Ton programme de PSI : ce chapitre est traité par Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (PC).

Au programme de PSI en plus, traité dans un complément à venir :

Application de la diagonalisation à des exemples de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

Le cours

Résumé en cinq points

$\lambda$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $u - \lambda\,\mathrm{id}$ n'est pas injectif, et en dimension finie si et seulement si $\lambda$ est racine du polynôme caractéristique.
Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont toujours en somme directe, et la dimension de chacun est majorée par la multiplicité correspondante.
$u$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $\dim(E)$ , ce qui équivaut à $\chi_u$ scindé avec $\dim E_\lambda = m(\lambda)$ pour toute valeur propre.
$u$ est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. C'est le critère le plus rapide quand une relation algébrique est fournie.
$u$ est trigonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé, ce qui est automatique sur $\C$ . La trace et le déterminant sont alors la somme et le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité.

Pourquoi ce chapitre

Réduire un endomorphisme, c'est chercher une base dans laquelle sa matrice est aussi simple que possible, diagonale si on peut, triangulaire sinon. Tout devient alors facile :

les puissances ;
l'inverse ;
les systèmes différentiels linéaires ;
les suites récurrentes couplées.

Le programme demande de maîtriser deux points de vue complémentaires.

Le point de vue géométrique repose sur les sous-espaces stables et les éléments propres.
Le point de vue algébrique repose sur les polynômes annulateurs.

Un bon réflexe consiste à choisir le point de vue le plus économique selon l'énoncé. Aux concours, ce chapitre est présent chaque année, seul ou combiné aux équations différentielles, aux suites, ou aux matrices symétriques réelles. Les classes de similitude et le polynôme minimal sont hors programme en PC.

1Éléments propres

1.1Définitions

Définition 1.1Droite stable

Une droite vectorielle $D$ est stable par $u$ si $u(D) \subset D$ , ce qui revient à dire que tout vecteur directeur $x$ vérifie $u(x) = \lambda x$ pour un scalaire $\lambda$ .

Définition 1.2Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre

Un scalaire $\lambda$ est valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur $x$ non nul tel que $u(x) = \lambda x$ . Un tel $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ .

Le sous-espace propre associé est $E_\lambda(u) = \Ker(u - \lambda\,\mathrm{id}_E).$ Il contient le vecteur nul, mais le vecteur nul n'est jamais un vecteur propre.

Définition 1.3Spectre

En dimension finie, le spectre $\mathrm{Sp}(u)$ est l'ensemble des valeurs propres de $u$ .

La notion de valeur spectrale est hors programme.

Traduction immédiate : $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $u - \lambda\,\mathrm{id}$ n'est pas injectif. En dimension finie, cela équivaut à $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ .

Pour une matrice carrée $A$ , les mêmes définitions s'écrivent avec l'équation $AX = \lambda X$ , où $X$ est une colonne non nulle.

Exemple 1.4Une matrice à un seul vecteur propre

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . L'équation $AX = \lambda X$ donne $\begin{cases} x + y = \lambda x\\ y = \lambda y \end{cases}$ Si $y \neq 0$ , alors $\lambda = 1$ puis $y = 0$ , contradiction. Donc $y = 0$ et $\lambda = 1$ . Le spectre est $\{1\}$ et le sous-espace propre est la droite engendrée par $(1, 0)$ , de dimension 1 seulement.

1.2Commutation

Propriété 1.5Sous-espaces propres et commutation

Si $u$ et $v$ commutent, les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$ .

Démonstration

Si $x \in E_\lambda(u)$ , alors $\begin{aligned} u(v(x)) &= v(u(x))\\ &= v(\lambda x) = \lambda v(x), \end{aligned}$ donc $v(x) \in E_\lambda(u)$ . C'est le lemme du chapitre précédent appliqué à $\Ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ , puisque $v$ commute aussi avec $u - \lambda\,\mathrm{id}$ .

1.3Indépendance des sous-espaces propres

Théorème 1.6Somme directe de sous-espaces propres

Hypothèses

$\lambda_1, \dots, \lambda_p$ sont des valeurs propres de $u$ deux à deux distinctes.

Alors la somme $E_{\lambda_1}(u) + \dots + E_{\lambda_p}(u)$ est directe.

Démonstration

Par récurrence sur le nombre $p$ de valeurs propres. Supposons $x_1 + \dots + x_p = 0$ avec $x_i \in E_{\lambda_i}$ . On applique $u - \lambda_p\,\mathrm{id}$ à cette égalité. Le terme $x_p$ disparaît et il reste $\sum_{i=1}^{p-1} (\lambda_i - \lambda_p)\,x_i = 0.$ L'hypothèse de récurrence donne $(\lambda_i - \lambda_p)x_i = 0$ , et comme les valeurs propres sont distinctes, $x_i = 0$ pour $i < p$ , puis $x_p = 0$ .

Corollaire 1.7Famille de vecteurs propres

Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. En particulier, un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ a au plus $n$ valeurs propres distinctes.

1.4Polynôme annulateur et valeurs propres

Si $u(x) = \lambda x$ avec $x$ non nul, alors $u^k(x) = \lambda^k x$ pour tout $k$ , donc $P(u)(x) = P(\lambda)x$ pour tout polynôme $P$ .

