Physique II

Notations et définitions.

L’air est assimilé au vide pour ses propriétés électriques et magnétiques.

Les constantes utilisées sont :

Le condensateur plan possède deux armatures de surface $S$, séparées d’une distance $d$.

L’hypothèse $d\ll\sqrt S$ permet de négliger les effets de bord.

Ses armatures portent les charges algébriques $q$ et $-q$.

La tension $u$ est le potentiel de l’armature portant $q$ moins celui de l’autre armature.

Pour l’étude initiale du condensateur plan en Q1 et Q2, la tension $u$ est constante.

Dans le moteur, le rotor porte deux électrodes conductrices diamétralement opposées, chacune en quart de disque.

Le stator possède deux électrodes de même forme.

Le rayon utile est $R$ et la séparation axiale est $d$.

Le jeu radial entre l’axe conducteur du rotor et le bord intérieur du stator est noté $\delta$.

On suppose $d\ll R$ et $\delta\ll R$.

L’axe conducteur assure initialement l’alimentation du rotor par un contact glissant.

L’angle $\theta_r$ repère le rotor.

À $\theta_r=0$, les secteurs du rotor et du stator ne se recouvrent pas ; à $\theta_r=\pi/2$, leur recouvrement est maximal.

La capacité est $C(\theta_r)$, de valeurs extrêmes $C_{\min}$ et $C_{\max}$.

Posons :

L’énergie électrostatique est $\mathcal E_{\mathrm{el}}$.

Le sujet admet la relation suivante pour le couple électrostatique $\Gamma$ :

L’alimentation commutée prend les valeurs $0$ et $U$, avec $U>0$.

Sa fréquence est $f$ et sa pulsation fondamentale est $\omega=2\pi f$.

On choisit le sens de rotation tel que $\Omega=\dot\theta_r>0$.

Les moyennes angulaires calculées ci-dessous correspondent aux moyennes temporelles en rotation uniforme.

La généralisation comporte $p\in\mathbb{N}^*$ paires d’électrodes par plaque.

Chaque secteur conducteur et chaque intervalle le séparant du suivant ont une ouverture $\pi/(2p)$.

La structure multicouche possède $N$ plaques rotoriques intercalées entre $N+1$ plaques statoriques.

Pour l’application numérique :

Les plaques ont une épaisseur de $300\,\mathrm{\mu m}$ et la tension a un rapport cyclique de $50\,\%$.

Enfin, la variante sans contact glissant possède un rotor flottant et deux demi-stators isolés entre lesquels est appliquée la tension.