Mathématiques 1

Déterminons les valeurs propres possibles de $u$, puis montrons que $\operatorname{tr}(u) = 0$.

Valeurs propres.

Le polynôme $X^2$ annule $u$.

D'après le théorème sur les racines d'un annulateur (théorème 6.2), toute valeur propre de $u$ est racine de $X^2$, donc vaut $0$.

Ainsi $\operatorname{Sp}(u) \subset \{0\}$.

Or $\chi_u$ est de degré $n \ge 1$.

D'après le théorème de d'Alembert-Gauss (théorème 5.1), il a une racine dans $\mathbb{C}$, qui est une valeur propre de $u$ (théorème 2.3, valeurs propres et racines).

Donc $\operatorname{Sp}(u) = \{0\}$ : la seule valeur propre possible est $0$, et c'est bien une valeur propre.

Trace.

Comme $\mathbb{C}$ est algébriquement clos, $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{C}$.

Donc $u$ est trigonalisable (théorème 4.2, critère de trigonalisabilité).

D'après la propriété liant trace et valeurs propres (propriété 4.3, trace et déterminant), $\operatorname{tr}(u)$ est la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité.

La seule valeur propre est $0$, de multiplicité $n$ :

Donc $0$ est la seule valeur propre de $u$, et $\operatorname{tr}(u) = 0$.