Théorème 1.8Valeurs propres et polynôme annulateur

Hypothèses

$P$ est un polynôme annulateur de $u$ .

Alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$ .

Démonstration

Soit $\lambda$ valeur propre et $x$ un vecteur propre associé. Alors $0 = P(u)(x) = P(\lambda)x$ , et $x$ n'est pas nul, donc $P(\lambda) = 0$ .

Attention

La réciproque est fausse : toute racine d'un polynôme annulateur n'est pas forcément une valeur propre. Le polynôme $X^2 - 1$ annule l'identité, pourtant $-1$ n'est pas valeur propre de l'identité. Un polynôme annulateur fournit une liste de candidats, pas la liste exacte du spectre. Il faut toujours vérifier ensuite quelles racines sont effectivement atteintes.

2Polynôme caractéristique

2.1Définition et premiers coefficients

Définition 2.1Polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique de la matrice carrée $A$ de taille $n$ est $\chi_A = \det(X I_n - A).$ Avec cette convention il est unitaire, de degré $n$ . Pour un endomorphisme $u$ d'un espace de dimension finie, $\chi_u$ est le polynôme caractéristique de sa matrice dans une base quelconque.

Propriété 2.2Coefficients à connaître

Le coefficient de $X^{n-1}$ vaut $-\tr(A)$ .
Le terme constant vaut $\chi_A(0) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$ .

2.2Racines et spectre

Propriété 2.3Racines de $\chi_u$

Les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $\chi_u$ dans $\K$ . C'est la traduction de $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ .

Attention

Une matrice réelle peut ne pas avoir de valeur propre réelle tout en ayant des valeurs propres complexes. La matrice de rotation d'angle droit dans le plan, $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , a pour polynôme caractéristique $X^2 + 1$ . Son spectre réel est vide, son spectre complexe est $\{\ii, -\ii\}$ . Quand on parle du spectre complexe d'une matrice réelle, on la regarde comme matrice à coefficients complexes.

2.3Similitude

Propriété 2.4Matrices semblables

Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités.

Démonstration

$\begin{aligned} \det(XI - P^{-1}AP) &= \det(P^{-1}(XI - A)P)\\ &= \det(XI - A). \end{aligned}$

Attention

La réciproque est fausse. La matrice identité de taille 2 et la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ont toutes deux $(X - 1)^2$ pour polynôme caractéristique et ne sont pas semblables, car seule la première est diagonale et toute matrice semblable à l'identité est l'identité.

2.4Multiplicité et dimension du sous-espace propre

Définition 2.5Multiplicité

La multiplicité $m(\lambda)$ d'une valeur propre $\lambda$ est sa multiplicité comme racine de $\chi_u$ .

Propriété 2.6Majoration de la dimension

Pour toute valeur propre $\lambda$ de $u$ : $1 \leqslant \dim E_\lambda(u) \leqslant m(\lambda).$

Démonstration

Posons $d = \dim E_\lambda$ . On complète une base de $E_\lambda$ en une base de $E$ . Dans cette base, la matrice de $u$ est triangulaire supérieure par blocs, le bloc diagonal supérieur étant $\lambda I_d$ . Le calcul du déterminant par blocs montre que $(X - \lambda)^d$ divise $\chi_u$ , donc $d \leqslant m(\lambda)$ .

Attention

L'inégalité peut être stricte. C'est exactement le défaut qui empêche la diagonalisation.

2.5Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème 2.7Cayley-Hamilton

$\chi_u(u) = 0$ . Autrement dit, le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur.

La démonstration n'est pas exigible.

Il fournit gratuitement un polynôme annulateur de degré $n$ , utilisable pour calculer les puissances ou l'inverse. Pour une matrice de taille 2, il s'écrit $A^2 - \tr(A)\,A + \det(A)\,I = 0,$ relation à connaître par cœur.

3Diagonalisation en dimension finie

3.1Définitions

Définition 3.1Endomorphisme diagonalisable

Un endomorphisme d'un espace de dimension finie est diagonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale. Une telle base est nécessairement constituée de vecteurs propres, et les coefficients diagonaux sont les valeurs propres associées.

Définition 3.2Matrice diagonalisable

Une matrice carrée est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire s'il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $A = PDP^{-1}$ . La matrice $P$ a pour colonnes les vecteurs propres et $D$ les valeurs propres correspondantes, dans le même ordre.

3.2Critères

Théorème 3.3Critères de diagonalisabilité

Hypothèses

$u$ est un endomorphisme d'un espace $E$ de dimension finie.

Alors les énoncés suivants sont équivalents :

$u$ est diagonalisable ;
la somme des sous-espaces propres de $u$ est égale à $E$ ;
la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $\dim(E)$ ;
$\chi_u$ est scindé sur $\K$ et, pour chaque valeur propre, $\dim E_\lambda = m(\lambda)$ .

Chacun a sa traduction matricielle.

Propriété 3.4Condition suffisante

Hypothèses

$u$ est un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ ;
$u$ admet $n$ valeurs propres distinctes, c'est-à-dire $\chi_u$ est scindé à racines simples.

Alors $u$ est diagonalisable.

