Espaces vectoriels et dimension finie

Exercice 1. Sous-espace ou non ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Dire si chaque ensemble est un sous-espace. (a) Les $(x, y, z)$ de $\R^3$ tels que $x + 2y = z$. (b) Les $(x, y)$ de $\R^2$ tels que $xy = 0$. (c) Les $f$ de $\R^\R$ telles que $f(1) = 2f(0)$. (d) Les suites réelles convergeant vers $1$. (e) Les polynômes réels de degré $3$.

Exercice 2. Réunion de deux sous-espaces ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de $E$.

Montrer que $F \cup G$ est un sous-espace si et seulement si $F \subset G$ ou $G \subset F$.

Exercice 5. Somme et intersection ne se distribuent pas ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soient $F$, $G$, $H$ trois sous-espaces de $E$.

Montrer que $$(F \cap G) + (F \cap H) \subset F \cap (G + H),$$ et que l'inclusion peut être stricte.

Exercice 3. Un plan décrit de trois façons ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Dans $\R^3$, on pose $$u = (1, -1, 0), \qquad v = (0, 1, -1).$$ Montrer que $\operatorname{Vect}(u, v)$ est le plan $P$ d'équation $$x + y + z = 0,$$ puis que $$\begin{aligned} \operatorname{Vect}(u, v) \\ &= \operatorname{Vect}((1, 0, -1), (1, 1, -2)). \end{aligned}$$

Exercice 4. Liberté avec paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Pour $m$ réel, on pose $$\begin{aligned} u &= (1, 1, m), \\ v &= (1, m, 1), \\ w &= (m, 1, 1). \end{aligned}$$ Pour quels $m$ la famille $(u, v, w)$ est-elle libre ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 10. Fonctions rationnelles à pôles distincts ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral Centrale

Soient $a_1, \ldots, a_n$ des réels deux à deux distincts, et $D$ la droite réelle privée de ces points.

Montrer que la famille des fonctions $$x \mapsto \frac{1}{x - a_k},$$ définies sur $D$, est libre.

Exercice 9. Exponentielles de paramètres distincts ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau écrit Mines

Soient $a_1, \ldots, a_n$ des réels deux à deux distincts, et $f_k$ la fonction $$x \mapsto e^{a_k x}.$$ Montrer que $(f_1, \ldots, f_n)$ est libre dans $\R^\R$.

Exercice 6. Supplémentaires dans des espaces de fonctions ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

(a) Dans $\R^\R$, montrer que les fonctions nulles en $0$ et les fonctions constantes sont supplémentaires. (b) Dans l'espace des fonctions de classe $C^1$ sur $\R$, montrer que les $f$ telles que $$f(0) = f'(0) = 0$$ et les fonctions affines sont supplémentaires.

Exercice 7. Polynômes qui s'annulent en a ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP

Soient $n \geq 1$ et $a$ dans $\mathbb{K}$.

On note $F$ l'ensemble des $P$ de $\mathbb{K}_n[X]$ tels que $$P(a) = 0.$$ Montrer que $F$ est un sous-espace, que $$\mathbb{K}_n[X] = F \oplus \mathbb{K}_0[X],$$ et que $((X - a)^k)$, pour $k$ de $1$ à $n$, est une base de $F$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit CCINP

$S$ est l'ensemble des suites réelles telles que $$u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$$ pour tout $n$.

On pose $$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \qquad \psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.$$ Montrer que $S$ est un sous-espace de $\R^{\mathbb{N}}$, et que $(\varphi^n)$ et $(\psi^n)$ forment une base de $S$.