La fiche de cours
Résumé en cinq points
- Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Exemples de référence : XᵀY sur Rn et ∫ fg sur les fonctions continues sur un segment ou sur R[X].
- La norme ‖x‖ = √⟨x, x⟩ vérifie Cauchy-Schwarz, |⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖‖y‖ avec égalité si et seulement si x et y sont colinéaires, et l'inégalité triangulaire, avec égalité si et seulement s'ils sont positivement colinéaires.
- Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. Pythagore additionne les carrés des normes. Gram-Schmidt transforme une famille libre en famille orthonormée engendrant les mêmes sous-espaces successifs.
- Tout espace euclidien a une base orthonormée. Les coordonnées y sont les ⟨x, ei⟩, et produit scalaire et norme s'y calculent comme dans Rn canonique.
- Si F est de dimension finie, E = F ⊕ F⊥. Le projeté pF(x) se calcule par une base orthonormée ou par un système d'orthogonalité, et c'est l'unique point de F le plus proche de x : d(x, F)² = ‖x‖² − ‖pF(x)‖².
Pourquoi ce chapitre
En première année, le produit scalaire a été vu dans le plan et dans l'espace : longueurs, angles, projection sur une droite ou un plan. Ce chapitre transporte ces gestes dans des espaces abstraits : polynômes, fonctions continues, vecteurs de Rn. L'intuition reste la même. On dessine un plan, une flèche et sa projection, et le dessin guide le calcul. Le chapitre prépare les isométries, les matrices orthogonales et la réduction des matrices symétriques réelles. Aux concours, les questions types sont classiques : montrer qu'une expression est un produit scalaire, orthonormaliser une famille, calculer un projeté ou une distance, résoudre un problème de minimum. Dans toute la fiche, E est un espace vectoriel réel.
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Méthodes et exercices
Exercices classiques corrigés
Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.
Reconnaître un produit scalaire 1
Exercice 1. Produit scalaire par évaluation ★
Application du cours · 10 min · Khôlle
Soit n un entier naturel.
Pour P et Q dans Rn[X], on pose φ(P, Q) = P(0)Q(0) + P(1)Q(1) + … + P(n)Q(n).
-
Montrer que φ est un produit scalaire sur Rn[X].
-
La même formule définit-elle un produit scalaire sur Rn+1[X] ?
Voir l'indice
Technique somme de carrés nulle, puis nombre de racines.
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Question 1.
φ est un produit scalaire sur Rn[X].
- Symétrie et linéarité à gauche sont immédiates.
- φ(P, P) est une somme de carrés, donc positive.
- Si φ(P, P) = 0, alors P(0) = P(1) = … = P(n) = 0.
- P a n + 1 racines distinctes et un degré au plus n, donc P = 0.
Question 2.
non, le caractère défini échoue.
- P = X(X − 1)…(X − n) est non nul, de degré n + 1, et φ(P, P) = 0.
piège : Oublier de comparer le nombre de racines au degré.
Inégalités de Cauchy-Schwarz 2
Exercice 2. Trace et Cauchy-Schwarz ★
Application du cours · 15 min · Khôlle
Sur Mn(R), on pose ⟨A, B⟩ = tr(AᵀB).
-
Exprimer ⟨A, B⟩ avec les coefficients, et en déduire que c'est un produit scalaire.
-
Montrer que |tr A| ≤ √n √(tr(AᵀA)), et préciser le cas d'égalité.
Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.
Exercice 3. Une inégalité intégrale ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle
Soit a < b et f continue sur [a, b], à valeurs strictement positives.
-
Montrer que (∫ de a à b de f) × (∫ de a à b de 1/f) ≥ (b − a)².
-
Déterminer les cas d'égalité.
Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.
Orthonormalisation 1
Exercice 4. Gram-Schmidt dans R³ ★
Application du cours · 15 min · Khôlle
Dans R³ canonique, on pose e₁ = (1, 1, 0), e₂ = (1, 0, 1) et e₃ = (0, 1, 1).
- Orthonormaliser (e₁, e₂, e₃) par Gram-Schmidt.
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Projection et distance 3
Exercice 5. Distance à un sous-espace de R⁴ ★★
Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit CCINP
Dans R⁴ canonique, F est défini par x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0 et x₁ − x₂ + x₃ − x₄ = 0.
On pose x = (1, 2, 3, 4).
-
Déterminer F⊥.
-
Calculer pF(x) et d(x, F).
Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.
Exercice 6. Matrice d'une projection orthogonale ★★
Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle
Dans R³ canonique, soit H le plan x − 2y + 2z = 0.
-
Donner la matrice, dans la base canonique, de la projection orthogonale sur H.
-
En déduire la distance de (1, 1, 1) à H.
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Exercice 10. Projecteur qui diminue les normes ★★★
Approfondissement · 25 min · Type oral Centrale
Soit E euclidien de dimension n et p un projecteur, c'est-à-dire p∘p = p.
On suppose ‖p(x)‖ ≤ ‖x‖ pour tout x.
-
Montrer que Ker p et Im p sont orthogonaux.
-
En déduire que p est la projection orthogonale sur Im p.
Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.
Problèmes de minimum 2
Exercice 7. Minimum intégral et parité ★★
Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit CCINP
On cherche le minimum de ∫ de −1 à 1 de (t³ − a − bt − ct²)² dt pour a, b, c réels.
-
Interpréter ce minimum comme le carré d'une distance.
-
Le calculer et dire où il est atteint.
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Exercice 8. Droite des moindres carrés ★★
Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit e3a
On dispose des points (0, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 4).
On cherche a et b minimisant la somme des (yi − ax_i − b)².
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Écrire ce problème comme une projection dans R⁴.
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Calculer a, b et le minimum.
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Orthogonal en dimension infinie 1
Exercice 9. Un orthogonal trop petit ★★★
Approfondissement · 20 min · Type oral Mines
E = C([0, 1], R) est muni de ⟨f, g⟩ = ∫ de 0 à 1 de fg.
F est l'ensemble des f de E telles que f(0) = 0.
-
Montrer que F⊥ = {0}.
-
En déduire que E ≠ F ⊕ F⊥ et commenter.
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Fiche rédigée à partir du programme officiel de PT (2021), partie « Espaces préhilbertiens et euclidiens, A. Structure préhilbertienne ».