Attention

Cette condition n'est pas nécessaire. L'identité est diagonalisable et n'a qu'une seule valeur propre.

3.3Exemples

Exemple 3.5Projecteur

Un projecteur $p$ vérifie $p^2 = p$ . Il est diagonalisable, avec $E = \Ker(p) \oplus \Im(p)$ , les valeurs propres possibles étant 0 et 1.

Exemple 3.6Symétrie

Une symétrie $s$ vérifie $s^2 = \mathrm{id}$ . Elle est diagonalisable, avec valeurs propres possibles $1$ et $-1$ , les sous-espaces propres étant l'ensemble des vecteurs invariants et celui des vecteurs changés en leur opposé.

Propriété 3.7Calcul de puissances

Si $A = PDP^{-1}$ , alors $A^k = PD^kP^{-1}$ et $D^k$ est diagonale de coefficients les puissances $k$ -ièmes. En pratique on se limite aux tailles 2 et 3.

4Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

4.1Le critère par polynôme annulateur

Théorème 4.1Critère par polynôme annulateur

Un endomorphisme d'un espace de dimension finie est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

La démonstration n'est pas exigible, et le lemme de décomposition des noyaux est hors programme en PC.

C'est souvent le critère le plus rapide.

Exemple 4.2Cas $A^3 = A$

Si $A$ vérifie $A^3 = A$ , alors $X^3 - X = X(X - 1)(X + 1)$ est annulateur, scindé à racines simples sur $\R$ , donc $A$ est diagonalisable.

Exemple 4.3Cas $A^k = I$

Si $A^k = I$ avec $k \geqslant 1$ , alors $X^k - 1$ annule $A$ . Sur $\C$ ce polynôme est scindé à racines simples, donc $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\C)$ .

Propriété 4.4Raffinement

Un endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement si le produit $\prod_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} (X - \lambda)$ est un polynôme annulateur de $u$ . Ce produit est le plus petit polynôme scindé à racines simples qui puisse annuler $u$ .

4.2Endomorphisme induit

Propriété 4.5Endomorphisme induit

Hypothèses

$u$ est diagonalisable ;
$F$ est un sous-espace stable par $u$ .

Alors l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$ est diagonalisable.

Démonstration

Un polynôme annulateur de $u$ , scindé à racines simples, annule aussi l'endomorphisme induit, puisque les calculs se font à l'intérieur de $F$ . Le critère précédent s'applique.

5Trigonalisation en dimension finie

5.1Définitions et critère

Définition 5.1Trigonalisable

Un endomorphisme d'un espace de dimension finie est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire. Une matrice est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire.

Théorème 5.2Critère de trigonalisabilité

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\K$ .

La démonstration n'est pas exigible.

Toute matrice de $\mathcal{M}_n(\C)$ est trigonalisable, puisque tout polynôme non constant est scindé sur $\C$ . En revanche, toute matrice réelle n'est pas trigonalisable dans $\mathcal{M}_n(\R)$ : la rotation d'angle droit du plan en est le contre-exemple standard.

La technique générale de trigonalisation est hors programme. Tout exercice de trigonalisation effective doit comporter une indication, et on se limite à des exemples de petite taille.

5.2Trace et déterminant par les valeurs propres

Si $u$ est trigonalisable, la matrice triangulaire obtenue a pour coefficients diagonaux les valeurs propres, chacune répétée autant de fois que sa multiplicité. La trace et le déterminant étant invariants par similitude, on obtient :

$\tr(u)$ est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité ;
$\det(u)$ est leur produit.

À retenir

Pour une matrice complexe quelconque, ces deux relations sont toujours vraies, puisque toute matrice complexe est trigonalisable.

Méthodes

MéthodeDiagonaliser en pratique

Calculer $\chi_A$ et le factoriser.
Pour chaque valeur propre $\lambda$ , résoudre le système $(A - \lambda I)X = 0$ et compter la dimension de l'espace des solutions.
Comparer la somme des dimensions à $n$ .

Quand $\chi_A$ est scindé à racines simples, on conclut immédiatement à la diagonalisabilité sans calculer les sous-espaces propres, sauf si l'on veut la matrice de passage.

MéthodePartir d'une relation algébrique

Quand une relation algébrique sur $A$ est donnée, partir du polynôme annulateur. C'est presque toujours plus rapide que le polynôme caractéristique.

MéthodeMontrer qu'une matrice n'est pas diagonalisable

Exhiber une valeur propre $\lambda$ pour laquelle $\dim E_\lambda < m(\lambda)$ .

MéthodeCalculer $A^n$

Trois voies possibles :

la diagonalisation ;
la division euclidienne par un polynôme annulateur ;
Cayley-Hamilton en petite taille.

