Mathématiques 2

Soit $\theta \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}$.

Montrons que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\sum_{k=1}^{n} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\theta}}{k} = \int_0^1 \varphi_n(t)\,\mathrm{d} t$, avec

Le dénominateur ne s'annule pas.

Soit $t \in \left[0, 1\right]$.

Donc, pour tout $t \in \left[0, 1\right]$, $1 - \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}t \ne 0$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\varphi_n$ est donc définie et continue sur $\left[0, 1\right]$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.

Calcul.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et soit $t \in \left[0, 1\right]$.

Posons $q = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}t$.

On a $q \ne 1$, donc la somme des termes d'une suite géométrique de raison $q$ donne

On en déduit :

On intègre sur $\left[0, 1\right]$.

L'intégrale des fonctions continues à valeurs complexes est linéaire et la somme est finie.

De plus, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $\int_0^1 t^k\,\mathrm{d} t = \frac{1}{k+1}$.

On obtient :