Partie A : un produit scalaire

Notations et définitions.

Dans Q1 et Q2, $\delta \in \mathbb{R}$ est fixé.

À partir de Q3, et sauf mention contraire, $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels tels que $\alpha > -1$ et $\beta > -1$ .

Pour $t \in \left]-1, 1\right[$ , on note

w(t) = (1-t)^\alpha (1+t)^\beta > 0.

Pour $(P, Q) \in \mathbb{R}[X]^2$ , on pose (Q4)

\langle P, Q\rangle = \int_{-1}^{1} w(t)P(t)Q(t)\,\mathrm{d} t,

et l'on note $\left\lVert P \right\rVert = \sqrt{\langle P, P\rangle}$ la norme associée.

Q1.

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Résultat

\int_0^1 \frac{\mathrm{d} t}{t^\delta} = \frac{1}{1-\delta}.

Rappelons la condition de convergence de $\int_0^1 t^{-\delta}\,\mathrm{d} t$ et sa valeur quand elle converge.

D'après le critère des intégrales de Riemann, l'intégrale $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} t}{t^\delta}$ converge exactement quand $\delta < 1$ .

Dans ce cas :

\int_0^1 \frac{\mathrm{d} t}{t^\delta} = \frac{1}{1-\delta}.

Q2

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Mathématiques 2

Le sujet complet

Aperçu : Q1

Partie A : un produit scalaire

Q1.

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