MéthodeDeux endomorphismes qui commutent

Penser à la stabilité des sous-espaces propres de l'un par l'autre.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.
Démontrer que toute valeur propre est racine d'un polynôme annulateur, et donner un contre-exemple à la réciproque.
Démontrer que $\dim E_\lambda \leqslant m(\lambda)$ en complétant une base de $E_\lambda$ .
Diagonaliser une matrice de taille 3 donnée numériquement, avec matrice de passage et calcul de $A^n$ .
Montrer qu'un endomorphisme vérifiant $u^3 = u$ est diagonalisable, et décrire ses sous-espaces propres.
Donner une matrice réelle non trigonalisable dans $\mathcal{M}_2(\R)$ et expliquer pourquoi elle l'est dans $\mathcal{M}_2(\C)$ .
Écrire Cayley-Hamilton en taille 2 et l'utiliser pour calculer l'inverse d'une matrice inversible.
Justifier que la trace est la somme des valeurs propres pour une matrice complexe.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

λ est valeur propre de u si et seulement si u − λ id n'est pas injectif, et en dimension finie si et seulement si det(u − λ id) = 0. Exigible avec démonstration.
Si u et v commutent, tout sous-espace propre de u est stable par v. Exigible avec démonstration.
La somme d'une famille finie de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe. Exigible avec démonstration par récurrence.
Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre, donc u a au plus n valeurs propres. Exigible.
Si u(x) = λx alors P(u)(x) = P(λ)x, et toute valeur propre est racine de tout polynôme annulateur. Exigible avec démonstration. La réciproque est fausse.
Polynôme caractéristique χ_A = det(XI − A), unitaire de degré n, coefficient de Xⁿ⁻¹ égal à −tr(A), terme constant (−1)ⁿ det(A). Exigible, les coefficients avec démonstration au moins en taille 2 et 3.
Les valeurs propres sont les racines de χ dans K. Spectre complexe d'une matrice réelle. Exigibles.
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. Exigible avec démonstration. Réciproque fausse.
1 ≤ dim E_λ ≤ m(λ). Exigible avec démonstration par base adaptée et déterminant par blocs.
Théorème de Cayley-Hamilton. Admis, démonstration non exigible. Forme en taille 2, A² − tr(A)A + det(A)I = 0.
u diagonalisable si et seulement si la somme des sous-espaces propres est E, si et seulement si la somme de leurs dimensions vaut n, si et seulement si χ_u scindé et dim E_λ = m(λ) pour toute valeur propre. Exigibles avec démonstration.
n valeurs propres distinctes impliquent diagonalisable. Exigible avec démonstration. Condition non nécessaire.
Projecteurs et symétries sont diagonalisables. Exigible.
u diagonalisable si et seulement si u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Admis, démonstration non exigible, lemme des noyaux hors programme. Le sens direct, diagonalisable implique annulé par Π(X − λ), est exigible avec démonstration.
L'endomorphisme induit sur un sous-espace stable par un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable. Exigible avec démonstration par polynôme annulateur.
u trigonalisable si et seulement si χ_u scindé. Admis, démonstration non exigible. Toute matrice complexe est trigonalisable.
Trace et déterminant d'un endomorphisme trigonalisable, somme et produit des valeurs propres avec multiplicité. Exigible avec démonstration.
Hors programme en PC, à signaler, le polynôme minimal, le lemme des noyaux, les classes de similitude, la réduction de Jordan, la décomposition de Dunford, et toute technique générale de trigonalisation, qui doit être guidée par l'énoncé.

Clés de démonstration

Somme directe des sous-espaces propres. Récurrence sur p, on suppose x₁ + … + x_p = 0 avec x_i ∈ E_{λ_i}, on applique u − λ_p id, le dernier terme disparaît, il reste Σ (λ_i − λ_p)x_i = 0 pour i < p. L'hypothèse de récurrence donne (λ_i − λ_p)x_i = 0, et les valeurs propres étant distinctes, x_i = 0. Astuce, appliquer u − λ_p id, pas u tout seul.

Valeur propre et polynôme annulateur. Si u(x) = λx, une récurrence immédiate donne u^k(x) = λ^k x, on combine linéairement. Si P(u) = 0, alors 0 = P(u)(x) = P(λ)x avec x ≠ 0. Astuce, la non-nullité de x est le seul argument, il faut l'écrire.

dim E_λ ≤ m(λ). On complète une base de E_λ, de dimension d, en une base de E. La matrice de u est triangulaire par blocs avec λI_d en haut à gauche. Le déterminant par blocs donne χ_u = (X − λ)^d χ_C, donc (X − λ)^d divise χ_u. Astuce, on ne calcule pas χ_C, sa seule existence suffit.

Similitude. det(XI − P⁻¹AP) = det(P⁻¹(XI − A)P) = det(P)⁻¹ det(XI − A) det(P). Astuce, XI commute avec tout, c'est ce qui permet de factoriser P⁻¹ et P.

Critère par les dimensions. Si Σ dim E_λ = n, la somme des sous-espaces propres est directe et de dimension n, donc égale à E, et la concaténation des bases est une base de vecteurs propres. Réciproquement une base de vecteurs propres se répartit dans les E_λ, donc la somme des dimensions est au moins n, et elle est au plus n. Astuce, l'argument de dimension du chapitre précédent, somme directe plus dimension égale.

Diagonalisable implique annulé par Π(X − λ). Dans une base de vecteurs propres, Π(u − λ id) appliqué à un vecteur propre e associé à μ donne Π(μ − λ) e = 0 car le facteur λ = μ est présent. Il s'annule sur une base, donc partout. Astuce, vérifier une identité d'endomorphismes sur une base suffit.

