Partie A : les cas $n = 1$ et $n = 2$

I : le cas $n = 1$

Q1.

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Résultat

Donc $X_1$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ (définition 4.3) : pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , $P(X_1 = k) = pq^{k-1}$ , et $P(X_1 = +\infty) = 0$ .

Déterminons la loi de $X_1$ .

Soit $k \in \mathbb{N}^*$ .

Le premier pile tombe au lancer $k$ exactement lorsque les $k - 1$ premiers lancers donnent face et que le $k$ -ième donne pile :

(X_1 = k) = F_1 \cap \dots \cap F_{k-1} \cap \Pi_k.

Les lancers sont indépendants, donc $P(X_1 = k) = q^{k-1}p$ .

Or $0 < q < 1$ , donc :

\sum_{k=1}^{+\infty} q^{k-1}p = \frac{p}{1 - q} = 1.

Par conséquent :

\begin{aligned} P(X_1 = +\infty) &= 1 - \sum_{k=1}^{+\infty} P(X_1 = k) \\ &= 0. \end{aligned}

Donc $X_1$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ (définition 4.3) : pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , $P(X_1 = k) = pq^{k-1}$ , et $P(X_1 = +\infty) = 0$ .

Q2

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Corrigé complet avec Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Q3

Mathématiques 1

Le sujet complet

Aperçu : Q1

Partie A : les cas n=1n = 1n=1 et n=2n = 2n=2

I : le cas n=1n = 1n=1

Q1.

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