l'est. C'est un fermé.
Pour ‖A‖ = √tr(AᵀA), toute matrice orthogonale a pour norme √n. O_n(R) est borné, donc compact.
Le déterminant est continu, vaut 1 en I_n et −1 en diag(−1, 1, …, 1), et ne prend que ces deux valeurs. Si O_n(R) était connexe par arcs, son image serait un intervalle contenant −1 et 1, donc 0.

piège : Dire « borné » sans choisir de norme.

Exercice 5. Distance à un sous-espace de dimension finie

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soient E un espace normé, F un sous-espace de dimension finie et a dans E. Montrer qu'il existe b dans F tel que ‖a − b‖ = d(a, F).

Technique se restreindre à un compact.

Voir le corrigé

g : x ↦ ‖a − x‖ est continue sur F.
Soient R = ‖a‖ = g(0) et K = {x ∈ F : g(x) ≤ R}. K contient 0, il est fermé dans F et borné, car ‖x‖ ≤ ‖x − a‖ + ‖a‖ ≤ 2R. F étant de dimension finie, K est compact.
g atteint sur K un minimum en b. Hors de K, g(x) > R ≥ g(b). Donc g(b) = d(a, F).

piège : Affirmer qu'un fermé borné de E est compact : K l'est parce qu'il est inclus dans F. L'unicité est fausse en général : dans R² muni de ‖·‖∞, avec a = (0, 1) et F l'axe des abscisses, tous les (t, 0) avec |t| ≤ 1 réalisent la distance.

Exercice 6. Pas d'injection continue de R² dans R

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer qu'aucune application continue de R² dans R n'est injective.

Technique retirer un point et comparer les connexités par arcs.

Voir le corrigé

f(R²) est un intervalle I contenant deux réels u < v, donc w = (u + v)/2. On écrit w = f(a).
R² privé de a est connexe par arcs. Pour b, c dans cet ensemble, si [b, c] évite a il convient. Sinon, on passe par un point d hors de la droite (bc) : [b, d] et [d, c] évitent a.
Par injectivité, l'image de R² privé de a est I privé de w, qui contient u et v mais pas w. Ce n'est pas un intervalle, contradiction.

piège : Dire que R² privé d'un point est convexe ou étoilé. Il faut la ligne brisée.

Exercice 7. Point fixe d'une application strictement contractante sur un compact

Approfondissement · Type oral Mines

Soient K un compact non vide et f de K dans K telle que ‖f(x) − f(y)‖ < ‖x − y‖ pour x ≠ y. Montrer que f a un unique point fixe a et que toute suite x_n+1 = f(x_n) converge vers a.

Technique minimiser sur un compact, puis unique valeur d'adhérence.

Voir le corrigé

f est 1-lipschitzienne, donc continue. g(x) = ‖f(x) − x‖ atteint son minimum sur K en a.
Si f(a) ≠ a, g(f(a)) < g(a), absurde. Deux points fixes distincts a et b donneraient ‖a − b‖ < ‖a − b‖.
d_n = ‖x_n − a‖ vérifie d_n+1 = ‖f(x_n) − f(a)‖ ≤ d_n, donc décroît vers δ.
Soit b limite de x_φ(n). Alors ‖b − a‖ = δ, et x_φ(n)+1 tend vers f(b), donc ‖f(b) − a‖ = δ. Si b ≠ a, δ = ‖f(b) − f(a)‖ < ‖b − a‖ = δ. Donc b = a.
La suite vit dans un compact et a pour unique valeur d'adhérence a, donc elle converge vers a.

piège : Invoquer le point fixe de Banach, hors programme et inapplicable faute de constante k < 1.

Exercice 8. GL_n(C) est connexe par arcs

Approfondissement · D'après un écrit Mines ou Centrale

Montrer que deux matrices A et B de GL_n(C) sont reliées par un chemin dans GL_n(C).

Technique un polynôme non nul a un nombre fini de racines, que le plan complexe permet de contourner.