Trace et valeurs propres. Trigonalisation, la diagonale d'une matrice triangulaire contient exactement les racines de χ avec multiplicité, et la trace est invariante par similitude. Astuce, pour une matrice réelle on passe dans C, la trace ne change pas.

Exemples et contre-exemples à connaître

La matrice de lignes (1, 1) et (0, 1) n'est pas diagonalisable. Une seule valeur propre 1 de multiplicité 2, sous-espace propre de dimension 1. C'est l'exemple à savoir refaire en trente secondes.
La rotation d'angle π/2, de lignes (0, −1) et (1, 0), n'a pas de valeur propre réelle, χ = X² + 1. Elle est diagonalisable dans M₂(C) avec valeurs propres i et −i, pas dans M₂(R).
L'identité est diagonalisable avec une seule valeur propre. La condition « n valeurs propres distinctes » est suffisante, pas nécessaire.
X² − 1 annule l'identité, pourtant −1 n'est pas valeur propre. Les racines d'un polynôme annulateur sont des candidats, pas des valeurs propres.
L'identité et la matrice de lignes (1, 1), (0, 1) ont le même polynôme caractéristique (X − 1)² et ne sont pas semblables. Le polynôme caractéristique ne caractérise pas la classe de similitude.
Un projecteur p ≠ 0, id est diagonalisable avec spectre {0, 1}. Un projecteur nul a pour spectre {0}, l'identité {1}. Le spectre dépend du cas.
La matrice nilpotente E₁₂ vérifie X² annulateur, χ = X², est trigonalisable, mais n'est pas diagonalisable. Seule la matrice nulle est nilpotente et diagonalisable.
Une matrice de rang 1 de M_n(K) s'écrit XYᵀ et vérifie A² = tr(A)A. Si tr(A) ≠ 0, elle est diagonalisable avec spectre {0, tr(A)}. Si tr(A) = 0, elle est nilpotente et non diagonalisable.
Une matrice de permutation circulaire, qui envoie e₁ sur e₂, e₂ sur e₃, e₃ sur e₁, vérifie A³ = I. Elle est diagonalisable dans M₃(C) avec spectre {1, j, j²}, mais pas dans M₃(R).
La matrice J dont tous les coefficients valent 1 vérifie J² = nJ. Elle est diagonalisable, de spectre {0, n}, avec dim E₀ = n − 1. C'est l'exemple type pour « diagonaliser sans calculer χ ».

Techniques du chapitre

Trouver le spectre par le polynôme caractéristique. Mini-exercice, A de lignes (2, 1) et (1, 2). χ_A = (X − 2)² − 1 = (X − 1)(X − 3). Deux valeurs propres distinctes en taille 2, A est diagonalisable. Vecteurs propres (1, −1) pour 1 et (1, 1) pour 3.

Trouver le spectre par un polynôme annulateur. Mini-exercice, A vérifie A² = 4I et A ≠ ±2I. Le polynôme X² − 4 = (X − 2)(X + 2) est annulateur, scindé à racines simples, donc A est diagonalisable et Sp(A) ⊂ {2, −2}. Comme A ≠ 2I et A ≠ −2I, les deux valeurs sont atteintes.

Prouver qu'une matrice n'est pas diagonalisable. Mini-exercice, A de lignes (3, 1, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 1). χ = (X − 3)²(X − 1). Pour λ = 3, A − 3I a pour lignes (0, 1, 0), (0, 0, 0), (0, 0, −2), de rang 2, donc dim E₃ = 1 < 2. Pas diagonalisable.

Diagonaliser sans polynôme caractéristique. Mini-exercice, J de taille 3 à coefficients 1. Le rang est 1, donc dim ker J = 2, et 0 est valeur propre de multiplicité au moins 2. Le vecteur (1, 1, 1) vérifie J(1, 1, 1) = 3(1, 1, 1). Somme des dimensions 2 + 1 = 3, diagonalisable.

Utiliser Cayley-Hamilton en taille 2. Mini-exercice, A de lignes (1, 2), (3, 4). tr = 5, det = −2, donc A² − 5A − 2I = 0. Alors A(A − 5I) = 2I et A⁻¹ = (A − 5I)/2, de lignes (−2, 1) et (3/2, −1/2).

Calculer Aⁿ après diagonalisation. Mini-exercice, A de lignes (2, 1), (1, 2), P de colonnes (1, −1) et (1, 1), D = diag(1, 3). P⁻¹ = (1/2) fois la matrice de lignes (1, −1), (1, 1). Aⁿ = P diag(1, 3ⁿ) P⁻¹, de lignes ((1 + 3ⁿ)/2, (3ⁿ − 1)/2) et ((3ⁿ − 1)/2, (1 + 3ⁿ)/2). Contrôle n = 1.

Exploiter une commutation. Mini-exercice, u diagonalisable avec n valeurs propres distinctes, v commute avec u. Chaque E_λ est une droite stable par v, donc chaque vecteur propre de u est vecteur propre de v. La base de vecteurs propres de u diagonalise aussi v.

