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PT · Maths · semaine 3

Déterminants

Déterminant d'une matrice carrée caractérisé par ses propriétés (antisymétrie par rapport aux colonnes, det(In) = 1), effet des opérations élémentaires, déterminant d'une matrice triangulaire, d'un produit, de l'inverse et de la transposée. Développement par rapport à une ligne ou une colonne, déterminant d'une famille de vecteurs et d'un endomorphisme, caractérisation des bases et des automorphismes.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Le déterminant est l'unique application de Mn(K)\mathcal M_n(\K) dans K\K linéaire en chaque colonne, antisymétrique par rapport aux colonnes et valant 11 en InI_n. En tailles 22 et 33, c'est le produit mixte, aire ou volume algébrique.
  2. Échanger deux colonnes change le signe, multiplier une colonne par λ\lambda multiplie par λ\lambda, ajouter à une colonne un multiple d'une autre ne change rien. Attention, det⁡(λA)=λndet⁡(A)\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A).
  3. Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux. On calcule en se ramenant à ce cas, ou en développant selon une ligne ou colonne riche en zéros.
  4. AA est inversible si et seulement si det⁡(A)≠0\det(A)\neq0. On a det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\det(AB)=\det(A)\det(B), det⁡(A−1)=1/det⁡(A)\det(A^{-1})=1/\det(A) et det⁡(AT)=det⁡(A)\det(A^{\mathsf T})=\det(A), donc les lignes se traitent comme les colonnes.
  5. Une famille de nn vecteurs en dimension nn est une base si et seulement si son déterminant dans une base est non nul. Le déterminant d'un endomorphisme ne dépend pas de la base, et uu est un automorphisme si et seulement si det⁡(u)≠0\det(u)\neq0.
Pourquoi ce chapitre

Le déterminant est un nombre attaché à une matrice carrée. Il est non nul exactement quand la matrice est inversible. Ce critère sert toute l'année.

  • En réduction, les valeurs propres sont les λ\lambda qui annulent det⁡(A−λIn)\det(A-\lambda I_n).
  • En géométrie, le déterminant mesure une aire ou un volume orienté.
  • Aux concours, on attend un calcul par opérations élémentaires, sans technicité excessive.
  • Quand le calcul devient trop lourd, on utilise l'outil informatique.

Dans tout le cours, K\K désigne R\R ou C\C et nn est un entier au moins égal à 11.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour PT.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Maths.

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Fin de l'aperçu gratuit

Encore 10 parties de cours et 1 corrigé.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Approfondissement hors programme 1

Exercice HP. Résoudre un système de Hilbert par fraction rationnelle ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en PT

Soit n≥1n\geq 1 un entier. On considère la matrice réelle Hn=(1/(i+j−1))1≤i,j≤nH_n=(1/(i+j-1))_{1\leq i,j\leq n} et le vecteur 1=(1,…,1)T∈Rn\mathbf 1=(1,\ldots,1)^T\in\R^n. On pourra utiliser la formule de Cauchy établie dans le cours. Les produits vides valent 11 et 0!=10!=1.

  1. Justifier que le système Hnx=1H_nx=\mathbf 1 possède une unique solution x=(x1,…,xn)Tx=(x_1,\ldots,x_n)^T.
  2. Pour cette solution, poser R(z)=∑j=1nxjz+j,Q(z)=∏j=1n(z+j),A(z)=∏i=0n−1(z−i).\begin{aligned} R(z)&=\sum_{j=1}^{n}\frac{x_j}{z+j}, \\ Q(z)&=\prod_{j=1}^{n}(z+j), \\ A(z)&=\prod_{i=0}^{n-1}(z-i). \end{aligned} Ces fractions sont considérées pour z∈R∖{−1,…,−n}z\in\R\setminus\{-1,\ldots,-n\}. Établir l’identité R(z)=1−A(z)/Q(z)R(z)=1-A(z)/Q(z) en étudiant le polynôme Q(z)(1−R(z))Q(z)(1-R(z)).
  3. En multipliant cette identité par z+jz+j puis en faisant tendre zz vers −j-j, calculer xjx_j sous forme factorielle pour chaque j∈{1,…,n}j\in\{1,\ldots,n\}.
  4. Déterminer la solution pour n=3n=3 et vérifier directement les trois équations.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche rédigée à partir du programme officiel de PT (2021), partie « Algèbre linéaire, B. Déterminants » : définition, propriétés de calcul, déterminant d'une famille de vecteurs et d'un endomorphisme.