Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Exercice 1. Diagonalisation complète en taille 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $A$ de lignes $$(1, 1, 1), \quad (1, 1, 1), \quad (1, 1, 1)$$ plus $I$, c'est-à-dire de lignes $$(2, 1, 1), \quad (1, 2, 1), \quad (1, 1, 2).$$ Diagonaliser $A$, puis calculer $A^n$.

Exercice 7. Suite récurrente linéaire couplée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit CCINP

Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $$x_0 = 1, \qquad y_0 = 0,$$ $$x_{n+1} = 4x_n - 2y_n,$$ $$y_{n+1} = x_n + y_n.$$ Exprimer $x_n$ et $y_n$.

Exercice 2. Diagonalisabilité selon le corps ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit $A$ de lignes $$(0, -1, 0), \quad (1, 0, 0), \quad (0, 0, 2).$$ $A$ est-elle diagonalisable dans $M_3(\R)$ ?

Dans $M_3(\C)$ ?

Exercice 4. Matrice de rang 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $A \in M_n(K)$ de rang $1$.

Montrer que $$A^2 = \operatorname{tr}(A) A.$$

À quelle condition $A$ est-elle diagonalisable ?

Exercice 8. Diagonalisable de trois manières ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP

Soit $A$ de lignes $$(1, 2, 2), \quad (2, 1, 2), \quad (2, 2, 1).$$ Montrer que $A$ est diagonalisable par trois méthodes différentes.

Exercice 9. Non diagonalisable, trigonalisation guidée ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP

Soit $A$ de lignes $$(2, 1, 0), \quad (0, 2, 0), \quad (0, 0, 1).$$ Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

Trouver une base $(e_1, e_2, e_3)$ avec $$Ae_1 = 2e_1, \qquad Ae_3 = e_3,$$ et $Ae_2 = 2e_2 + e_1$, indication donnée par l'énoncé.

Calculer $A^n$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 3. Endomorphisme vérifiant u³ = u ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $u^3 = u$.

Montrer que $u$ est diagonalisable et que $$\operatorname{tr}(u) = \operatorname{rg}(u) - 2\dim\ker(u + \mathrm{id}).$$

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 10. Valeurs propres d'un polynôme en u ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau écrit Centrale

Soit $u$ diagonalisable et $P \in K[X]$.

Montrer que $P(u)$ est diagonalisable et que $$\operatorname{Sp}(P(u)) = \{P(\lambda), \lambda \in \operatorname{Sp}(u)\}.$$

Exercice 13. Indice de nilpotence ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Au programme de : PC. Hors programme en PT.

Énoncé. Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension $n \geq 1$.

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u^p = 0$ pour un entier $p \geq 1$.

1. Montrer que $u^n = 0$.
2. En déduire que le plus petit entier $r \geq 1$ vérifiant $u^r = 0$ est au plus $n$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 12. Matrice de trace nulle et polynôme annulateur ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau écrit Mines

Soit $A \in M_n(\mathbb{C})$ telle que $A^k = I$ pour un entier $k \geq 1$.

Montrer que $A$ est diagonalisable, que ses valeurs propres sont des racines $k$-ièmes de l'unité, et que $\operatorname{tr}(A)$ est nulle si et seulement si les valeurs propres, comptées avec multiplicité, ont une somme nulle.

Application, si de plus $\operatorname{tr}(A) = n$, montrer que $A = I$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6. Matrices qui commutent avec une matrice diagonale ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Soit $$D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$$ avec les $d_i$ deux à deux distincts.

Montrer que les matrices qui commutent avec $D$ sont exactement les matrices diagonales.

Que devient le résultat si $D = \operatorname{diag}(1, 1, 2)$ ?

Exercice 5. Sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit $u$ diagonalisable et $F$ un sous-espace stable par $u$.

Montrer que $F$ est la somme directe des $F \cap E_\lambda$ pour $\lambda \in \operatorname{Sp}(u)$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 11. Endomorphismes qui commutent, diagonalisation simultanée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau écrit Centrale

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes diagonalisables de $E$ qui commutent. Montrer qu'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à $u$ et $v$.

Exercice 15. Endomorphisme à vecteur cyclique ★★★

Approfondissement · 30 min · Khôlle

Au programme de : PC. Hors programme en PT.

Énoncé. Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension $n \geq 1$ et $u \in \mathcal{L}(E)$.

On suppose qu'il existe $x \in E$ tel que la famille $(u^k(x))_{k \in \N}$ engendre $E$.

1. Montrer que $(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))$ est une base de $E$.
2. Montrer qu'un endomorphisme $g$ de $E$ commute avec $u$ si et seulement s'il existe $P \in \C[X]$ tel que $g = P(u)$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 17. Une symétrie de $\R³$ à reconnaître ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

On considère l'application $$u(x, y, z) = (x + 3y,\ 5x - y,\ 2x - 2y + 4z)$$ de $\R^3$ dans $\R^3$, et on pose $s = \frac{1}{4}u$.

1. Montrer que $s$ est une symétrie de $\R^3$.
2. Déterminer les sous-espaces $F = \Ker(s - \mathrm{id})$ et $G = \Ker(s + \mathrm{id})$, puis vérifier qu'ils sont supplémentaires.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 14. Endomorphisme annulé par un trinôme ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Au programme de : PC. Hors programme en PT.

Énoncé. Soit $E$ un espace vectoriel quelconque (de dimension finie ou non) et $f \in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $$f^2 - 5f + 6\,\mathrm{id}_E = 0.$$

1. Montrer que $f$ est bijectif et déterminer $f^{-1}$.
2. Montrer que $F = \Ker(f - 2\,\mathrm{id}_E)$ et $G = \Ker(f - 3\,\mathrm{id}_E)$ sont supplémentaires dans $E$.
3. Soit $s$ la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$. Montrer que $f$ et $s$ commutent.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 18. Noyau du commutateur de deux symétries ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit $E$ un espace vectoriel réel.

Deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ vérifient $u^2 = v^2 = \mathrm{id}_E$.

Établir que le noyau du commutateur $u \circ v - v \circ u$ est somme directe de deux noyaux : $$\Ker(u \circ v - v \circ u) = \Ker(u - v) \oplus \Ker(u + v).$$

Exercice 16. Équation matricielle du second degré ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

On pose $$A = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}.$$ Déterminer toutes les matrices $M \in \mathcal{M}_2(\R)$ vérifiant $$M^2 - M = A.$$

Exercice 19. Réduction d'un endomorphisme de $\R⁴$ sans valeur propre réelle ★★★

Approfondissement · 30 min · Khôlle

Au programme de : PC. Hors programme en PT.

Énoncé. Soit $u \in \mathcal{L}(\R^4)$ vérifiant

$$u^2 - u + \mathrm{id} = 0.$$

Montrer qu'il existe une base de $\R^4$ dans laquelle la matrice de $u$ est

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Exercice classique. Calculs et projecteurs de rang 1 ★★★

Classique du chapitre

1. Soient $u=(1,2,0)^{\mathsf T}$ et $v=(2,-1,3)^{\mathsf T}$. Posons $A=uv^{\mathsf T}$. Écrire $A$, puis déterminer son rang, sa trace et $A^2$.
2. Soit $A$ une matrice réelle carrée non nulle de rang $1$. Montrer que $A$ est un projecteur si et seulement si $\operatorname{tr}(A)=1$. Dans ce cas, préciser son image et son noyau comme sous-espaces associés à la projection.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.