Passer dans C pour une matrice réelle. Mini-exercice, A réelle avec χ_A = X² − 2X + 5, racines 1 ± 2i. Pas de valeur propre réelle, mais tr(A) = 2 = somme des racines et det(A) = 5 = produit des racines, ce qui se vérifie dans C.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Diagonalisation complète en taille 3

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A de lignes (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1) plus I, c'est-à-dire de lignes (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2). Diagonaliser A, puis calculer Aⁿ.

Technique reconnaître J + I pour éviter χ.

Voir le corrigé

A = J + I avec J la matrice de coefficients 1. J a pour spectre {0, 3}, E₀(J) est le plan d'équation x + y + z = 0, E₃(J) la droite de (1, 1, 1). 2. Les vecteurs propres de J sont ceux de A avec valeurs propres décalées de 1, donc Sp(A) = {1, 4}, E₁(A) le plan, E₄(A) la droite. 3. Base, (1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1). Somme des dimensions 3, A est diagonalisable. 4. Aⁿ = P diag(1, 1, 4ⁿ) P⁻¹. Plus rapide, J² = 3J donne J^k = 3^k−1J pour k ≥ 1, et le binôme, valable car I et J commutent, donne Aⁿ = I + Σ « k parmi n » 3^k−1 J pour k de 1 à n, soit Aⁿ = I + ((4ⁿ − 1)/3) J.

piège : Chercher le polynôme caractéristique de A alors que la structure J + I donne tout sans calcul.

Exercice 2. Diagonalisabilité selon le corps

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A de lignes (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 2). A est-elle diagonalisable dans M₃(R) ? Dans M₃(C) ?

Technique polynôme caractéristique par blocs.

Voir le corrigé

A est diagonale par blocs, avec le bloc de rotation et le bloc (2). χ_A = (X² + 1)(X − 2). 2. Sur R, χ_A n'est pas scindé, donc A n'est ni diagonalisable ni trigonalisable dans M₃(R). 3. Sur C, χ_A = (X − i)(X + i)(X − 2) est scindé à racines simples, donc A est diagonalisable dans M₃(C). 4. Vecteurs propres, (1, −i, 0) pour i, (1, i, 0) pour −i, (0, 0, 1) pour 2.

piège : Dire « pas de valeur propre réelle donc pas diagonalisable » sans préciser le corps, ou oublier que trigonalisable exige aussi χ scindé.

Exercice 3. Endomorphisme vérifiant u³ = u

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit u un endomorphisme de E vérifiant u³ = u. Montrer que u est diagonalisable et que tr(u) = rg(u) − 2 dim ker(u + id).

Technique polynôme annulateur scindé à racines simples, puis comptage.

Voir le corrigé

X³ − X = X(X − 1)(X + 1) est annulateur, scindé à racines simples, donc u est diagonalisable avec Sp(u) ⊂ {0, 1, −1}. 2. E = E₀ ⊕ E₁ ⊕ E₋₁, certains pouvant être nuls. Notons a, b, c leurs dimensions. 3. rg(u) = n − a = b + c. tr(u) = b − c. 4. Donc tr(u) = (b + c) − 2c = rg(u) − 2 dim E₋₁.

piège : Affirmer que 0, 1 et −1 sont toutes valeurs propres, alors que l'énoncé ne l'impose pas.

Exercice 4. Matrice de rang 1

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A ∈ M_n(K) de rang 1. Montrer que A² = tr(A) A. À quelle condition A est-elle diagonalisable ?

Technique écriture A = XYᵀ avec X et Y colonnes non nulles.

Voir le corrigé

Rang 1 signifie que toutes les colonnes sont proportionnelles à une colonne X non nulle, d'où A = XYᵀ avec Y non nulle. 2. A² = X(YᵀX)Yᵀ = (YᵀX)A, et YᵀX est un scalaire égal à tr(YᵀX) = tr(XYᵀ) = tr(A). 3. Si tr(A) ≠ 0, X² − tr(A)X est annulateur scindé à racines simples, A est diagonalisable, avec dim E₀ = n − 1 et E_tr(A) = Vect(X). 4. Si tr(A) = 0, A² = 0 avec A ≠ 0. Si A était diagonalisable, ses valeurs propres seraient racines de X², donc nulles, et A semblable à la matrice nulle serait nulle. Pas diagonalisable.

piège : Écrire YᵀX = XYᵀ, l'un est un scalaire, l'autre une matrice.

Exercice 5. Sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit u diagonalisable et F un sous-espace stable par u. Montrer que F est la somme directe des F ∩ E_λ pour λ ∈ Sp(u).

Technique endomorphisme induit diagonalisable, puis lecture des sous-espaces propres de l'induit.

Voir le corrigé

L'endomorphisme induit u_F est diagonalisable, car annulé par le polynôme scindé à racines simples Π(X − λ) qui annule u. 2. Donc F est la somme directe des sous-espaces propres de u_F. 3. Le sous-espace propre de u_F pour λ est {x ∈ F, u(x) = λx} = F ∩ E_λ(u). 4. Conclusion.

piège : Oublier de dire que les sous-espaces propres de u_F sont exactement les F ∩ E_λ, ce qui est la seule chose à vérifier.