Voir le corrigé

P(z) = det((1 − z)A + zB) est un polynôme avec P(0) = det A ≠ 0 et P(1) = det B ≠ 0. Il a un nombre fini de racines, distinctes de 0 et 1.
Pour s réel, soit z_s(t) = t + ist(1 − t), t dans [0, 1]. Pour s ≠ s', z_s et z_s' ne se rencontrent qu'en 0 et 1. Chaque racine est sur au plus une courbe, donc un s convient pour les éviter toutes.
γ(t) = (1 − z_s(t))A + z_s(t)B est continue, inversible pour tout t, avec γ(0) = A et γ(1) = B.

piège : Prendre le segment réel de A à B, qui peut traverser une matrice non inversible, comme dans M_n(R).

Exercice 9. Forme linéaire continue et noyau fermé

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit φ une forme linéaire non nulle sur un espace normé E. Montrer que φ est continue si et seulement si son noyau H est fermé.

Technique suite normalisée et adhérence d'un sous-espace.

Voir le corrigé

Si φ est continue, H = φ⁻¹({0}) est fermé.
Si φ n'est pas continue, pour tout n il existe z_n ≠ 0 avec |φ(z_n)| > n‖z_n‖. On pose x_n = z_n/φ(z_n) : φ(x_n) = 1 et ‖x_n‖ < 1/n.
Soit a avec φ(a) = 1. Les a − x_n sont dans H et tendent vers a.
L'adhérence de H est un sous-espace, par passage à la limite dans λx_n + y_n. Elle contient H et a, et E = H + Ka puisque x = (x − φ(x)a) + φ(x)a. Elle vaut donc E, et H ≠ E n'est pas fermé.

piège : Oublier de normaliser pour avoir φ(x_n) = 1. Sinon, a − x_n n'est pas dans le noyau.

Erreurs fréquentes

Conclure à une limite en (0, 0) parce qu'elle est la même sur toutes les droites. Il faut une majoration uniforme, en polaires ou avec |xy| ≤ (x² + y²)/2.
Parler de continuité ou de fermeture en dimension infinie sans préciser la norme. Un même sous-espace peut être fermé pour une norme et dense pour une autre.
Annoncer une norme d'opérateur après la seule majoration, sans vecteur réalisant l'égalité ni suite approchant la borne.
Appliquer les bornes atteintes sans compact, sur un ouvert ou sur Rⁿ entier. On se restreint d'abord à une boule fermée, puis on justifie que l'extremum est global.
Oublier que la limite de l'extraite doit appartenir à la partie, ou que « unique valeur d'adhérence entraîne convergence » exige un compact ou une suite bornée en dimension finie. La suite u_2n = 0, u_2n+1 = n a une seule valeur d'adhérence et diverge.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP, section « Topologie des espaces vectoriels normés ». Elle couvre les normes, les suites, la topologie, les limites et la continuité, les applications linéaires continues, la compacité, la connexité par arcs et le cas de la dimension finie. Les notions d'espace métrique, d'espace topologique, de suite de Cauchy et d'espace de Banach sont hors programme.

Topologie des espaces vectoriels normés

Résumé en cinq points

1Normes

1.1Définition

1.2Exemples à connaître

2Suites

3Comparaison des normes

4Topologie d'un espace normé

4.1Ouverts et fermés

4.2Intérieur, adhérence, frontière

4.3Topologie relative

5Limites et continuité

5.1Limite

5.2Continuité

5.3Continuité uniforme, applications lipschitziennes

6Applications linéaires et multilinéaires continues

7Compacité

8Connexité par arcs

9Espaces normés de dimension finie

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Une norme sur C¹ plus forte que la norme uniforme

Exercice 2. Matrices de rang au plus r

Exercice 3. Norme d'une primitivation

Exercice 4. Le groupe orthogonal

Exercice 5. Distance à un sous-espace de dimension finie

Exercice 6. Pas d'injection continue de R² dans R

Exercice 7. Point fixe d'une application strictement contractante sur un compact

Exercice 8. GL_n(C) est connexe par arcs

Exercice 9. Forme linéaire continue et noyau fermé

Erreurs fréquentes

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