Exercice 6. Matrices qui commutent avec une matrice diagonale

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit D = diag(d₁, …, d_n) avec les d_i deux à deux distincts. Montrer que les matrices qui commutent avec D sont exactement les matrices diagonales. Que devient le résultat si D = diag(1, 1, 2) ?

Technique calcul coefficient par coefficient de DM et MD.

Voir le corrigé

(DM)_ij = d_i m_ij et (MD)_ij = m_ij d_j. 2. L'égalité impose (d_i − d_j) m_ij = 0, donc m_ij = 0 pour i ≠ j. 3. Réciproquement toute matrice diagonale commute avec D. 4. Pour diag(1, 1, 2), la condition ne contraint plus m₁₂ et m₂₁, le commutant est l'ensemble des matrices diagonales par blocs de blocs de tailles 2 et 1, de dimension 5.

piège : Généraliser « le commutant est diagonal » à toute matrice diagonalisable, alors que les valeurs propres multiples élargissent le commutant.

Exercice 7. Suite récurrente linéaire couplée

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soient (x_n) et (y_n) définies par x₀ = 1, y₀ = 0, x_n+1 = 4x_n − 2y_n, y_n+1 = x_n + y_n. Exprimer x_n et y_n.

Technique écriture matricielle puis diagonalisation.

Voir le corrigé

Le vecteur U_n = (x_n, y_n) vérifie U_n+1 = AU_n avec A de lignes (4, −2), (1, 1), donc U_n = Aⁿ U₀. 2. χ_A = X² − 5X + 6 = (X − 2)(X − 3), deux valeurs propres distinctes. Vecteurs propres, (1, 1) pour 2 et (2, 1) pour 3. 3. U₀ = (1, 0) = −(1, 1) + (2, 1). Donc U_n = −2ⁿ(1, 1) + 3ⁿ(2, 1). 4. x_n = 2 × 3ⁿ − 2ⁿ, y_n = 3ⁿ − 2ⁿ. Contrôle, x₁ = 4, y₁ = 1, cohérent avec la récurrence.

piège : Calculer P⁻¹ alors que décomposer U₀ sur les vecteurs propres suffit.

Exercice 8. Diagonalisable de trois manières

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit A de lignes (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1). Montrer que A est diagonalisable par trois méthodes différentes.

Technique χ scindé à racines simples ou multiples contrôlées, polynôme annulateur, structure J.

Voir le corrigé

Première méthode, A = 2J − I, J diagonalisable de spectre {0, 3}, donc A diagonalisable de spectre {−1, 5}, avec dim E₋₁ = 2. 2. Deuxième méthode, χ_A = (X + 1)²(X − 5) par le calcul, et A + I = 2J est de rang 1, donc dim E₋₁ = 2 = m(−1), et dim E₅ = 1. Somme 3. 3. Troisième méthode, (A + I)(A − 5I) = 2J(2J − 6I) = 4J² − 12J = 12J − 12J = 0. Le polynôme (X + 1)(X − 5) est annulateur scindé à racines simples. 4. Le résultat est le même par les trois voies, ce qui est le contrôle attendu.

piège : Conclure « diagonalisable » dès que χ est scindé, sans vérifier les dimensions quand une racine est multiple.

Exercice 9. Non diagonalisable, trigonalisation guidée

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit A de lignes (2, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1). Montrer que A n'est pas diagonalisable. Trouver une base (e₁, e₂, e₃) avec Ae₁ = 2e₁, Ae₃ = e₃, et Ae₂ = 2e₂ + e₁, indication donnée par l'énoncé. Calculer Aⁿ.

Technique dimension d'un sous-espace propre, puis calcul par blocs de la puissance d'une triangulaire.

Voir le corrigé

χ_A = (X − 2)²(X − 1). A − 2I a pour lignes (0, 1, 0), (0, 0, 0), (0, 0, −1), de rang 2, donc dim E₂ = 1 < 2. Pas diagonalisable. 2. e₁ = (1, 0, 0), e₃ = (0, 0, 1), et Ae₂ = 2e₂ + e₁ avec e₂ = (0, 1, 0) fonctionne déjà, A est déjà sous la forme voulue. 3. On écrit A = D + N avec D = diag(2, 2, 1) et N = E₁₂. DN = ND = 2N, N² = 0. Le binôme donne Aⁿ = Dⁿ + nDⁿ⁻¹N = Dⁿ + n 2ⁿ⁻¹ N. 4. Aⁿ a pour lignes (2ⁿ, n 2ⁿ⁻¹, 0), (0, 2ⁿ, 0), (0, 0, 1).

piège : Appliquer le binôme à D + N sans avoir vérifié que D et N commutent.

Exercice 10. Valeurs propres d'un polynôme en u

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Soit u diagonalisable et P ∈ K[X]. Montrer que P(u) est diagonalisable et que Sp(P(u)) = {P(λ), λ ∈ Sp(u)}.

Technique base commune de vecteurs propres.

Voir le corrigé

Soit (e_i) une base de vecteurs propres de u, u(e_i) = λ_i e_i. Alors P(u)(e_i) = P(λ_i) e_i. 2. La matrice de P(u) dans cette base est diagonale, de coefficients P(λ_i), donc P(u) est diagonalisable. 3. Ses valeurs propres sont les coefficients diagonaux, soit les P(λ) pour λ ∈ Sp(u). 4. Sans diagonalisabilité, on a toujours l'inclusion {P(λ)} ⊂ Sp(P(u)) par le calcul P(u)(x) = P(λ)x, mais l'égalité peut tomber en défaut sur R, par exemple avec la rotation d'angle π/2 et P = X², où P(u) = −id a pour valeur propre −1 sans que u ait de valeur propre réelle.

piège : Croire que Sp(P(u)) = P(Sp(u)) est un résultat général valable sans hypothèse.

Exercice 11. Endomorphismes qui commutent, diagonalisation simultanée

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables de E qui commutent. Montrer qu'il existe une base de E formée de vecteurs propres communs à u et v.

Technique stabilité des sous-espaces propres de u par v, puis induit diagonalisable.

Voir le corrigé

E est la somme directe des sous-espaces propres E_λ de u. 2. Comme u et v commutent, chaque E_λ est stable par v. 3. L'endomorphisme induit par v sur E_λ est diagonalisable, comme induit d'un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace stable. On choisit une base de E_λ formée de vecteurs propres de cet induit. 4. Ces vecteurs sont propres pour v et pour u, avec valeur λ. La concaténation des bases des E_λ est une base de E car la somme est directe et vaut E.

piège : Oublier l'étape « induit diagonalisable », qui est le seul point non trivial, ou prendre une base quelconque de E_λ.

Exercice 12. Matrice de trace nulle et polynôme annulateur

Approfondissement · Niveau écrit Mines

Soit A ∈ M_n(C) telle que A^k = I pour un entier k ≥ 1. Montrer que A est diagonalisable, que ses valeurs propres sont des racines k-ièmes de l'unité, et que tr(A) est nulle si et seulement si les valeurs propres, comptées avec multiplicité, ont une somme nulle. Application, si de plus tr(A) = n, montrer que A = I.

Technique polynôme annulateur X^k − 1, puis trace comme somme des valeurs propres.

Voir le corrigé

X^k − 1 est annulateur, scindé à racines simples sur C, donc A diagonalisable et Sp(A) ⊂ U_k. 2. La trace vaut la somme des valeurs propres avec multiplicité, ce qui donne l'équivalence demandée. 3. Si tr(A) = n, on a une somme de n complexes de module 1 égale à n. Par inégalité triangulaire, |Σ λ_i| ≤ Σ |λ_i| = n avec égalité si et seulement si tous les λ_i sont positivement colinéaires, donc égaux à un même complexe de module 1 dont la somme vaut n, soit λ_i = 1. 4. A diagonalisable avec toutes ses valeurs propres égales à 1 est semblable à I, donc égale à I.

piège : Conclure A = I à partir de Sp(A) = {1} sans avoir la diagonalisabilité, ce qui est faux, la matrice de lignes (1, 1), (0, 1) le montre.

Erreurs fréquentes

Dire qu'une racine d'un polynôme annulateur est une valeur propre, alors qu'elle n'est qu'un candidat, à confirmer par le calcul de l'espace propre.
Conclure « diagonalisable » de « χ scindé » sans comparer dim E_λ et m(λ) pour les racines multiples.
Oublier le corps, une matrice réelle peut être diagonalisable dans M_n(C) et pas dans M_n(R), et non trigonalisable dans M_n(R).
Appliquer le binôme à D + N sans vérifier la commutation, ou oublier que P⁻¹ est à droite dans Aⁿ = PD^nP⁻¹.
Déduire A = I de Sp(A) = {1}, ou A = 0 de Sp(A) = {0}, sans diagonalisabilité.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Algèbre linéaire », section B « Réduction des endomorphismes et des matrices carrées ». $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ , et $E$ est un $\K$ -espace vectoriel, de dimension finie $n$ dès que le contexte l'exige.

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Résumé en cinq points

1Éléments propres

1.1Définitions

1.2Commutation

1.3Indépendance des sous-espaces propres

1.4Polynôme annulateur et valeurs propres

2Polynôme caractéristique

2.1Définition et premiers coefficients

2.2Racines et spectre

2.3Similitude

2.4Multiplicité et dimension du sous-espace propre

2.5Théorème de Cayley-Hamilton

3Diagonalisation en dimension finie

3.1Définitions

3.2Critères

3.3Exemples

4Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

4.1Le critère par polynôme annulateur

4.2Endomorphisme induit

5Trigonalisation en dimension finie

5.1Définitions et critère

5.2Trace et déterminant par les valeurs propres

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Diagonalisation complète en taille 3

Exercice 2. Diagonalisabilité selon le corps

Exercice 3. Endomorphisme vérifiant u³ = u

Exercice 4. Matrice de rang 1

Exercice 5. Sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable

Exercice 6. Matrices qui commutent avec une matrice diagonale

Exercice 7. Suite récurrente linéaire couplée

Exercice 8. Diagonalisable de trois manières

Exercice 9. Non diagonalisable, trigonalisation guidée

Exercice 10. Valeurs propres d'un polynôme en u

Exercice 11. Endomorphismes qui commutent, diagonalisation simultanée

Exercice 12. Matrice de trace nulle et polynôme annulateur

Erreurs fréquentes

Au concours